Formalismo ADM

El punto de partida para la formulación ADM es el lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

que es un producto de la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico de cuatro dimensiones para todo el espaciotiempo y su escalar de Ricci . Este es el lagrangiano de la acción de Einstein-Hilbert .

El resultado deseado de la derivación es definir una incrustación de cortes espaciales tridimensionales en el espaciotiempo de cuatro dimensiones. La métrica de los cortes tridimensionales

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

serán las coordenadas generalizadas para una formulación hamiltoniana. Los momentos conjugados se pueden calcular entonces como

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

utilizando técnicas y definiciones estándar. Los símbolos${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$son símbolos de Christoffel asociados con la métrica del espaciotiempo tetradimensional completo. El lapso

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

y el vector de desplazamiento

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

son los elementos restantes del tensor cuadrimétrico.

Una vez identificadas las cantidades para la formulación, el siguiente paso es reescribir el lagrangiano en términos de estas variables. La nueva expresión para el lagrangiano

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

se escribe convenientemente en términos de las dos nuevas cantidades

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

y

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

que se conocen respectivamente como la restricción hamiltoniana y la restricción de momento. El lapso y el desplazamiento aparecen en el lagrangiano como multiplicadores de Lagrange .

Aunque las variables en el lagrangiano representan el tensor métrico en espacios tridimensionales incrustados en el espaciotiempo de cuatro dimensiones , es posible y deseable utilizar los procedimientos habituales de la mecánica lagrangiana para derivar "ecuaciones de movimiento" que describan la evolución temporal tanto de la métrica${\displaystyle g_{ij}}$y su momento conjugado${\displaystyle \pi ^{ij}}$El resultado

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

es un conjunto no lineal de ecuaciones diferenciales parciales .

Al tomar variaciones con respecto al lapso y al desplazamiento se obtienen ecuaciones de restricción.

${\displaystyle H=0}$

y

${\displaystyle P^{i}=0,}$

y el lapso y el desplazamiento en sí mismos pueden especificarse libremente, lo que refleja el hecho de que los sistemas de coordenadas pueden especificarse libremente tanto en el espacio como en el tiempo.

Utilizando la formulación ADM, es posible intentar construir una teoría cuántica de la gravedad de la misma manera que se construye la ecuación de Schrödinger correspondiente a un hamiltoniano dado en mecánica cuántica . Es decir, reemplazar los momentos canónicos${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$y las funciones métricas espaciales mediante operadores diferenciales funcionales lineales

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

Más precisamente, la sustitución de variables clásicas por operadores está restringida por relaciones de conmutación . Los sombreros representan operadores en la teoría cuántica. Esto conduce a la ecuación de Wheeler-DeWitt .

Existen relativamente pocas soluciones exactas conocidas para las ecuaciones de campo de Einstein . Para encontrar otras soluciones, existe un campo de estudio activo conocido como relatividad numérica, en el que se utilizan supercomputadoras para hallar soluciones aproximadas a las ecuaciones. Para construir numéricamente dichas soluciones, la mayoría de los investigadores parten de una formulación de las ecuaciones de Einstein estrechamente relacionada con la formulación ADM. Los enfoques más comunes comienzan con un problema de valor inicial basado en el formalismo ADM.

En las formulaciones hamiltonianas, el punto fundamental es la sustitución de un conjunto de ecuaciones de segundo orden por otro de primer orden. Este segundo conjunto de ecuaciones se puede obtener fácilmente mediante la formulación hamiltoniana. Esto resulta muy útil en física numérica, ya que reducir el orden de las ecuaciones diferenciales suele ser conveniente para preparar ecuaciones para su procesamiento informático.