Cálculo de superficies móviles

El cálculo de superficies móviles ( CMS ) ^{[ 1 ]} es una extensión del cálculo tensorial clásico a variedades deformables . Un elemento central del CMS es la derivada temporal tensorial.${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$cuya definición original ^{[ 2 ]} fue propuesta por Jacques Hadamard . Desempeña un papel análogo al de la derivada covariante.${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$en variedades diferenciales en el sentido de que produce un tensor cuando se aplica a un tensor.

Supongamos que${\displaystyle \Sigma _{t}}$es la evolución de la superficie${\displaystyle \Sigma }$indexado por un parámetro de tipo temporal${\displaystyle t}$. Las definiciones de la velocidad superficial${\displaystyle C}$y el operador${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$son los fundamentos geométricos del CMS. La velocidad C es la tasa de deformación de la superficie.${\displaystyle \Sigma }$en la dirección normal instantánea . El valor de${\displaystyle C}$en un punto${\displaystyle P}$se define como el límite

${\displaystyle C=\lim _{h\to 0}{\frac {{\text{Distancia}}(P,P^{*})}{h}}}$

dónde${\displaystyle P^{*}}$es el punto en${\displaystyle \Sigma _{t+h}}$que se encuentra en la línea recta perpendicular a${\displaystyle \Sigma _{t}}$en el punto P. Esta definición se ilustra en la primera figura geométrica a continuación. La velocidad${\displaystyle C}$es una cantidad con signo: es positiva cuando${\displaystyle {\overline {PP^{*}}}}$apunta en la dirección de la normal elegida, y negativo en caso contrario. La relación entre${\displaystyle \Sigma _{t}}$y${\displaystyle C}$es análogo a la relación entre ubicación y velocidad en el cálculo elemental:  conociendo cualquiera de las cantidades se puede construir la otra mediante diferenciación o integración .

La derivada temporal tensorial${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$para un campo escalar F definido en${\displaystyle \Sigma _{t}}$es la tasa de cambio en${\displaystyle F}$en la dirección instantáneamente normal:

${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta t}}=\lim _{h\to 0}{\frac {F(P^{*})-F(P)}{h}}}$

Esta definición también se ilustra en la segunda figura geométrica.

Las definiciones anteriores son geométricas . En entornos analíticos, la aplicación directa de estas definiciones puede no ser posible. El CMS proporciona definiciones analíticas de C y${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$en términos de operaciones elementales de cálculo y geometría diferencial .

Para definiciones analíticas de${\displaystyle C}$y${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$, considere la evolución de${\displaystyle S}$dado por

${\displaystyle Z^{i}=Z^{i}\left(t,S\right)}$

dónde${\displaystyle Z^{i}}$son coordenadas espaciales curvilíneas generales y${\displaystyle S^{\alpha }}$son las coordenadas de la superficie. Por convención, los índices tensoriales de los argumentos de la función se omiten. Por lo tanto, las ecuaciones anteriores contienen${\displaystyle S}$en vez de${\displaystyle S^{\alpha }}$El objeto de velocidad${\displaystyle {\textbf {V}}=V^{i}{\textbf {Z}}_{i}}$se define como la derivada parcial

${\displaystyle V^{i}={\frac {\partial Z^{i}\left(t,S\right)}{\partial t}}}$

La velocidad${\displaystyle C}$se puede calcular de forma más directa mediante la fórmula

${\displaystyle C=V^{i}N_{i}}$

dónde${\displaystyle N_{i}}$son los componentes covariantes del vector normal${\displaystyle {\vec {N}}}$.

Además, se define la representación del tensor de desplazamiento del espacio tangente de la superficie.${\displaystyle Z_{i}^{\alpha }={\textbf {S}}^{\alpha }\cdot {\textbf {Z}}_{i}}$y la velocidad tangente como${\displaystyle V^{\alpha }=Z_{i}^{\alpha }V^{i}}$, entonces la definición de la${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$La derivada de un invariante F se lee

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F={\frac {\partial F\left(t,S\right)}{\partial t}}-V^{\alpha }\nabla _{\alpha }F}$

dónde${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$es la derivada covariante en S.

