Símbolo 3-j

En mecánica cuántica , los símbolos 3-j de Wigner , también llamados símbolos 3 -jm , son una alternativa a los coeficientes de Clebsch-Gordan para sumar momentos angulares. ^{[ 1 ]} Si bien ambos enfoques abordan exactamente el mismo problema físico, los símbolos 3- j lo hacen de manera más simétrica.

Los símbolos 3- j se dan en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,(-m_{3})\rangle .}$

Los componentes j y m son números cuánticos de momento angular, es decir, cada j (y cada m correspondiente ) es un entero no negativo o un semi-entero impar . El exponente del factor de signo es siempre un entero, por lo que permanece igual cuando se transpone a la izquierda, y la relación inversa se obtiene al realizar la sustitución m ₃ → − m ₃ :

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle =(-1)^{-j_{1}+j_{2}-m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}&\equiv \delta (m_{1}+m_{2}+m_{3},0)(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}{}{\sqrt {\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{1}-j_{2}+j_{3})!(-j_{1}+j_{2}+j_{3})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}}\ \times {}\\[6pt]&\times {\sqrt {(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!(j_{2}-m_{2})!(j_{2}+m_{2})!(j_{3}-m_{3})!(j_{3}+m_{3})!}}\ \times {}\\[6pt]&\times \sum _{k=K}^{N}{\frac {(-1)^{k}}{k!(j_{1}+j_{2}-j_{3}-k)!(j_{1}-m_{1}-k)!(j_{2}+m_{2}-k)!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+k)!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+k)!}},\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \delta (i,j)}$es el delta de Kronecker .

La suma se realiza sobre aquellos valores enteros k para los cuales el argumento de cada factorial en el denominador es no negativo, es decir, los límites de la suma K y N se toman iguales: el menor${\displaystyle K=\max(0,j_{2}-j_{3}-m_{1},j_{1}-j_{3}+m_{2}),}$el de arriba${\displaystyle N=\min(j_{1}+j_{2}-j_{3},j_{1}-m_{1},j_{2}+m_{2}).}$Los factoriales de números negativos se toman convencionalmente iguales a cero, de modo que los valores del símbolo 3j en , por ejemplo,${\displaystyle j_{3}>j_{1}+j_{2}}$o${\displaystyle j_{1}<m_{1}}$se establecen automáticamente a cero.

Los coeficientes CG se definen de manera que expresan la suma de dos momentos angulares en términos de un tercero:

${\displaystyle |j_{3}\,m_{3}\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\langle j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}|j_{3}\,m_{3}\rangle |j_{1}\,m_{1}\,j_{2}\,m_{2}\rangle .}$

Los símbolos 3- j , por otro lado, son los coeficientes a los que se deben sumar tres momentos angulares para que el resultante sea cero:

${\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=|0\,0\rangle .}$

Aquí${\displaystyle |0\,0\rangle }$es el estado de momento angular cero (${\displaystyle j=m=0}$). Es evidente que el símbolo 3- j trata los tres momentos angulares involucrados en el problema de suma en igualdad de condiciones y, por lo tanto, es más simétrico que el coeficiente CG.

Desde el estado${\displaystyle |0\,0\rangle }$no se ve afectado por la rotación, también se dice que la contracción del producto de tres estados rotacionales con un símbolo 3- j es invariante bajo rotaciones.

El símbolo Wigner 3- j es cero a menos que se cumplan todas estas condiciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{i}\in \{-j_{i},-j_{i}+1,-j_{i}+2,\ldots ,j_{i}\}\quad (i=1,2,3),\\&m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,\\&|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2},\\&(j_{1}+j_{2}+j_{3}){\text{ is an integer (and, moreover, an even integer if }}m_{1}=m_{2}=m_{3}=0{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Un símbolo 3- j es invariante bajo una permutación par de sus columnas:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}$

Una permutación impar de las columnas da como resultado un factor de fase :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle =(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\m_{3}&m_{2}&m_{1}\end{pmatrix}}.}$

