Teorema ATS

En matemáticas, el teorema ATS es el teorema sobre la aproximación de una suma trigonométrica por una suma más corta. La aplicación del teorema ATS en ciertos problemas de física matemática y teórica puede resultar muy útil.

En algunos campos de las matemáticas y la física matemática , las sumas de la forma

${\displaystyle S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi si(k)}\qquad (1)}$

están bajo estudio.

Aquí y son funciones de valor real de un argumento real, y Tales sumas aparecen, por ejemplo, en la teoría de números , en el análisis de la función zeta de Riemann , en la solución de problemas relacionados con puntos enteros en los dominios del plano y del espacio, en el estudio de la serie de Fourier y en la solución de ecuaciones diferenciales tales como la ecuación de onda , la ecuación de potencial y la ecuación de conductividad térmica . ${\displaystyle \varphi (x)}$${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle i^{2}=-1.}$

El problema de aproximación de la serie (1) mediante una función adecuada fue estudiado ya por Euler y Poisson .

Definiremos la longitud de la suma${\estilo de visualización S}$ como el número (para los enteros y este es el número de los sumandos en ). ${\estilo de visualización ba}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b,}$${\estilo de visualización S}$

Bajo ciertas condiciones , la suma puede sustituirse con buena precisión por otra suma.${\displaystyle \varphi (x)}$${\estilo de visualización f(x)}$${\estilo de visualización S}$${\estilo de visualización S_{1},}$

${\displaystyle S_{1}=\sum _{\alpha <k\leq \beta }\Phi (k)e^{2\pi iF(k)},\ \ \ (2)}$

donde la longitud es mucho menor que${\displaystyle \beta -\alpha}$${\displaystyle ba.}$

Primeras relaciones de la forma

${\displaystyle S=S_{1}+R,\qcuadrado (3)}$

donde son las sumas (1) y (2) respectivamente, es un término restante, con funciones concretas y fueron obtenidos por GH Hardy y JE Littlewood , ^{[1] [2] [3]} cuando dedujeron la ecuación funcional aproximada para la función zeta de Riemann y por IM Vinogradov , ^[4] en el estudio de las cantidades de puntos enteros en los dominios del plano. En forma general el teorema fue demostrado por J. Van der Corput , ^{[5] [6]} (sobre los resultados recientes relacionados con el teorema de Van der Corput se puede leer en ^[7] ). ${\estilo de visualización S,}$ $Estilo de visualización S_{1}$${\estilo de visualización R}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\estilo de visualización f(x),}$${\displaystyle \zeta(s)}$

En cada uno de los trabajos mencionados anteriormente, se impusieron algunas restricciones a las funciones y . Con restricciones convenientes (para aplicaciones) en y el teorema fue demostrado por AA Karatsuba en ^[8] (ver también, ^{[9] [10]} ). ${\displaystyle \varphi (x)}$${\estilo de visualización f(x)}$${\displaystyle \varphi (x)}$${\estilo de visualización f(x),}$

[1] Para que conste en acta${\displaystyle B>0,B\to +\infty ,}$ ${\displaystyle B\to 0,}$

${\displaystyle 1\ll {\frac {A}{B}}\ll 1}$

significa que existen las constantes ${\displaystyle C_{1}>0}$

y ${\displaystyle C_{2}>0,}$

de tal manera que

${\displaystyle C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.}$

[2]. Para un número real el registro significa que${\estilo de visualización \alfa ,}$ ${\estilo de visualización \|\alfa \|}$

${\displaystyle \|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),}$

dónde

${\estilo de visualización \{\alfa \}}$

es la parte fraccionaria de ${\estilo de visualización \alpha .}$

Sean las funciones reales ƒ ( x ) y satisfagan en el segmento [ a ,  b ] las siguientes condiciones:${\displaystyle \varphi (x)}$

1) y son continuas;${\displaystyle f''''(x)}$ ${\displaystyle \varphi ''(x)}$

2) existen números y tales que${\estilo de visualización H,}$ ${\estilo de visualización U}$ ${\estilo de visualización V}$

