Símbolo 9-j

En física, los símbolos 9- j de Wigner fueron introducidos por Eugene Paul Wigner en 1937. Están relacionados con los coeficientes de reacoplamiento en la mecánica cuántica que involucran cuatro momentos angulares:

${\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}}$ ${\displaystyle =\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{ 4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

El acoplamiento de dos momentos angulares y es la construcción de funciones propias simultáneas de y , donde , como se explica en el artículo sobre los coeficientes de Clebsch-Gordan . ${\displaystyle \mathbf {j} _ {1}}$${\displaystyle \mathbf {j}_{2}}$${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$$estilo de visualización J_ {z}}$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}$

El acoplamiento de tres momentos angulares se puede realizar de varias maneras, como se explica en el artículo sobre los coeficientes W de Racah . Utilizando la notación y las técnicas de ese artículo, los estados de momento angular total que surgen del acoplamiento de los vectores de momento angular , , y pueden escribirse como ${\displaystyle \mathbf {j} _ {1}}$${\displaystyle \mathbf {j}_{2}}$${\displaystyle \mathbf {j}_{4}}$${\displaystyle \mathbf {j} _{5}}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}m_{9}\rangle.}$

Alternativamente, uno puede primero acoplar y a y y a , antes de acoplar y a : ${\displaystyle \mathbf {j} _ {1}}$${\displaystyle \mathbf {j}_{4}}$${\displaystyle \mathbf {j} _ {7}}$${\displaystyle \mathbf {j}_{2}}$${\displaystyle \mathbf {j} _{5}}$${\displaystyle \mathbf {j} _ {8}}$${\displaystyle \mathbf {j} _ {7}}$${\displaystyle \mathbf {j} _ {8}}$${\displaystyle \mathbf {j}_{9}}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle.}$

Ambos conjuntos de funciones proporcionan una base ortonormal completa para el espacio con dimensión abarcada por ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{4}+1)(2j_{5}+1)}$

${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{4}m_{4}\rangle |j_{5}m_{5}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{4}=-j_{4},\ldots ,j_{4};\;\;m_{5}=-j_{5},\ldots ,j_{5}.}$

Por lo tanto, la transformación entre los dos conjuntos es unitaria y los elementos de la matriz de la transformación están dados por los productos escalares de las funciones. Como en el caso de los coeficientes W de Racah, los elementos de la matriz son independientes del número cuántico de proyección del momento angular total ( ): $Estilo de visualización m_{9}$

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}m_{9}\rangle =\sum _{ j_ {3}}\sum _ {j_ {6}}|((j_ {1} j_ {2}) j_ {3}, (j_ {4} j_ {5}) j_ {6}) j_ {9} m_ {9}\rangle \langle ((j_ {1}j_ {2}) j_ {3}, (j_ {4} j_ {5}) j_ {6}) j_ {9}|((j_ {1} j_ {4}) j_ {7}, (j_ {2} j_ {5}) j_ {8}) j_ {9}\rangle.}$

Un símbolo 9- j es invariante bajo la reflexión sobre cualquier diagonal e incluso sobre permutaciones de sus filas o columnas:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}= {\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Una permutación impar de filas o columnas produce un factor de fase , donde ${\displaystyle (-1)^{S}}$

${\displaystyle S=\suma _{i=1}^{9}j_{i}.}$

Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.}$

Los símbolos 9- j se pueden calcular como sumas sobre productos triples de símbolos 6- j donde la suma se extiende sobre todos los x admitidos por las condiciones del triángulo en los factores:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}}$.

Cuando el símbolo 9- j es proporcional a un símbolo 6-j : ${\displaystyle j_{9}=0}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.}$

Los símbolos 9- j satisfacen esta relación de ortogonalidad:

${\displaystyle \sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.}$

El delta triangular { j ₁   j ₂   j ₃ } es igual a 1 cuando la tríada ( j ₁ , j ₂ , j ₃ ) satisface las condiciones del triángulo, y cero en caso contrario.

El símbolo 6-j es el primer representante, n = 2 , de 3 símbolos n - j que se definen como sumas de productos de n de los coeficientes 3- jm de Wigner . Las sumas son sobre todas las combinaciones de m que admiten los 3 coeficientes n - j , es decir, que conducen a contribuciones no nulas.

Si cada factor 3- jm está representado por un vértice y cada j por una arista, estos 3 n - j símbolos pueden ser mapeados en ciertos grafos 3-regulares con 3 n aristas y 2 n nodos. El símbolo 6- j está asociado con el grafo K ₄ en 4 vértices, el símbolo 9- j con el grafo de utilidad en 6 vértices ( K _{3,3 ), y los dos símbolos 12-} j distintos (no isomorfos) con los grafos Q ₃ y Wagner en 8 vértices. Las relaciones de simetría son generalmente representativas del grupo de automorfismos de estos grafos.

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Símbolo 3-j , también llamado símbolo 3-jm
• Coeficiente W de Racah
• Símbolo 6-j

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