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operador de momento

En mecánica cuántica , el operador de momento es el operador asociado al momento lineal . El operador de momento es, en la representación de posición, un ejemplo de operador dif...

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En mecánica cuántica , el operador de momento es el operador asociado al momento lineal . El operador de momento es, en la representación de posición, un ejemplo de operador diferencial . Para el caso de una partícula en una dimensión espacial, la definición es: pag^=−iℏ∂∂incógnita{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} donde ħ es la constante de Planck reducida , i la unidad imaginaria , x es la coordenada espacial y una derivada parcial (denotada por∂/∂incógnita{\displaystyle \partial /\partial x}Se utiliza en lugar de la derivada total ( d / dx ) ya que la función de onda también es una función del tiempo. El símbolo "sombrero" indica un operador. La aplicación del operador a una función de onda diferenciable es la siguiente: pag^ψ=−iℏ∂ψ∂incógnita{\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}

En una base del espacio de Hilbert que consta de autoestados de momento expresados ​​en la representación de momento, la acción del operador es simplemente una multiplicación por p , es decir, es un operador de multiplicación , al igual que el operador de posición es un operador de multiplicación en la representación de posición. Nótese que la definición anterior es el momento canónico , que no es invariante de gauge y no es una magnitud física medible para partículas cargadas en un campo electromagnético . En ese caso, el momento canónico no es igual al momento cinético .

En la década de 1920, cuando se desarrolló la mecánica cuántica, muchos físicos teóricos, entre ellos Niels Bohr , Arnold Sommerfeld , Erwin Schrödinger y Eugene Wigner , descubrieron el operador de momento . Su existencia y forma se consideran a veces uno de los postulados fundamentales de la mecánica cuántica.

Origen a partir de ondas planas de De Broglie

Los operadores de momento y energía se pueden construir de la siguiente manera. [ 1 ]

Una dimensión

Comenzando en una dimensión, utilizando la solución de onda plana a la ecuación de Schrödinger de una sola partícula libre, ψ(incógnita,t)=miiℏ(pagincógnita−mit),{\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},} donde p se interpreta como el momento en la dirección x y E es la energía de la partícula. La derivada parcial de primer orden con respecto al espacio es ∂ψ(incógnita,t)∂incógnita=ipagℏmiiℏ(pagincógnita−mit)=ipagℏψ.{\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}

Esto sugiere la equivalencia de operadores. pag^=−iℏ∂∂incógnita{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} Así, el momento de la partícula y el valor que se mide cuando una partícula está en un estado de onda plana es el autovalor (generalizado) del operador anterior. [ 2 ]

Dado que la derivada parcial es un operador lineal , el operador de momento también lo es. Además, como cualquier función de onda puede expresarse como una superposición de otros estados, cuando este operador de momento actúa sobre la onda superpuesta completa, produce los autovalores de momento para cada componente de onda plana. Estos nuevos componentes se superponen para formar el nuevo estado, que en general no es un múltiplo de la función de onda original.

Tres dimensiones

La derivación en tres dimensiones es la misma, excepto que se utiliza el operador gradiente del en lugar de una derivada parcial. En tres dimensiones, la solución de onda plana de la ecuación de Schrödinger es: ψ=miiℏ(pag⋅r−mit){\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}} y el gradiente es ∇ψ=miincógnita∂ψ∂incógnita+miy∂ψ∂y+miz∂ψ∂z=iℏ(pagincógnitamiincógnita+pagymiy+pagzmiz)ψ=iℏpagψ{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}} donde e x , e y , y e z son los vectores unitarios para las tres dimensiones espaciales, por lo tanto pag^=−iℏ∇{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }

Este operador de momento está en el espacio de posiciones porque las derivadas parciales se tomaron con respecto a las variables espaciales.

Definición (espacio de posición)

Para una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín , el operador de momento se puede escribir en la base de posición como: [ 3 ]pag^=−iℏ∇{\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla } donde ∇ es el operador gradiente , ħ es la constante de Planck reducida e i es la unidad imaginaria .