${\displaystyle H>0,\qcuadrado 1\ll U\ll V,\qcuadrado 0<ba\leq V}$

y

${\displaystyle {\begin{array}{rc}{\frac {1}{U}}\ll f''(x)\ll {\frac {1}{U}}\ ,&\varphi (x)\ll H,\\\\f'''(x)\ll {\frac {1}{UV}}\ ,&\varphi '(x)\ll {\frac {H}{V}},\\\\f''''(x)\ll {\frac {1}{UV^{2}}}\ ,&\varphi ''(x)\ll {\frac {H}{V^{2}}}.\\\\\end{array}}}$

Entonces, si definimos los números a partir de la ecuación${\displaystyle x_{\mu}}$

${\displaystyle f'(x_{\mu })=\mu ,}$

tenemos

${\displaystyle \sum _{a<\mu \leq b}\varphi (\mu )e^{2\pi si(\mu )}=\sum _{f'(a)\leq \mu \leq f'(b)}C(\mu )Z(\mu )+R,}$

dónde

${\displaystyle R=O({\frac {HU}{ba}}+HT_{a}+HT_{b}+H\log \left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);}$

${\displaystyle T_{j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}f'(j){\text{ is an integer}};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}},{\sqrt {U}}\right),&{\text{if }}\|f'(j)\|\neq 0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle j=a,b;}$

${\displaystyle C(\mu )={\begin{cases}1,&{\text{if }}f'(a)<\mu <f'(b);\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}\mu =f'(a){\text{ or }}\mu =f'(b);\\\end{cases}}}$

${\displaystyle Z(\mu )={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}{\frac {\varphi (x_{\mu })}{\sqrt {f''(x_{\mu })}}}e^{2\pi i(f(x_{\mu })-\mu x_{\mu })}\ .}$

La variante más simple del teorema formulado es el enunciado que en la literatura se denomina lema de Van der Corput .

Sea una función diferenciable real en el intervalo además, dentro de este intervalo, su derivada es una función monótona y que conserva el signo, y para la constante tal que satisface la desigualdad Entonces${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]a,b],}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle 0<\delta <1}$ ${\displaystyle |f'|\leq \delta .}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}dx+\theta \left(3+{\frac {2\delta }{1-\delta }}\right),}$

dónde ${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Si los parámetros y son números enteros, entonces es posible sustituir la última relación por las siguientes: ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle \sum _{a<k\leq b}e^{2\pi if(k)}=\int _{a}^{b}e^{2\pi if(x)}\,dx+{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(b)}-{\frac {1}{2}}e^{2\pi if(a)}+\theta {\frac {2\delta }{1-\delta }},}$

dónde${\displaystyle |\theta |\leq 1.}$

Sobre las aplicaciones del ATS a los problemas de la física, véase:

• Karatsuba, Ekatherina A. (2004). "Aproximación de sumas de sumandos oscilantes en ciertos problemas físicos". Journal of Mathematical Physics . 45 (11). AIP Publishing: 4310–4321. doi :10.1063/1.1797552. ISSN  0022-2488.
• Karatsuba, Ekatherina A. (2007-07-20). "Sobre una aproximación al estudio de la suma de Jaynes–Cummings en óptica cuántica". Algoritmos numéricos . 45 (1–4). Springer Science and Business Media LLC: 127–137. doi :10.1007/s11075-007-9070-x. ISSN  1017-1398. S2CID  13485016.
• Chassande-Mottin, Éric; Pai, Archana (27 de febrero de 2006). "La mejor cadena de chirplets: detección casi óptima de chirridos de ondas gravitacionales". Physical Review D . 73 (4). American Physical Society (APS): 042003. arXiv : gr-qc/0512137 . doi :10.1103/physrevd.73.042003. hdl : 11858/00-001M-0000-0013-4BBD-B . ISSN  1550-7998. S2CID  56344234.
• Fleischhauer, M.; Schleich, WP (1993-05-01). "Renacimientos simplificados: fórmula de suma de Poisson como clave para los reavivamientos en el modelo de Jaynes-Cummings". Physical Review A . 47 (5). American Physical Society (APS): 4258–4269. doi :10.1103/physreva.47.4258. ISSN  1050-2947. PMID  9909432.