Cambiar el signo de la${\displaystyle m}$Los números cuánticos ( inversión temporal ) también dan una fase:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Los símbolos 3- j también poseen las llamadas simetrías de Regge, que no se deben a permutaciones ni a inversión temporal. ^{[ 2 ]} Estas simetrías son:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{1}&{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}\\j_{3}-j_{2}&{\frac {j_{2}-j_{3}-m_{1}}{2}}-m_{3}&{\frac {j_{2}-j_{3}+m_{1}}{2}}+m_{3}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}{\frac {j_{2}+j_{3}+m_{1}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{3}+m_{2}}{2}}&{\frac {j_{1}+j_{2}+m_{3}}{2}}\\j_{1}-{\frac {j_{2}+j_{3}-m_{1}}{2}}&j_{2}-{\frac {j_{1}+j_{3}-m_{2}}{2}}&j_{3}-{\frac {j_{1}+j_{2}-m_{3}}{2}}\end{pmatrix}}.}$

Con las simetrías de Regge, el símbolo 3- j tiene un total de 72 simetrías. Estas se muestran mejor mediante la definición de un símbolo de Regge, que es una correspondencia uno a uno entre él y un símbolo 3- j y asume las propiedades de un cuadrado semimágico: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle R={\begin{array}{|ccc|}\hline -j_{1}+j_{2}+j_{3}&j_{1}-j_{2}+j_{3}&j_{1}+j_{2}-j_{3}\\j_{1}-m_{1}&j_{2}-m_{2}&j_{3}-m_{3}\\j_{1}+m_{1}&j_{2}+m_{2}&j_{3}+m_{3}\\\hline \end{array}},}$

de modo que las 72 simetrías ahora corresponden a 3! intercambios de filas y 3! intercambios de columnas más una transposición de la matriz. Estos hechos pueden utilizarse para diseñar un esquema de almacenamiento eficaz. ^{[ 3 ]}

Un sistema de dos momentos angulares con magnitudes j ₁ y j ₂ puede describirse en términos de los estados base desacoplados (etiquetados por los números cuánticos m ₁ y m ₂ ) o de los estados base acoplados (etiquetados por j ₃ y m ₃ ). Los símbolos 3- j constituyen una transformación unitaria entre estas dos bases, y esta unitariedad implica las relaciones de ortogonalidad.

${\displaystyle (2j_{3}+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'_{3}\\m_{1}&m_{2}&m'_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{j_{3},j'_{3}}\delta _{m_{3},m'_{3}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}},}$

${\displaystyle \sum _{j_{3}m_{3}}(2j_{3}+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}'&m_{2}'&m_{3}\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}.}$

El delta triangular { j ₁ j ₂ j ₃ }   es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones triangulares, y es cero en caso contrario. El delta triangular en sí mismo a veces se denomina, de forma confusa ^{[ 4 ],} un " símbolo 3- j " (sin la m ) por analogía con los símbolos 6- j y 9- j , que son sumas irreducibles de símbolos 3- jm donde no quedan variables m .

Los símbolos 3- jm dan la integral de los productos de tres armónicos esféricos ^{[ 5 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&\quad ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

con${\displaystyle l_{1}}$,${\displaystyle l_{2}}$y${\displaystyle l_{3}}$enteros. Estas integrales se denominan coeficientes de Gaunt.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{-}{\sqrt {(l_{3}\mp s_{3})(l_{3}\pm s_{3}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}\pm 1\end{pmatrix}}=\\&\quad ={\sqrt {(l_{1}\mp s_{1})(l_{1}\pm s_{1}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}\pm 1&s_{2}&s_{3}\end{pmatrix}}+{\sqrt {(l_{2}\mp s_{2})(l_{2}\pm s_{2}+1)}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\s_{1}&s_{2}\pm 1&s_{3}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Para${\displaystyle l_{1}\ll l_{2},l_{3}}$un símbolo 3- j distinto de cero es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {2l_{3}+1}}},}$

dónde${\displaystyle \cos(\theta )=-2m_{3}/(2l_{3}+1)}$, y${\displaystyle d_{mn}^{l}}$es una función de Wigner . Generalmente, una mejor aproximación que obedece la simetría de Regge viene dada por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\approx (-1)^{l_{3}+m_{3}}{\frac {d_{m_{1},l_{3}-l_{2}}^{l_{1}}(\theta )}{\sqrt {l_{2}+l_{3}+1}}},}$

dónde${\displaystyle \cos(\theta )=(m_{2}-m_{3})/(l_{2}+l_{3}+1)}$.

