3 esferas

El volumen superficial tridimensional de una 3-esfera de radio r es

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}\,}$

mientras que el hipervolumen de 4 dimensiones (el contenido de la región de 4 dimensiones, o bola, delimitada por la 3-esfera) es

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.}$

Toda intersección no vacía de una 3-esfera con un hiperplano tridimensional es una 2-esfera (a menos que el hiperplano sea tangente a la 3-esfera, en cuyo caso la intersección es un solo punto). Cuando una 3-esfera se mueve a través de un hiperplano tridimensional dado, la intersección comienza como un punto, luego se convierte en una 2-esfera que crece y alcanza su tamaño máximo cuando el hiperplano corta justo por el "ecuador" de la 3-esfera. Posteriormente, la 2-esfera se contrae nuevamente hasta convertirse en un solo punto cuando la 3-esfera abandona el hiperplano.

En un hiperplano tridimensional dado, una 3-esfera puede girar alrededor de un "plano ecuatorial" (análogo a una 2-esfera que gira alrededor de un eje central), en cuyo caso parece ser una 2-esfera cuyo tamaño es constante.

Una 3-esfera es una variedad tridimensional compacta , conexa y sin frontera. Además, es simplemente conexa . En sentido amplio, esto significa que cualquier bucle o camino circular sobre la 3-esfera puede contraerse continuamente hasta un punto sin salir de ella. La conjetura de Poincaré , demostrada en 2003 por Grigori Perelman , establece que la 3-esfera es la única variedad tridimensional (salvo homeomorfismo ) con estas propiedades.

La 3-esfera es homeomorfa a la compactificación de un punto de R ³ . En general, cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la 3-esfera se denomina 3-esfera topológica .

Los grupos de homología de la 3-esfera son los siguientes: H ₀ ( S ³ , Z ) y H ₃ ( S ³ , Z ) son ambos cíclicos infinitos , mientras que H _i ( S ³ , Z ) = {0} para todos los demás índices i . Cualquier espacio topológico con estos grupos de homología se conoce como una 3-esfera de homología . Inicialmente, Poincaré conjeturó que todas las 3-esferas de homología son homeomorfas a S ³ , pero luego él mismo construyó una no homeomorfa, ahora conocida como la esfera de homología de Poincaré . Ahora se sabe que existen infinitas esferas de homología. Por ejemplo, un relleno de Dehn con pendiente ⁠ 1 / n ⁠ en cualquier nudo de la 3-esfera da una esfera de homología; por lo general, estas no son homeomorfas a la 3-esfera.

En cuanto a los grupos de homotopía , tenemos π ₁ ( S ³ ) = π ₂ ( S ³ ) = 0 y π ₃ ( S ³ ) es cíclico infinito. Los grupos de homotopía superiores ( k ≥ 4 ) son todos abelianos finitos , pero por lo demás no siguen ningún patrón discernible. Para más información, véase grupos de homotopía de esferas .

La 3-esfera es naturalmente una variedad lisa , de hecho, una subvariedad cerrada incrustada de R ⁴ . La métrica euclidiana en R ⁴ induce una métrica en la 3-esfera , dándole la estructura de una variedad riemanniana . Como todas las esferas, la 3-esfera tiene una curvatura seccional positiva constante igual a 1 / r ² , donde r es el radio.

Gran parte de la interesante geometría de la 3-esfera se debe a que posee una estructura de grupo de Lie natural dada por la multiplicación de cuaterniones (véase la sección siguiente sobre estructura de grupo ). Las únicas otras esferas con dicha estructura son la 0-esfera y la 1-esfera (véase grupo circular ).

A diferencia de la 2-esfera, la 3-esfera admite campos vectoriales no nulos ( secciones de su fibrado tangente ). Incluso se pueden encontrar tres campos vectoriales linealmente independientes y no nulos. Estos pueden ser cualesquiera campos vectoriales invariantes por la izquierda que formen una base para el álgebra de Lie de la 3-esfera. Esto implica que la 3-esfera es paralelizable . De ello se deduce que el fibrado tangente de la 3-esfera es trivial . Para una discusión general sobre el número de campos vectoriales linealmente independientes en una n -esfera, véase el artículo « Campos vectoriales en esferas» .

