Secuencia Šindel

En combinatoria aditiva , una secuencia de Šindel es una secuencia periódica de enteros con la propiedad de que sus sumas parciales incluyen todos los números triangulares . Por ejemplo, la secuencia que comienza con 1, 2, 3, 4, 3, 2 es una secuencia de Šindel, con las sumas parciales triangulares ^{[ 1 ].}

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=1,\\[2pt]3&=1+2,\\[2pt]6&=1+2+3,\\[2pt]10&=1+2+3+4,\\[2pt]15&=1+2+3+4+3+2,\\[2pt]21&=1+2+3+4+3+2+1+2+3,\\[2pt]28&=1+2+3+4+3+2+1+2+3+4+3,\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Otra forma de describir dicha secuencia es que se puede particionar en subsecuencias contiguas cuyas sumas son los enteros consecutivos: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=1,\\[2pt]2&=2,\\[2pt]3&=3,\\[2pt]4&=4,\\[2pt]5&=3+2,\\[2pt]6&=1+2+3,\\[2pt]7&=4+3,\\[2pt]8&=2+1+2+3,\\[2pt]9&=4+3+2,\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Este ejemplo en particular se utiliza en el engranaje del reloj astronómico de Praga , como parte de un mecanismo para hacer sonar las campanas del reloj el número correcto de veces a cada hora. Las secuencias de Šindel reciben su nombre de Jan Šindel , un científico checo de los siglos XIV y XV cuyos cálculos se utilizaron en el diseño del reloj de Praga. ^{[ 3 ] [ 4 ]} La definición y el nombre de estas secuencias fueron dados por Michal Křížek, Alena Šolcová y Lawrence Somer, en su trabajo de análisis matemático del reloj de Praga. ^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle s}$denota la suma de los números dentro de un solo período de una secuencia periódica, y${\displaystyle s}$es impar, entonces solo los números triangulares${\displaystyle {\tbinom {i}{2}}}$arriba a${\displaystyle {\tbinom {(s+1)/2}{2}}}$es necesario comprobarlo para determinar si se trata de una secuencia de Šindel. Si todos estos números triangulares son sumas parciales de la secuencia, entonces todos los números triangulares mayores también lo serán. ^{[ 6 ]} Para valores pares de${\displaystyle s}$, es necesario comprobar un conjunto más grande de números triangulares, hasta${\displaystyle {\tbinom {s}{2}}}$. ^{[ 7 ]}

En el reloj de Praga, se utiliza un mecanismo de rueda de conteo modificado para controlar el sonido de las horas. Una rueda de conteo auxiliar con ranuras espaciadas a intervalos de 1, 2, 3, 4, 3 y 2 unidades (que se repiten en la secuencia de Šindel en cada una de sus rotaciones) está sincronizada y superpuesta a otra rueda de conteo más grande cuyas ranuras están espaciadas a intervalos de 1, 2, 3, 4, 5, ..., 24 unidades, girando una vez al día y cuyo espaciado controla el número de campanadas en cada hora. Las ruedas de conteo se mueven con la misma velocidad tangencial, de modo que las ranuras de la rueda más grande sirven para seleccionar solo las ranuras necesarias (ubicadas con mayor precisión) de la rueda más pequeña. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Para mantener sincronizados estos dos engranajes, es importante que, por cada revolución del engranaje grande, el engranaje pequeño también gire un número entero de veces. Matemáticamente, esto significa que la suma${\displaystyle s=15}$del período de la secuencia de Šindel debe dividirse uniformemente${\displaystyle {\tbinom {25}{2}}}$, la suma de los intervalos de espaciado del engranaje grande. ^{[ 3 ]} Por esta razón, es de interés encontrar secuencias de Šindel con una suma de periodos dada.${\displaystyle s}$. En relación con este problema, una secuencia Šindel primitiva es una secuencia Šindel cuyos números no pueden ser reemplazados por su suma, formando una secuencia Šindel más corta. Para cada${\displaystyle s}$Existe una única secuencia primitiva de Šindel cuya suma de periodos es igual a${\displaystyle s}$. Sin embargo, tenga en cuenta que esta secuencia puede formarse repitiendo una secuencia Šindel más corta más de una vez. ^{[ 10 ]}

Una secuencia que simplemente repite el número 1, con cualquier período, es una secuencia Šindel, y se denomina secuencia Šindel trivial .${\displaystyle s}$es una potencia de dos , entonces la secuencia trivial de Šindel con período ${\displaystyle s}$es primitiva y es la única secuencia primitiva de Šindel con suma de períodos${\displaystyle s}$. Para cualquier otra opción de${\displaystyle s}$, la secuencia primitiva única de Šindel con suma de períodos${\displaystyle s}$no es trivial. ^{[ 11 ]}

• Regla escasa

• Chleboun, Jan (2012), "Las rosas de Jericó de Michal" , en Brandts, Jan; Chleboun, J.; Korotov, Sergej; Segeth, Karel; Šístek, J.; Vejchodský, Tomáš (eds.), Aplicaciones de las matemáticas 2012, En honor al 60 cumpleaños de Michal Křížek, Actas, Praga, 2-5 de mayo de 2012 , Praga: Instituto de Matemáticas AS CR, págs. xxxi– xxxiii 
• Křížek, Michal; Somer, Lorenzo; Šolcová, Alena (mayo de 2006), "Las secuencias de Šindel y el reloj de Praga" , en Chleboun, Jan; Segeth, Karel; Vejchodský, Tomáš (eds.), Programas y algoritmos de matemáticas numéricas, Actas del seminario, Praga , Praga: Instituto de Matemáticas AS CR, págs . 156-164 
• Křížek, Michal; Somer, Lawrence; Šolcová, Alena (2021), "Capítulo 10: Las matemáticas detrás del reloj de Praga", De los grandes descubrimientos en la teoría de números a las aplicaciones , Springer International Publishing, pp. 225–252 , doi : 10.1007/978-3-030-83899-7_10