Topología algebraica

La topología algebraica es una rama de las matemáticas que utiliza herramientas del álgebra abstracta para estudiar espacios topológicos . El objetivo fundamental es encontrar invariantes algebraicos que clasifiquen espacios topológicos salvo homeomorfismo , aunque generalmente la mayoría los clasifican salvo equivalencia homotópica .

Aunque la topología algebraica utiliza principalmente el álgebra para estudiar problemas topológicos, en ocasiones también es posible usar la topología para resolver problemas algebraicos. Por ejemplo, la topología algebraica permite demostrar de forma sencilla que cualquier subgrupo de un grupo libre es también un grupo libre.

Sucursales principales

A continuación se presentan algunas de las principales áreas de estudio en topología algebraica:

Grupos homotópicos

En matemáticas, los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , que registra información sobre los bucles en un espacio. Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros, de un espacio topológico. ^{[ 1 ]}

Homología

En topología algebraica y álgebra abstracta , la homología (en parte del griego ὁμός homos "idéntico") es un procedimiento general para asociar una secuencia de grupos o módulos abelianos con un objeto matemático dado, como un espacio topológico o un grupo . ^[¹^]^[²^]

Cohomología

En la teoría de la homología y la topología algebraica, la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos definidos a partir de un complejo de cocadenas . Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de cocadenas , cociclos y cofronteras . La cohomología puede considerarse un método para asignar invariantes algebraicos a un espacio topológico que posee una estructura algebraica más refinada que la homología . La cohomología surge de la dualización algebraica de la construcción de la homología. En un lenguaje menos abstracto, las cocadenas, en el sentido fundamental, deberían asignar "cantidades" a las cadenas de la teoría de la homología. ^{[ 1 ]}

Colectores

Una variedad es un espacio topológico que, cerca de cada punto, se asemeja al espacio euclidiano . Algunos ejemplos son el plano , la esfera y el toro , que pueden representarse en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano proyectivo real, que no pueden representarse en tres dimensiones, pero sí en cuatro. Generalmente, los resultados en topología algebraica se centran en aspectos globales y no diferenciables de las variedades; por ejemplo, la dualidad de Poincaré .

Teoría de nudos

La teoría de nudos es el estudio de los nudos matemáticos . Si bien se inspira en los nudos que aparecen en la vida cotidiana en los cordones de los zapatos y las cuerdas, el nudo de un matemático difiere en que los extremos están unidos de tal manera que no se puede deshacer. En lenguaje matemático preciso, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional . $\mathbb {R} ^{3}$ Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de $\mathbb {R} ^{3}$ sobre sí misma (conocida como isotopía ambiental ); estas transformaciones corresponden a manipulaciones de una cuerda anudada que no implican cortar la cuerda ni pasarla a través de sí misma.

Complejos

Un complejo simplicial es un espacio topológico de cierto tipo, construido mediante la unión de puntos , segmentos de línea , triángulos y sus contrapartes n -dimensionales (véase la ilustración). Los complejos simpliciales no deben confundirse con la noción más abstracta de conjunto simplicial que aparece en la teoría moderna de homotopía simplicial. La contraparte puramente combinatoria de un complejo simplicial es un complejo simplicial abstracto . ^{[ 1 ]}

Un complejo CW es un tipo de espacio topológico introducido por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . Esta clase de espacios es más amplia y posee algunas propiedades categóricas mejores que los complejos simpliciales , pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite la computación (a menudo con un complejo mucho más pequeño).

Método de invariantes algebraicos

Un nombre anterior para la disciplina era topología combinatoria , lo que implicaba un énfasis en cómo se construía un espacio X a partir de otros más simples ^{[ 3 ]} (la herramienta estándar moderna para dicha construcción es el complejo CW ). En las décadas de 1920 y 1930, se hizo mayor hincapié en la investigación de espacios topológicos mediante la búsqueda de correspondencias entre ellos y grupos algebraicos , lo que llevó al cambio de nombre a topología algebraica. ^{[ 4 ]} El nombre de topología combinatoria todavía se usa a veces para enfatizar un enfoque algorítmico basado en la descomposición de espacios. ^{[ 5 ]}

En el enfoque algebraico, se encuentra una correspondencia entre espacios y grupos que respeta la relación de homeomorfismo (o, más generalmente, homotopía ) de espacios. Esto permite reformular enunciados sobre espacios topológicos en enunciados sobre grupos, que poseen una estructura manejable, lo que a menudo facilita su demostración. Dos maneras principales de lograr esto son mediante grupos fundamentales , o, más generalmente, teoría de la homotopía , y mediante grupos de homología y cohomología . Los grupos fundamentales nos brindan información básica sobre la estructura de un espacio topológico, pero suelen ser no abelianos y pueden resultar difíciles de manejar. El grupo fundamental de un complejo simplicial (finito) sí tiene una presentación finita . ^{[ 1 ]}

Por otro lado, los grupos de homología y cohomología son abelianos y, en muchos casos importantes, finitamente generados. Los grupos abelianos finitamente generados están completamente clasificados y son particularmente fáciles de manejar.

