grupo de 3 pasos

En matemáticas , un grupo de 3 pasos es un tipo especial de grupo con longitud de Fitting como máximo 3, que se utiliza en la clasificación de grupos CN y en el teorema de Feit-Thompson . La definición de un grupo de 3 pasos en estos dos casos es ligeramente diferente.

En la teoría de grupos CN, un grupo de 3 pasos (para algún primo p ) es un grupo tal que:

• G = O _{p , p ' , p} ( G )
• O _{p , p ′} ( G ) es un grupo de Frobenius con núcleo O _p ( G )
• G /O _p ( G ) es un grupo de Frobenius con núcleo O _{p , p ′} ( G )/O _p ( G )

Cualquier grupo de 3 pasos es un grupo CN resoluble , y a la inversa, cualquier grupo CN resoluble es nilpotente , o un grupo de Frobenius, o un grupo de 3 pasos.

Ejemplo: el grupo simétrico S ₄ es un grupo de 3 pasos para el primo p = 2 .

Feit y Thompson (1963 , p. 780) definieron un grupo de tres pasos como un grupo G que satisface las siguientes condiciones:

• El grupo derivado de G es un subgrupo de Hall con un complemento cíclico Q.
• Si H es el subgrupo de Hall nilpotente normal máximo de G , entonces G ′ ′ ⊆ H C _G ( H )⊆ G ′ y H C _G es nilpotente y H no es cíclico.
• Para q ∈ Q no trivial, C _G ( q ) es cíclico y no trivial e independiente de q .

• Feit, Walter ; Thompson, John G. (1963), "Solubilidad de grupos de orden impar" , Pacific Journal of Mathematics , 13 : 775–1029 , doi : 10.2140/pjm.1963.13.775 , ISSN 0030-8730 , MR 0166261  
• Feit, Walter ; Thompson, John G.; Hall , Marshall Jr. (1960), "Grupos finitos en los que el centralizador de cualquier elemento distinto de la identidad es nilpotente", Mathematische Zeitschrift , 74 : 1–17 , doi : 10.1007/BF01180468 , ISSN 0025-5874 , MR 0114856  
• Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209