Métodos ABS

Los métodos ABS , cuyo acrónimo contiene las iniciales de Jozsef Abaffy, Charles G. Broyden y Emilio Spedicato , se han desarrollado desde 1981 para generar una amplia clase de algoritmos para las siguientes aplicaciones:

• solución de sistemas algebraicos lineales generales, determinados o subdeterminados,
• rango completo o deficiente;
• solución de sistemas diofánticos lineales , es decir, sistemas de ecuaciones donde la matriz de coeficientes y el lado derecho son enteros y se busca una solución entera; este es un caso especial pero importante del décimo problema de Hilbert , el único que es soluble en la práctica;
• solución de ecuaciones algebraicas no lineales ;
• solución de optimización continua sin restricciones o con restricciones .

A principios de 2007, la literatura sobre ABS constaba de más de 400 artículos e informes y dos monografías, una de Abaffy y Spedicato, publicada en 1989, y otra de Xia y Zhang, publicada en chino en 1998. Además, se habían organizado tres conferencias en China.

La investigación sobre los métodos ABS ha sido fruto de una colaboración internacional coordinada por el Spedicato de la Universidad de Bérgamo , Italia. En ella han participado más de cuarenta matemáticos de Hungría, Reino Unido, China, Irán y otros países.

El elemento central en tales métodos es el uso de una transformación matricial especial debida esencialmente al matemático húngaro Jenő Egerváry , quien investigó sus propiedades principales en algunos artículos que pasaron desapercibidos. Para el problema básico de resolver un sistema lineal de m ecuaciones en n variables, donde${\displaystyle \scriptstyle m\,\leq \,n}$Los métodos ABS utilizan la siguiente idea geométrica simple:

1. Dada una estimación inicial arbitraria de la solución, encuentre una de las infinitas soluciones, que definen una variedad lineal de dimensión n  −  1, de la primera ecuación.
2. Hallar una solución de la segunda ecuación que también sea una solución de la primera, es decir, hallar una solución que se encuentre en la intersección de las variedades lineales de las soluciones de las dos primeras ecuaciones consideradas por separado.
3. Al repetir el método anterior tras m pasos, se obtiene una solución para la última ecuación que también es solución para las ecuaciones anteriores y, por lo tanto, para todo el sistema. Además, es posible detectar ecuaciones redundantes o incompatibles.

Entre los principales resultados obtenidos hasta el momento:

• Unificación de algoritmos para ecuaciones algebraicas lineales y no lineales, y para optimización no lineal con restricciones lineales, incluyendo el problema de programación lineal como caso especial;
• El método de Gauss se ha mejorado reduciendo la memoria necesaria y eliminando la necesidad de pivotar;
• nuevos métodos para sistemas no lineales con propiedades de convergencia mejores que las del método de Newton;
• Derivación de un algoritmo general para el décimo problema de Hilbert, caso lineal, con la extensión de un teorema clásico de Euler de una ecuación a un sistema;
• Se han obtenido solucionadores más estables que los clásicos, especialmente para el problema que surge en el método de punto interior primal-dual;
• Los métodos ABS suelen ser más rápidos en máquinas vectoriales o paralelas;
• Los métodos ABS proporcionan un enfoque más sencillo para la enseñanza de diversas clases de problemas, ya que los métodos particulares se obtienen simplemente mediante la elección de parámetros específicos.

El conocimiento de los métodos ABS aún es bastante limitado entre los matemáticos, pero tienen un gran potencial para mejorar los métodos que se utilizan actualmente.

• Jozsef Abaffy, Emilio Spedicato (1989): Algoritmos de proyección ABS: Técnicas matemáticas para ecuaciones algebraicas lineales y no lineales , Ellis Horwood, Chichester. La primera monografía sobre el tema. 
• Jozsef Abaffy, Charles G. Broyden, Emilio Spedicato (1984): Una clase de métodos directos para ecuaciones lineales , Numerische Mathematik 45 , 361–376. Artículo que introduce los métodos ABS para sistemas lineales continuos .
• H. Esmaeili, N. Mahdavi-Amiri, Emilio Spedicato: Una clase de algoritmos ABS para sistemas lineales diofánticos , Numerische Mathematik 90 , 101–115. Artículo que introduce métodos ABS para sistemas lineales enteros .