Rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones

Una simple rotación R alrededor de un centro de rotación O deja fijo todo un plano A que pasa por O (plano eje). Todo plano B que es completamente ortogonal a A interseca a A en un punto P. Para cada uno de estos puntos, P es el centro de la rotación bidimensional inducida por R en B. Todas estas rotaciones bidimensionales tienen el mismo ángulo de rotación α .

Las semirrectas desde O en el plano del eje A no se desplazan; las semirrectas desde O ortogonales a A se desplazan en α ; todas las demás semirrectas se desplazan en un ángulo menor que α .

Para cada rotación R del espacio de 4 dimensiones (fijando el origen), hay al menos un par de planos ortogonales de 2 dimensiones A y B, cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa A ⊕ B es todo el espacio de 4 dimensiones. Por lo tanto, R operando sobre cualquiera de estos planos produce una rotación ordinaria de ese plano. Para casi todas las R (todas las rotaciones del conjunto de 6 dimensiones excepto un subconjunto de 3 dimensiones), los ángulos de rotación α en el plano A y β en el plano B —ambos supuestos distintos de cero— son diferentes. Los ángulos de rotación desiguales α y β que satisfacen −π < α , β < π están casi ^{[ a ]} ​​determinados unívocamente por R . Suponiendo que el espacio de 4 dimensiones está orientado, entonces las orientaciones de los planos de 2 dimensiones A y B pueden elegirse de manera consistente con esta orientación de dos maneras. Si los ángulos de rotación son desiguales ( α ≠ β ), a R se le denomina a veces "doble rotación".

En ese caso de una doble rotación, A y B son el único par de planos invariantes, y las semirrectas desde el origen en A y B se desplazan a través de α y β respectivamente, y las semirrectas desde el origen que no están en A o B se desplazan a través de ángulos estrictamente entre α y β .

SO(4) es un grupo de Lie compacto no conmutativo de 6 dimensiones .

Cada plano que pasa por el centro de rotación O es el plano axial de un subgrupo conmutativo isomorfo a SO(2). Todos estos subgrupos son mutuamente conjugados en SO(4).

Cada par de planos completamente ortogonales que pasan por O es el par de planos invariantes de un subgrupo conmutativo de SO(4) isomorfo a SO(2) × SO(2) .

Estos grupos son toros máximos de SO(4), que son todos mutuamente conjugados en SO(4). Véase también toro de Clifford .

Todas las rotaciones isoclínicas izquierdas forman un subgrupo no conmutativo S ³ _L de SO(4), que es isomorfo al grupo multiplicativo S ³ de cuaterniones unitarios . De igual modo, todas las rotaciones isoclínicas derechas forman un subgrupo S ³ _R de SO(4) isomorfo a S ^3. Tanto S ³ _L como S ³ _R son subgrupos maximales de SO(4).

Cada rotación isoclínica izquierda conmuta con cada rotación isoclínica derecha. _Esto implica que existe un producto directo S₃L × S₃R con subgrupos normales S₃L y S₃R ; ambos grupos de factores ^{correspondientes} son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a _S₃ ^. ₍ ^{Esto no es} _SO (4) ni un subgrupo del mismo, porque _S₃L y ^S₃R no son disjuntos : ^la identidad I y ^la _inversión central −I pertenecen tanto a ^S₃L como _a S₃R ) _.

Cada rotación 4D A es, en dos sentidos, el producto de las rotaciones isoclínicas izquierda y derecha A _L y A _R . A _L y A _R se determinan conjuntamente hasta la inversión central, es decir, cuando tanto A _L como A _R se multiplican por la inversión central, su producto vuelve a ser A.

Esto implica que S ³ _L × S ³ _R es el grupo de recubrimiento universal de SO(4) —su único recubrimiento doble— y que S ³ _L y S ³ _R son subgrupos normales de SO(4). La rotación identidad I y la inversión central − I forman un grupo C ₂ de orden 2, que es el centro de SO(4) y de S ³ _L y S ³ _R. El centro de un grupo es un subgrupo normal de ese grupo. El grupo de cocientes de C ₂ en SO(4) es isomorfo a SO(3)  ×  SO(3). Los grupos de cocientes de S ³ _L por C ₂ y de S ³ _R por C ₂ son isomorfos a SO(3). De manera similar, los grupos de cocientes de SO(4) por S ³ _L y de SO(4) por S ³ _R son isomorfos a SO(3).

La topología de SO(4) es la misma que la del grupo de Lie SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) , es decir, el espacio${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}}$dónde${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$es el espacio proyectivo real de dimensión 3 y${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$es la 3-esfera . Sin embargo, es notable que, como grupo de Lie, SO(4) no es un producto directo de grupos de Lie, y por lo tanto no es isomorfo a SO(3) × Spin(3) = SO(3) × SU(2) .

Los grupos de rotación de dimensión impar no contienen la inversión central y son grupos simples .