Para los tensores , se necesita una generalización apropiada. La definición adecuada para un tensor representativo${\displaystyle T_{j\beta }^{i\alpha }}$lecturas

${\displaystyle {\dot {\nabla }}T_{j\beta }^{i\alpha }={\frac {\partial T_{j\beta }^{i\alpha }}{\partial t}}-V^{\eta }\nabla _{\eta }T_{j\beta }^{i\alpha }+V^{m}\Gamma _{mk}^{i}T_{j\beta }^{k\alpha }-V^{m}\Gamma _{mj}^{k}T_{k\beta }^{i\alpha }+{\dot {\Gamma }}_{\eta }^{\alpha }T_{j\beta }^{i\eta }-{\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\eta }T_{j\eta }^{i\alpha }}$

dónde${\displaystyle \Gamma _{mj}^{k}}$son símbolos de Christoffel y${\displaystyle {\dot {\Gamma }}_{\beta }^{\alpha }=\nabla _{\beta }V^{\alpha }-CB_{\beta }^{\alpha }}$son los símbolos temporales apropiados de la superficie (${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$es una representación matricial del operador de forma de curvatura de la superficie)

El${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$-La derivada conmuta con la contracción y satisface la regla del producto para cualquier conjunto de índices.

${\displaystyle {\dot {\nabla }}(S_{\alpha }^{i}T_{j}^{\beta })=T_{j}^{\beta }{\dot {\nabla }}S_{\alpha }^{i}+S_{\alpha }^{i}{\dot {\nabla }}T_{j}^{\beta }}$

y obedece a una regla de cadena para restricciones de superficie de tensores espaciales:

${\displaystyle {\dot {\nabla }}F_{k}^{j}(Z,t)={\frac {\partial F_{k}^{j}}{\partial t}}+CN^{i}\nabla _{i}F_{k}^{j}}$

La regla de la cadena muestra que la${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$-derivados de "métricas" espaciales desaparecen

${\displaystyle {\dot {\nabla }}\delta _{j}^{i}=0,{\dot {\nabla }}Z_{ij}=0,{\dot {\nabla }}Z^{ij}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon _{ijk}=0,{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{ijk}=0}$

dónde${\displaystyle Z_{ij}}$y${\displaystyle Z^{ij}}$son tensores métricos covariantes y contravariantes ,${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$es el símbolo delta de Kronecker , y${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$y${\displaystyle \varepsilon ^{ijk}}$son los símbolos de Levi-Civita . El artículo principal sobre los símbolos de Levi-Civita los describe para sistemas de coordenadas cartesianas . La regla anterior es válida en coordenadas generales, donde la definición de los símbolos de Levi-Civita debe incluir la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico covariante.${\displaystyle Z_{ij}}$.

El${\displaystyle {\dot {\nabla }}}$La derivada de los objetos de superficie clave conduce a fórmulas muy concisas y atractivas. Cuando se aplica al tensor métrico de superficie covariante${\displaystyle S_{\alpha \beta }}$y el tensor métrico contravariante${\displaystyle S^{\alpha \beta }}$De ello resultan las siguientes identidades.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}S_{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}S^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle B_{\alpha \beta }}$y${\displaystyle B^{\alpha \beta }}$son los tensores de curvatura doblemente covariantes y doblemente contravariantes . Estos tensores de curvatura, así como para el tensor de curvatura mixto${\displaystyle B_{\beta }^{\alpha }}$, satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}B_{\alpha \beta }&=\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }C+CB_{\alpha \gamma }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B_{\beta }^{\alpha }&=\nabla _{\beta }\nabla ^{\alpha }C+CB_{\gamma }^{\alpha }B_{\beta }^{\gamma }\\[8pt]{\dot {\nabla }}B^{\alpha \beta }&=\nabla ^{\alpha }\nabla ^{\beta }C+CB^{\gamma \alpha }B_{\gamma }^{\beta }\end{aligned}}}$

El tensor de desplazamiento${\displaystyle Z_{\alpha }^{i}}$y lo normal${\displaystyle N^{i}}$satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}Z_{\alpha }^{i}&=N^{i}\nabla _{\alpha }C\\[8pt]{\dot {\nabla }}N^{i}&=-Z_{\alpha }^{i}\nabla ^{\alpha }C\end{aligned}}}$

Finalmente, los símbolos de superficie de Levi-Civita${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$y${\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta }}$satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\nabla }}\varepsilon _{\alpha \beta }&=0\\[8pt]{\dot {\nabla }}\varepsilon ^{\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

El CMS proporciona reglas para la diferenciación temporal de integrales de volumen y de superficie .

• Formalismo ADM