Contextualización en la teoría de categorías

En general, todas las construcciones de topología algebraica son funtoriales ; las nociones de categoría , functor y transformación natural se originaron aquí. Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no solo son invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos homeomorfos tienen los mismos grupos asociados, sino que sus morfismos asociados también se corresponden: una aplicación continua de espacios induce un homomorfismo de grupo en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden usarse para demostrar la no existencia (o, de forma mucho más profunda, la existencia) de aplicaciones.

Uno de los primeros matemáticos en trabajar con diferentes tipos de cohomología fue Georges de Rham . Se puede utilizar la estructura diferencial de variedades diferenciables mediante la cohomología de De Rham , o la cohomología de Čech o de haces, para investigar la resolubilidad de ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión. De Rham demostró que todos estos enfoques estaban interrelacionados y que, para una variedad cerrada y orientada, los números de Betti derivados mediante homología simplicial eran los mismos que los derivados mediante la cohomología de De Rham. Esto se extendió en la década de 1950, cuando Samuel Eilenberg y Norman Steenrod generalizaron este enfoque. Definieron la homología y la cohomología como functores dotados de transformaciones naturales sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una equivalencia débil de espacios pasa a un isomorfismo de grupos de homología), verificaron que todas las teorías de (co)homología existentes satisfacían estos axiomas y, posteriormente, demostraron que dicha axiomatización caracterizaba de forma única la teoría.

Aplicaciones

Las aplicaciones clásicas de la topología algebraica incluyen:

Utilizando eso, el grupo fundamental del círculo es $\mathbb {Z}$ Se puede demostrar fácilmente el teorema fundamental del álgebra . Esta demostración se basa en ideas geométricas intuitivas.
El teorema del punto fijo de Brouwer : toda aplicación continua del disco unitario n -dimensional a sí mismo tiene un punto fijo. ^{[ 1 ]}
El rango libre del n -ésimo grupo de homología de un complejo simplicial es el n -ésimo número de Betti , lo que permite calcular la característica de Euler-Poincaré .
Se puede utilizar la estructura diferencial de las variedades diferenciables mediante la cohomología de De Rham , o la cohomología de Čech o de haces, para investigar la resolubilidad de las ecuaciones diferenciales definidas en la variedad en cuestión.
Una variedad es orientable cuando el grupo de homología integral de dimensión superior son los números enteros, y no es orientable cuando es 0.
La n -esfera admite un campo vectorial unitario continuo que no se anula en ningún punto si y solo si n es impar. (Para n = 2, esto se conoce a veces como el " teorema de la bola peluda ").
Invariancia de dominio e invariancia de dimensión.
El teorema de Borsuk-Ulam : cualquier aplicación continua de la n -esfera al espacio euclidiano n- dimensional identifica al menos un par de puntos antipodales. ^{[ 1 ]}
El teorema de la curva de Jordan y sus generalizaciones.
Teorema de Nielsen-Schreier : cualquier subgrupo de un grupo libre es libre y existe una relación explícita entre su índice y el número de generadores. Este resultado es bastante interesante, porque el enunciado es puramente algebraico, pero la demostración más simple conocida es topológica. Es decir, cualquier grupo libre G puede realizarse como el grupo fundamental de un grafo X. El teorema principal sobre espacios de recubrimiento nos dice que todo subgrupo H de G es el grupo fundamental de algún espacio de recubrimiento Y de X ; pero todo Y de este tipo es también un grafo. Por lo tanto, su grupo fundamental H es libre. Por otro lado, este tipo de aplicación también se maneja de manera más simple mediante el uso de morfismos de recubrimiento de grupoides , y esa técnica ha producido teoremas de subgrupos que aún no han sido demostrados por métodos de topología algebraica; véase Higgins (1971) .
Combinatoria topológica .