En una dimensión espacial, esto se convierte en [ 4 ]pag^=pag^incógnita=−iℏ∂∂incógnita.{\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}

Esta es la expresión para el momento canónico . Para una partícula cargada q en un campo electromagnético , durante una transformación de gauge , la función de onda del espacio de posiciones sufre una transformación de grupo U(1) local , [ 5 ] ypag^ψ=−iℏ∂ψ∂incógnita{\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}cambiará su valor. Por lo tanto, el momento canónico no es invariante de gauge y, por consiguiente, no es una magnitud física medible.

El momento cinético , una magnitud física invariante de gauge, puede expresarse en términos del momento canónico, el potencial escalar φ y el potencial vectorial A : [ 6 ]  PAG^=−iℏ∇−qA{\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }

La expresión anterior se denomina acoplamiento mínimo . Para partículas eléctricamente neutras, el momento canónico es igual al momento cinético.

Propiedades

Hermiticidad

El operador de momento puede describirse como un operador simétrico (es decir, hermitiano) e ilimitado que actúa sobre un subespacio denso del espacio de estados cuánticos . Si el operador actúa sobre un estado cuántico ( normalizable ) , entonces es autoadjunto . En física, el término hermitiano suele referirse tanto a operadores simétricos como autoadjuntos. [ 7 ] [ 8 ]

(En ciertas situaciones artificiales, como los estados cuánticos en el intervalo semiinfinito [ 0, ∞) , no hay manera de hacer que el operador de momento sea hermitiano. [ 9 ] Esto está estrechamente relacionado con el hecho de que un intervalo semiinfinito no puede tener simetría traslacional; más específicamente, no tiene operadores de traslación unitarios . Véase más adelante .)

Relación de conmutación canónica

Aplicando el conmutador a un estado arbitrario en la base de posición o de momento, se puede demostrar fácilmente que: [incógnita^,pag^]=incógnita^pag^−pag^incógnita^=iℏI,{\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar \mathbb {I} ,} dóndeI{\displaystyle \mathbb {I} }es el operador unitario . [ 10 ] El principio de incertidumbre de Heisenberg define límites sobre la precisión con la que se pueden conocer simultáneamente el momento y la posición de un único sistema observable. En mecánica cuántica, la posición y el momento son variables conjugadas .

transformada de Fourier

La siguiente discusión utiliza la notación bra-ket . Se puede escribir ψ(incógnita)=⟨incógnita|ψ⟩=∫dpag ⟨incógnita|pag⟩⟨pag|ψ⟩=∫dpag miiincógnitapag/ℏψ~(pag)2πℏ,{\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},} Por lo tanto, la tilde representa la transformada de Fourier, al convertir del espacio de coordenadas al espacio de momentos. Entonces se cumple que pag^=∫dpag |pag⟩pag⟨pag|=−iℏ∫dincógnita |incógnita⟩ddincógnita⟨incógnita| ,{\displaystyle {\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,} es decir, el momento que actúa en el espacio de coordenadas corresponde a la frecuencia espacial , ⟨incógnita|pag^|ψ⟩=−iℏddincógnitaψ(incógnita).{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).}

Un resultado análogo se aplica al operador de posición en la base de momento, ⟨pag|incógnita^|ψ⟩=iℏddpagψ(pag),{\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),} lo que conduce a relaciones útiles adicionales, ⟨pag|incógnita^|pag′⟩=iℏddpagδ(pag−pag′),{\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),}⟨incógnita|pag^|incógnita′⟩=−iℏddincógnitaδ(incógnita−incógnita′),{\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),} donde δ representa la función delta de Dirac .