Los grupos de rotación de dimensión par contienen la inversión central − I y tienen como centro el grupo C ₂ = { I , − I } . Para n par ≥ 6, SO(n) es casi simple, ya que el grupo de factores SO(n)/C ₂ de SO(n) por su centro es un grupo simple.

SO(4) es diferente: ningún elemento de SO(4) realiza conjugación alguna que transforme rotaciones isoclínicas izquierdas y derechas entre sí. Las reflexiones transforman una rotación isoclínica izquierda en una isoclínica derecha por conjugación, y viceversa. Esto implica que, bajo el grupo O(4) de todas las isometrías con punto fijo O, los subgrupos distintos S ³ _L y S ³ _R son conjugados entre sí, y por lo tanto no pueden ser subgrupos normales de O(4). El grupo de rotación 5D SO(5) y todos los grupos de rotación superiores contienen subgrupos isomorfos a O(4). Al igual que SO(4), todos los grupos de rotación de dimensión par contienen rotaciones isoclínicas. Pero a diferencia de SO(4), en SO(6) y todos los grupos de rotación de dimensión par superiores, dos rotaciones isoclínicas cualesquiera que pasen por el mismo ángulo son conjugadas. El conjunto de todas las rotaciones isoclínicas ni siquiera es un subgrupo de SO(2 N ), y mucho menos un subgrupo normal.

Una rotación 4D dada por su matriz se descompone en una rotación isoclínica izquierda y una rotación isoclínica derecha ^{[ 4 ]} de la siguiente manera:

Dejar

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}}$

sea ​​su matriz con respecto a una base ortonormal arbitraria .

Calcula a partir de esto la llamada matriz asociada.

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}a_{00}+a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{10}-a_{01}-a_{32}+a_{23}&+a_{20}+a_{31}-a_{02}-a_{13}&+a_{30}-a_{21}+a_{12}-a_{03}\\a_{10}-a_{01}+a_{32}-a_{23}&-a_{00}-a_{11}+a_{22}+a_{33}&+a_{30}-a_{21}-a_{12}+a_{03}&-a_{20}-a_{31}-a_{02}-a_{ 13}\\a_{20}-a_{31}-a_{02}+a_{13}&-a_{30}-a_{21}-a_{12}-a_{03}&-a_{00}+a_{11}-a_{22}+a_{33}&+a_{10}+a_{01}-a_{32}-a_{23}\\a_{30}+a_{21}-a_{12}-a_{03}&+a_{20}-a_{31}+a_{02}-a_{13}&-a_{10}-a_{01}-a_{32}-a_{23}&-a_{00}+a_{11}+a_{22}-a_{33}\end{pmatrix}}}$

M tiene rango uno y norma euclidiana unitaria como vector de 16 dimensiones si y solo si A es efectivamente una matriz de rotación de 4 dimensiones . En este caso existen números reales a , b , c , d y p , q , r , s tales que

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}ap&aq&ar&as\\bp&bq&br&bs\\cp&cq&cr&cs\\dp&dq&dr&ds\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle (ap)^{2}+\cdots +(ds)^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\right)=1.}$

Hay exactamente dos conjuntos ^de a , b , c , d y p , q , r , s tales que a² + b² ^{+ c²} + d² = 1 ^y p² + q² ^{+ r²} + s² = ^1. Son opuestos entre sí ^.

La matriz de rotación es entonces igual a

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\begin{pmatrix}ap-bq-cr-ds&-aq-bp+cs-dr&-ar-bs-cp+dq&-as+br-cq-dp\\bp+aq-dr+cs&-bq+ap+ds+cr&-br+as-dp-cq&-bs-ar-dq+cp\\cp+dq+ar-bs&-cq+dp-as-br&-cr+ds+ap+bq&-cs-dr+aq-bp\\dp-cq+br+as&-dq-cp-bs+ar&-dr-cs+bp-aq&-ds+cr+bq+ap\e nd{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Esta fórmula se debe a Van Elfrinkhof (1897).

El primer factor de esta descomposición representa una rotación isoclínica izquierda, y el segundo, una rotación isoclínica derecha. Los factores se determinan hasta la matriz identidad negativa de cuarto orden , es decir, la inversión central.

Un punto en un espacio de 4 dimensiones con coordenadas cartesianas ( u , x , y , z ) puede representarse mediante un cuaternión P = u + xi + yj + zk .

Una rotación isoclínica izquierda se representa mediante la multiplicación por la izquierda por un cuaternión unitario Q _L = a + bi + cj + dk . En lenguaje matricial-vectorial esto es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\,\,a&-d&\;\,\,c\\c&\;\,\,d&\;\,\,a&-b\\d&-c&\;\,\,b&\;\,\,a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

Asimismo, una rotación isoclínica derecha se representa mediante la multiplicación por la derecha por un cuaternión unitario Q _R = p + qi + rj + sk , que está en forma matricial-vectorial.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p&-q&-r&-s\\q&\;\,\,p&\;\,\,s&-r\\r&-s&\;\,\,p&\;\,\,q\\s&\;\,\,r&-q&\;\,\,p\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

En la sección anterior ( descomposición isoclínica ) se muestra cómo una rotación general en 4D se divide en factores isoclínicos izquierdos y derechos.