La siguiente cantidad actúa como un tensor métrico en la teoría del momento angular y también se conoce como símbolo Wigner 1-jm : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j\\m\quad m'\end{pmatrix}}:={\sqrt {2j+1}}{\begin{pmatrix}j&0&j\\m&0&m'\end{pmatrix}}=(-1)^{j-m'}\delta _{m,-m'}.}$

Puede utilizarse para realizar una inversión temporal en los momentos angulares.

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {2j+1}}\,\delta _{J,0}.}$

De la ecuación (3.7.9) en ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j&j&0\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2j+1}}}(-1)^{j-m}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}P_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)\,dx={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2},}$

donde P son polinomios de Legendre .

Los símbolos Wigner 3- j están relacionados con los coeficientes V de Racah ^{[ 7 ]} mediante una fase simple:

${\displaystyle V(j_{1}\,j_{2}\,j_{3};m_{1}\,m_{2}\,m_{3})=(-1)^{j_{1}-j_{2}-j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}$

Esta sección reformula esencialmente la relación definicional en el lenguaje de la teoría de grupos.

Una representación de grupo de un grupo es un homomorfismo del grupo en un grupo de transformaciones lineales sobre algún espacio vectorial . Las transformaciones lineales pueden estar dadas por un grupo de matrices con respecto a alguna base del espacio vectorial.

El grupo de transformaciones que dejan invariantes los momentos angulares es el grupo de rotación tridimensional SO(3) . Cuando se incluyen los momentos angulares de "espín", el grupo es su grupo de recubrimiento doble , SU(2) .

Una representación reducible es aquella en la que, mediante un cambio de base, todas las matrices pueden transformarse en una matriz diagonal por bloques. Una representación es irreducible (irrep) si no existe tal transformación.

Para cada valor de j , los 2j +1 kets forman una base para una representación irreducible (irrep) de SO(3)/SU(2) sobre los números complejos. Dadas dos irreps, el producto directo tensorial se puede reducir a una suma de irreps, dando lugar a los coeficientes de Clebsch-Gordon, o bien mediante la reducción del triple producto de tres irreps a la irrep trivial 1, dando lugar a los símbolos 3j.

El${\displaystyle 3j}$El símbolo ha sido estudiado con mayor intensidad en el contexto del acoplamiento del momento angular. Por ello, está fuertemente relacionado con la teoría de representación de grupos de los grupos SU(2) y SO(3), como se ha comentado anteriormente. Sin embargo, muchos otros grupos son importantes en física y química , y se ha realizado mucho trabajo sobre el${\displaystyle 3j}$símbolo para estos otros grupos. En esta sección se analiza parte de ese trabajo.

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Armónicos esféricos
• Símbolo 6-j
• Símbolo 9-j
• Representaciones de los grupos de Lie clásicos

• Stone, Anthony. "Calculadora del coeficiente de Wigner" .
• Volya, A. " Calculadora web de coeficientes Clebsch-Gordan, 3- j y 6- j " . Archivado del original el 29 de septiembre de 2007.(Numérico)
• Stevenson, Paul (2002). "Clebsch-O-Matic" . Computer Physics Communications . 147 (3): 853– 858. Bibcode : 2002CoPhC.147..853S . doi : 10.1016/S0010-4655(02)00462-9 .
• Calculadora de símbolos 369j en el Laboratorio de Plasma del Instituto Weizmann de Ciencias (Numérico)
• Frederik J Simons: Archivo de software Matlab, el código THREEJ.M
• Sage (software matemático) proporciona la respuesta exacta para cualquier valor de j, m.
• Johansson, HT; Forssén, C. "(WIGXJPF)" .(preciso; C, Fortran, Python)
• Johansson, HT "(FASTWIGXJ)" .(búsqueda rápida y precisa; C, Fortran)