espacio bidimensional

Un espacio bidimensional es un espacio matemático con dos dimensiones , lo que significa que los puntos tienen dos grados de libertad : sus ubicaciones pueden describirse localmente con dos coordenadas o pueden moverse en dos direcciones independientes. Los espacios bidimensionales comunes suelen llamarse planos (especialmente el plano euclidiano ) o, más generalmente, superficies . Estas incluyen análogos a espacios físicos, como planos planos, y superficies curvas como esferas, cilindros y conos, que pueden ser infinitos o finitos. Algunos espacios matemáticos bidimensionales no se utilizan para representar posiciones físicas, como un plano afín o un plano complejo .

El ejemplo más básico es el plano euclidiano , una idealización de una superficie plana en el espacio físico, como una hoja de papel o una pizarra. En el plano euclidiano, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una única línea recta a lo largo de la cual se puede medir la distancia . El espacio es plano porque dos líneas cualesquiera atravesadas por una tercera línea perpendicular a ambas son paralelas , lo que significa que nunca se cruzan y se mantienen a una distancia uniforme entre sí.

Los espacios bidimensionales también pueden ser curvos , por ejemplo la esfera y el plano hiperbólico , cuyas porciones suficientemente pequeñas se asemejan al plano, pero en los que las líneas rectas localmente paralelas no permanecen equidistantes entre sí, sino que finalmente convergen o divergen, respectivamente. Los espacios bidimensionales con un concepto de distancia localmente euclidiano, pero que pueden tener una curvatura no uniforme , se denominan superficies riemannianas . (No confundir con las superficies de Riemann ). Algunas superficies están incrustadas en el espacio euclidiano tridimensional o en algún otro espacio ambiente , y heredan su estructura de él; por ejemplo, las superficies regladas como el cilindro y el cono contienen una línea recta que pasa por cada punto, y las superficies mínimas minimizan localmente su área, como ocurre físicamente con las películas de jabón .

Las superficies lorentzianas se parecen localmente a una sección bidimensional del espaciotiempo relativista con una dimensión espacial y una dimensión temporal; ejemplos de curvatura constante son el plano lorentziano plano (un subespacio bidimensional del espacio de Minkowski ) y los planos curvos de De Sitter y anti-De Sitter .

Otros tipos de planos y superficies matemáticas modifican o eliminan las estructuras que definen el plano euclidiano. Por ejemplo, el plano afín tiene una noción de líneas paralelas pero no de distancia; sin embargo, las áreas con signo se pueden comparar de manera significativa, como en una superficie simpléctica más general. El plano proyectivo elimina tanto la distancia como el paralelismo. Un espacio métrico bidimensional tiene algún concepto de distancia pero no necesariamente coincide con la versión euclidiana. Una superficie topológica se puede estirar, torcer o doblar sin cambiar sus propiedades esenciales. Una superficie algebraica es un conjunto bidimensional de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas .

Algunos espacios matemáticos poseen una estructura aritmética adicional asociada a sus puntos. Un plano vectorial es un plano afín cuyos puntos, denominados vectores , incluyen un origen o vector cero específico . Los vectores pueden sumarse o multiplicarse por un número, y opcionalmente poseen un concepto de distancia euclidiana, lorentziana o galileana. El plano complejo , el plano hiperbólico y el plano dual tienen puntos que se consideran números y pueden sumarse y multiplicarse. Una superficie de Riemann o una superficie de Lorentz se asemejan localmente al plano complejo o al plano hiperbólico, respectivamente.

Los espacios matemáticos a menudo se definen o representan utilizando números en lugar de axiomas geométricos . Uno de los espacios bidimensionales más fundamentales es el espacio de coordenadas reales , denotado ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$Consta de pares de coordenadas de números reales . A veces, este espacio representa cantidades arbitrarias en lugar de posiciones geométricas, como en el espacio de parámetros de un modelo matemático o el espacio de configuración de un sistema físico.

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