Existe una acción interesante del grupo de círculos T sobre S ³ que le da a la 3-esfera la estructura de un fibrado de círculos principal conocido como fibrado de Hopf . Si se piensa en S ³ como un subconjunto de C ² , la acción viene dada por

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} }$.

El espacio orbital de esta acción es homeomorfo a la esfera bidimensional S ² . Dado que S ³ no es homeomorfo a S ² × S ¹ , el fibrado de Hopf no es trivial.

Una 3-esfera se puede construir topológicamente " pegando " los límites de un par de 3- bolas . El límite de una 3-bola es una 2-esfera, y estas dos 2-esferas deben identificarse. Es decir, imaginemos un par de 3-bolas del mismo tamaño, superpongámoslas de manera que sus límites 2-esféricos coincidan, y consideremos que los pares de puntos coincidentes en el par de 2-esferas son idénticamente equivalentes entre sí. De forma análoga al caso de la 2-esfera (véase más adelante), la superficie de unión se denomina esfera ecuatorial.

Nótese que los interiores de las tres esferas no están pegadas entre sí. Una forma de concebir la cuarta dimensión es como una función continua de valor real de las coordenadas tridimensionales de la tres esfera, que podría considerarse como la "temperatura". Suponemos que la "temperatura" es cero a lo largo de la esfera bidimensional que las une y que una de las tres esferas está "caliente" y la otra "fría". La tres esfera "caliente" podría considerarse el "hemisferio superior" y la tres esfera "fría" el "hemisferio inferior". La temperatura es máxima/mínima en los centros de las dos tres esferas.

Esta construcción es análoga a la de una esfera bidimensional, que se realiza uniendo los límites de un par de discos. Un disco es una esfera bidimensional, y su límite es un círculo (una esfera unidimensional). Consideremos un par de discos del mismo diámetro. Superpongámoslos y unamos los puntos correspondientes en sus límites. De nuevo, podemos pensar en la tercera dimensión como la temperatura. Asimismo, podemos expandir la esfera bidimensional, moviendo el par de discos para que se conviertan en los hemisferios norte y sur.

Tras eliminar un punto de la esfera bidimensional, lo que queda es homeomorfo al plano euclidiano. Del mismo modo, al eliminar un punto de la esfera tridimensional se obtiene un espacio tridimensional. Una forma muy útil de visualizar esto es mediante la proyección estereográfica . Primero describimos la versión de menor dimensión.

Colocamos el polo sur de una esfera unitaria bidimensional sobre el plano xy en el espacio tridimensional. Un punto P de la esfera (sin el polo norte N ) se proyecta sobre el plano, haciendo coincidir P con la intersección de la recta NP con dicho plano. La proyección estereográfica de una esfera tridimensional (sin el polo norte) se proyecta sobre el espacio tridimensional de la misma manera. (Cabe destacar que, dado que la proyección estereográfica es conforme , las esferas redondas se proyectan sobre esferas redondas o sobre planos).

Una forma algo diferente de entender la compactificación de un punto es mediante la aplicación exponencial . Volviendo a nuestra imagen de la esfera bidimensional unitaria sobre el plano euclidiano: Consideremos una geodésica en el plano, con base en el origen, y apliquémosla a una geodésica en la esfera bidimensional de la misma longitud, con base en el polo sur. Bajo esta aplicación, todos los puntos del círculo de radio π se envían al polo norte. Dado que el disco unitario abierto es homeomorfo al plano euclidiano, esto es nuevamente una compactificación de un punto.

El mapa exponencial para la 3-esfera se construye de manera similar; también se puede analizar utilizando el hecho de que la 3-esfera es el grupo de Lie de los cuaterniones unitarios.

Es conveniente tener algún tipo de coordenadas hiperesféricas en S ³ en analogía con las coordenadas esféricas usuales en S ² . Una de esas opciones —de ninguna manera única— es usar ( ψ , θ , φ ) , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}}$

donde ψ y θ recorren el rango de 0 a π , y φ recorre el rango de 0 a 2π . Nótese que, para cualquier valor fijo de ψ , θ y φ parametrizan una 2-esfera de radio${\displaystyle r\sin \psi }$, excepto en los casos degenerados, cuando ψ es igual a 0 o π , en cuyo caso describen un punto.