Derivación a partir de traslaciones infinitesimales

El operador de traslación se denota como T ( ε ) , donde ε representa la longitud de la traslación. Satisface la siguiente identidad: T(ε)|ψ⟩=∫dincógnitaT(ε)|incógnita⟩⟨incógnita|ψ⟩{\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle } eso se convierte en ∫dincógnita|incógnita+ε⟩⟨incógnita|ψ⟩=∫dincógnita|incógnita⟩⟨incógnita−ε|ψ⟩=∫dincógnita|incógnita⟩ψ(incógnita−ε){\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}

Suponiendo la funciónψ{\displaystyle \psi }Para que sea analítica (es decir, diferenciable en algún dominio del plano complejo ), se puede desarrollar en una serie de Taylor alrededor de x : ψ(incógnita−ε)=ψ(incógnita)−εdψdincógnita{\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}} Así pues, para valores infinitesimales de ε : T(ε)=1−εddincógnita=1−iℏε(−iℏddincógnita){\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}

Como se sabe por la mecánica clásica , el momento es el generador de la traslación , por lo que la relación entre los operadores de traslación y momento es: [ 11 ]T(ε)=1−iℏεpag^{\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}} de este modo pag^=−iℏddincógnita.{\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}

operador de 4 momentos

Insertando el operador de momento 3d anterior y el operador de energía en el 4-momento (como una 1-forma con signatura métrica (+ − − −) ): PAGμ=(mido,−pag){\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)} obtiene el operador de cuadrimomento : PAG^μ=(1domi^,−pag^)=iℏ(1do∂∂t,∇)=iℏ∂μ{\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }} donde ∂ μ es el 4-gradiente , y el − iħ se convierte en + iħ que precede al operador de 3-momento. Este operador aparece en la teoría cuántica de campos relativista , como la ecuación de Dirac y otras ecuaciones de onda relativistas , ya que la energía y el momento se combinan en el vector de 4-momento anterior, los operadores de momento y energía corresponden a derivadas espaciales y temporales, y deben ser derivadas parciales de primer orden para la covarianza de Lorentz .

El operador de Dirac y la barra de Dirac del cuadrimomento se obtienen contrayendo con las matrices gamma : γμPAG^μ=iℏγμ∂μ=PAG^=iℏ∂/{\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}

Si la firma fuera (− + + +) , el operador sería PAG^μ=(−1domi^,pag^)=−iℏ(1do∂∂t,∇)=−iℏ∂μ{\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }} en cambio.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
  2. ↑ de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid. pag. 106. 
  3. ↑ Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, McGraw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546-9
  4. ↑ En la representación de coordenadas de posición, es decir,−iℏ∫dincógnita|incógnita⟩∂incógnita⟨incógnita|.{\textstyle -i\hbar \int dx\left|x\right\rangle \partial _{x}\langle x|.}
  5. ^ Zinn-Justin, Jean; Guida, Ricardo (4 de diciembre de 2008). "Invariancia de calibre" . Scholarpedia . 3 (12): 8287. Código bibliográfico : 2008SchpJ...3.8287Z . doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN 1941-6016 . 
  6. ↑ Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
  7. ↑ Consulte las notas de clase 1 de Robert Littlejohn, archivadas el 17 de junio de 2012 en Wayback Machine, para un análisis matemático específico y una demostración para el caso de una partícula única, sin carga y con espín cero. Consulte las notas de clase 4 de Robert Littlejohn para el caso general.
  8. ↑ Hall, BC (2013). Teoría cuántica para matemáticos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 267. Springer. pág. 64. Bibcode : 2013qtm..book.....H . ISBN   978-1461471158.
  9. ↑ Bonneau, G., Faraut, J., Valent, G. (2001). "Extensiones autoadjuntas de operadores y la enseñanza de la mecánica cuántica". American Journal of Physics . 69 (3): 322– 331. arXiv : quant-ph/0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B . doi : 10.1119/1.1328351 . S2CID 16949018 . {{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  10. ↑ Nacido, M .; Jordania, P. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik (en alemán). 34 (1): 858– 888. Bibcode : 1925ZPhy...34..858B . doi : 10.1007/BF01328531 . ISSN 1434-6001 . 
  11. ↑ Sakurai, Jun John; Napolitano, Jim (2021). Mecánica cuántica moderna (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  978-1-108-47322-4.