Personas notables

Teoremas importantes

Véase también

Notas

1 2 3 4 5 6 7 Hatcher, Allen. "Topología algebraica de Allen Hatcher" (PDF) . Matemáticas de Cornell - Allen Hatcher . Consultado el 12 de junio de 2026 .
↑ Fraleigh (1976 , pág. 163)
^ Fréchet, Mauricio ; Fan, Ky (2012), Invitación a la topología combinatoria , Publicaciones Courier Dover, p. 101, ISBN 9780486147888.
↑ Henle, Michael (1994), A Combinatorial Introduction to Topology , Courier Dover Publications, p. 221, ISBN 9780486679662.
↑ Spreer, Jonathan (2011), Blowups, slicings and permutation groups in combinatorial topology , Logos Verlag Berlin GmbH, p. 23, ISBN 9783832529833.

Referencias

Allegretti, Dylan GL (2008), Conjuntos simpliciales y el teorema de van Kampen(Se analizan versiones generalizadas del teorema de van Kampen aplicadas a espacios topológicos y conjuntos simpliciales).
Bredon, Glen E. (1993), Topología y geometría , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3.
Brown, R. (2007), Teoría de grupos de dimensiones superiores , archivado del original el 14 de mayo de 2016 , consultado el 17 de agosto de 2022.(Ofrece una visión general de los teoremas de van Kampen de dimensiones superiores que involucran múltiples grupoides) .
Brown, R.; Razak, A. (1984), "Un teorema de van Kampen para uniones de espacios no conexos", Arch. Math. , 42 : 85– 88, doi : 10.1007/BF01198133 , S2CID 122228464 "Presenta un teorema general sobre el grupoide fundamental con un conjunto de puntos base de un espacio que es la unión de conjuntos abiertos."
Brown, R.; Hardie, K.; Kamps, H.; Porter, T. (2002), "El doble grupoide homotópico de un espacio de Hausdorff" , Theory Appl. Categories , 10 ( 2): 71–93.
Brown, R.; Higgins, PJ (1978), "Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados", Proc. London Math. Soc. , S3-36 (2): 193– 212, doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193"La primera versión bidimensional del teorema de van Kampen."
Brown, Ronald; Higgins, Philip J.; Sivera, Rafael (2011), Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, vol. 15, European Mathematical Society, arXiv : math/0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8Archivado del original el 4 de junio de 2009.Esto proporciona un enfoque de teoría de homotopía para la topología algebraica básica, sin necesidad de una base en homología singular ni del método de aproximación simplicial. Contiene mucho material sobre módulos cruzados .
Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Topología algebraica: Un primer curso, Edición revisada , Serie de apuntes de clase de matemáticas, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576Un enfoque funtorial y algebraico, originalmente propuesto por Greenberg, al que Harper añadió un toque geométrico.
Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0Una introducción moderna y con un enfoque geométrico a la topología algebraica.
Higgins, Philip J. (1971), Notas sobre categorías y grupoides , Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
Maunder, CRF (1970), "Topología algebraica", Nature , vol. 227, Londres: Van Nostrand Reinhold, p. 756, Bibcode : 1970Natur.227..756F , doi : 10.1038/227756a0 , ISBN 0-486-69131-4.
Tom Dieck, Tammo (2008), Topología algebraica , EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
van Kampen, Egbert (1933), "Sobre la conexión entre los grupos fundamentales de algunos espacios relacionados", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7 , JSTOR 51000091

Lecturas adicionales

Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.y ISBN 0-521-79540-0.
"Topología algebraica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
May JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press . Archivado (PDF) del original el 9 de octubre de 2022. Recuperado el 27 de septiembre de 2008 .La sección 2.7 proporciona una presentación en teoría de categorías del teorema como un colímite en la categoría de grupoides.

[:0-1] 1 2 3 4 5 6 7 Hatcher, Allen. "Topología algebraica de Allen Hatcher" (PDF) . Matemáticas de Cornell - Allen Hatcher . Consultado el 12 de junio de 2026 .

[2] Fraleigh (1976 , pág. 163)

[3] Fréchet, Mauricio ; Fan, Ky (2012), Invitación a la topología combinatoria , Publicaciones Courier Dover, p. 101, ISBN 9780486147888.

[4] Henle, Michael (1994), A Combinatorial Introduction to Topology , Courier Dover Publications, p. 221, ISBN 9780486679662.

[5] Spreer, Jonathan (2011), Blowups, slicings and permutation groups in combinatorial topology , Logos Verlag Berlin GmbH, p. 23, ISBN 9783832529833.

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]