En lenguaje de cuaterniones, la fórmula de Van Elfrinkhof se lee:

${\displaystyle u'+x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(u+xi+yj+zk)(p+qi+rj+sk),}$

o, en forma simbólica,

${\displaystyle P'=Q_{\mathrm {L} }PQ_{\mathrm {R} }.\,}$

Según el matemático alemán Felix Klein, esta fórmula ya era conocida por Cayley en 1854. ^{[ 5 ]}

La multiplicación de cuaterniones es asociativa . Por lo tanto,

${\displaystyle P'=\left(Q_{\mathrm {L} }P\right)Q_{\mathrm {R} }=Q_{\mathrm {L} }\left(PQ_{\mathrm {R} }\right),\,}$

lo que demuestra que las rotaciones isoclínicas izquierdas e isoclínicas derechas conmutan.

Los cuatro autovalores de una matriz de rotación 4D generalmente aparecen como dos pares conjugados de números complejos de magnitud unitaria. Si un autovalor es real, debe ser ±1, ya que una rotación deja la magnitud de un vector sin cambios. El conjugado de ese autovalor también es la unidad, lo que produce un par de autovectores que definen un plano fijo, por lo que la rotación es simple. En notación de cuaterniones, una rotación propia (es decir, no inversora) en SO(4) es una rotación simple propia si y solo si las partes reales de los cuaterniones unitarios Q _L y Q _R son iguales en magnitud y tienen el mismo signo. ^{[ b ]} Si ambos son cero, todos los autovalores de la rotación son la unidad, y la rotación es la rotación nula. Si las partes reales de Q _L y Q _R no son iguales, entonces todos los autovalores son complejos, y la rotación es una rotación doble.

Nuestro espacio 3D ordinario se trata convenientemente como el subespacio con sistema de coordenadas 0XYZ del espacio 4D con sistema de coordenadas UXYZ. Su grupo de rotación SO(3) se identifica con el subgrupo de SO(4) que consta de las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\,\,0&\,\,0&\,\,0\\0&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}.}$

En la fórmula de Van Elfrinkhof de la subsección anterior, esta restricción a tres dimensiones conduce a p = a , q = −b , r = −c , s = −d , o en representación de cuaterniones: Q _R = Q _L ′ = Q _L ⁻¹ . La matriz de rotación 3D se convierte entonces en la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones 3D.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}&2(bc-ad)&2(bd+ac)\\2(bc+ad)&a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}&2(cd-ab)\\2(bd-ac)&2(cd+ab)&a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}\end{pmatrix}},}$

que es la representación de la rotación 3D mediante sus parámetros de Euler-Rodrigues : a , b , c , d .

La fórmula del cuaternión correspondiente P′ = QPQ ⁻¹ , donde Q = Q _L , o, en forma expandida:

${\displaystyle x'i+y'j+z'k=(a+bi+cj+dk)(xi+yj+zk)(a-bi-cj-dk)}$

Se conoce como la fórmula de Hamilton - Cayley .

Rotations in 3D space are made mathematically much more tractable by the use of spherical coordinates. Any rotation in 3D can be characterized by a fixed axis of rotation and an invariant plane perpendicular to that axis. Without loss of generality, we can take the xy-plane as the invariant plane and the z-axis as the fixed axis. Since radial distances are not affected by rotation, we can characterize a rotation by its effect on the unit sphere (2-sphere) by spherical coordinates referred to the fixed axis and invariant plane:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin \theta \cos \phi \\y&=\sin \theta \sin \phi \\z&=\cos \theta \end{aligned}}}$

Because x² + y² + z² = 1, the points (x,y,z) lie on the unit 2-sphere. A point with angles {θ₀, φ₀}, rotated by an angle φ about the z-axis, becomes the point with angles {θ₀, φ₀ + φ}. While hyperspherical coordinates are also useful in dealing with 4D rotations, an even more useful coordinate system for 4D is provided by Hopf coordinates{ξ₁, η, ξ₂},^[6] which are a set of three angular coordinates specifying a position on the 3-sphere. For example:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\z&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\y&=\sin \xi _{2}\cos \eta \end{aligned}}}$

Because u² + x² + y² + z² = 1, the points lie on the 3-sphere.

In 4D space, every rotation about the origin has two invariant planes which are completely orthogonal to each other and intersect at the origin, and are rotated by two independent angles ξ₁ and ξ₂. Without loss of generality, we can choose, respectively, the uz- and xy-planes as these invariant planes. A rotation in 4D of a point {ξ₁₀, η₀, ξ₂₀} through angles ξ₁ and ξ₂ is then simply expressed in Hopf coordinates as {ξ₁₀ + ξ₁, η₀, ξ₂₀ + ξ₂}.