La métrica redonda en la 3-esfera en estas coordenadas viene dada por ^{[ 2 ]}

${\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]}$

y el volumen forma por

${\displaystyle dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .}$

Estas coordenadas tienen una descripción elegante en términos de cuaterniones . Cualquier cuaternión unitario q puede escribirse como un versor :

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi }$

donde τ es un cuaternión imaginario unitario ; es decir, un cuaternión que satisface τ ² = −1 . Este es el análogo cuaterniónico de la fórmula de Euler . Ahora bien, todos los cuaterniones imaginarios unitarios se encuentran en la 2-esfera unitaria en Im H , por lo que cualquier τ de este tipo puede escribirse como:

${\displaystyle \tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k}$

Con τ en esta forma, el cuaternión unitario q viene dado por

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$

donde x _0,1,2,3 son como se indicó anteriormente.

Cuando q se usa para describir rotaciones espaciales (cf. cuaterniones y rotaciones espaciales ), describe una rotación alrededor de τ a través de un ángulo de 2 ψ .

Para radio unitario, otra elección de coordenadas hiperesféricas, ( η , ξ ₁ , ξ ₂ ) , utiliza la incrustación de S ³ en C ² . En coordenadas complejas ( z ₁ , z ₂ ) ∈ C ² escribimos

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}}$

Esto también podría expresarse en R ⁴ como

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}$

Aquí η recorre el rango de 0 a _π / 2 , y ξ₁ y ξ₂ pueden tomar cualquier valor entre 0 y 2π . Estas coordenadas son útiles en la descripción de la 3-esfera como el fibrado de _Hopf .

${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,}$

Para cualquier valor fijo de η entre 0 y π / 2 , las coordenadas ( ξ₁ , ξ₂ ) parametrizan un toro bidimensional . Los anillos de ξ₁ y _{ξ₂ constantes mencionados anteriormente} forman cuadrículas ortogonales simples sobre los toros. Véase la imagen de la derecha. En los casos degenerados, cuando η es igual a 0 o π / 2 , estas coordenadas describen un círculo .

La métrica redonda en la 3-esfera en estas coordenadas viene dada por

${\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}}$

y el volumen forma por

${\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}$

Para obtener los círculos entrelazados de la fibración de Hopf , haga una simple sustitución en las ecuaciones anteriores ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}}$

En este caso , η y ξ ₁ especifican qué círculo, y ξ ₂ especifica la posición a lo largo de cada círculo. Un recorrido completo (de 0 a 2 π ) de ξ ₁ o ξ ₂ equivale a un recorrido completo del toroide en las dos direcciones respectivas.

Otro conjunto conveniente de coordenadas se puede obtener mediante la proyección estereográfica de S ³ desde un polo sobre el hiperplano ecuatorial R ³ correspondiente . Por ejemplo, si proyectamos desde el punto (−1, 0, 0, 0) podemos escribir un punto p en S ³ como

${\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}$

donde u = ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) es un vector en R ³ y ‖ u ‖ ² = u ₁ ² + u ₂ ² + u ₃ ² . En la segunda igualdad anterior, hemos identificado p con un cuaternión unitario y u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ k con un cuaternión puro. (Nótese que el numerador y el denominador conmutan aquí aunque la multiplicación cuaterniónica generalmente no es conmutativa). La inversa de esta aplicación lleva p = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en S ³ a

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

Podríamos haber proyectado igualmente desde el punto (1, 0, 0, 0) , en cuyo caso el punto p viene dado por

${\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}$

donde v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) es otro vector en R ³ . La inversa de este mapa lleva p a

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

Nótese que las coordenadas u están definidas en todas partes excepto en (−1, 0, 0, 0) ^y las coordenadas v en todas partes excepto en (1, 0, 0, 0) . Esto define un atlas en S3 que consta de dos cartas de coordenadas ^o "parches", que juntas cubren todo S3 . Nótese que la función de transición entre estas dos cartas en su superposición viene dada por

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} }$

y viceversa.