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n -esqueleto

Este grafo hipercubo es el 1-esqueleto del teseracto . En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un c...

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Este grafo hipercubo es el 1-esqueleto del teseracto .

En matemáticas , particularmente en topología algebraica , el n -esqueleto de un espacio topológico X presentado como un complejo simplicial (respectivamente, complejo CW ) se refiere al subespacio X n que es la unión de los símplices de X (respectivamente, celdas de X ) de dimensiones m ≤ n . En otras palabras, dada una definición inductiva de un complejo, el n -esqueleto se obtiene deteniéndose en el n -ésimo paso .

Estos subespacios aumentan con n . El esqueleto 0 es un espacio discreto , y el esqueleto 1 un grafo topológico . Los esqueletos de un espacio se utilizan en la teoría de obstrucciones , para construir secuencias espectrales mediante filtraciones y, en general, para realizar argumentos inductivos . Son particularmente importantes cuando X tiene dimensión infinita, en el sentido de que los X n no se vuelven constantes cuando n → ∞.

En geometría

En geometría , un k -esqueleto de n - politopo P (representado funcionalmente como skel k ( P )) consta de todos los elementos de i- politopo de dimensión hasta k . [ 1 ]

Por ejemplo:

esqueleto 0 (cubo) = 8 vértices
esqueleto 1 (cubo) = 8 vértices, 12 aristas
esqueleto 2 (cubo) = 8 vértices, 12 aristas, 6 caras cuadradas

El 1-esqueleto también se conoce como el grafo de vértices y aristas del politopo.

Para conjuntos simpliciales

La definición anterior del esqueleto de un complejo simplicial es un caso particular de la noción de esqueleto de un conjunto simplicial . En resumen, un conjunto simplicialK∗{\displaystyle K_{*}}puede describirse mediante una colección de conjuntosKi, i≥0{\displaystyle K_{i},\ i\geq 0}, junto con mapas de caras y degeneración entre ellos que satisfacen una serie de ecuaciones. La idea del n -esqueletosknorte(K∗){\displaystyle sk_{n}(K_{*})}es descartar primero los conjuntosKi{\displaystyle K_{i}}coni>norte{\displaystyle i>n}y luego completar la colección de la Ki{\displaystyle K_{i}}coni≤norte{\displaystyle i\leq n}al conjunto simplicial "más pequeño posible" de modo que el conjunto simplicial resultante no contenga símplices no degenerados en grados.i>norte{\displaystyle i>n}.

Más precisamente, el functor de restricción

i∗:ΔopagSmits→Δ≤norteopagSmits{\displaystyle i_{*}:\Delta ^{op}Sets\rightarrow \Delta _{\leq n}^{op}Sets}

tiene un adjunto izquierdo, denotadoi∗{\displaystyle i^{*}}. [ 2 ] (Las notacionesi∗,i∗{\displaystyle i^{*},i_{*}}son comparables con el de los functores de imagen para haces .) El n -esqueleto de algún conjunto simplicialK∗{\displaystyle K_{*}}se define como

sknorte(K):=i∗i∗K.{\displaystyle sk_{n}(K):=i^{*}i_{*}K.}

Coesqueleto

Además,i∗{\displaystyle i_{*}}tiene un adjunto derechoi¡{\displaystyle i^{!}}. El n -cosqueleto se define como

doosknorte(K):=i¡i∗K.{\displaystyle cosk_{n}(K):=i^{!}i_{*}K.}

Por ejemplo, el esqueleto 0 de K es el conjunto simplicial constante definido porK0{\displaystyle K_{0}}El 0-esqueleto está dado por el nervio Čech.

⋯→K0×K0→K0.{\displaystyle \dots \rightarrow K_{0}\times K_{0}\rightarrow K_{0}.}

(Los morfismos de frontera y degeneración vienen dados por diversas proyecciones e incrustaciones diagonales, respectivamente).

Las construcciones anteriores también funcionan para categorías más generales (en lugar de conjuntos), siempre que la categoría tenga productos fibrados . El coesqueleto es necesario para definir el concepto de hipercubrimiento en álgebra homotópica y geometría algebraica . [ 3 ]

Referencias

  1. ↑ Peter McMullen , Egon Schulte , Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0(Página 29)
  2. ↑ Goerss, PG; Jardine, JF (1999), Teoría de la homotopía simplicial , Progress in Mathematics, vol. 174, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-6064-1, sección IV.3.2
  3. ↑ Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969), Etale homotopy , Lecture Notes in Mathematics, No. 100, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag