series de Fourier

Joseph Fourier escribió ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Multiplicando ambos lados por${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$y luego integrando desde${\displaystyle y=-1}$a${\displaystyle y=+1}$rendimientos:

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

Esto proporciona inmediatamente cualquier coeficiente a _k de la serie trigonométrica para φ( y ) para cualquier función que tenga dicha expansión. Funciona porque si φ tiene dicha expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$ puede llevarse a cabo término por término. Pero todos los términos que implican${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$para j ≠ k desaparecen cuando se integran de −1 a 1, dejando solo el${\displaystyle k^{\text{th}}}$término, que es 1 .

En estas pocas líneas, cercanas al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto las matemáticas como la física. Si bien Euler , d'Alembert , Daniel Bernoulli y Gauss ya habían utilizado series trigonométricas similares , Fourier creía que tales series podían representar cualquier función arbitraria. El sentido de esta afirmación es un tema complejo, y los intentos realizados durante muchos años para esclarecerla han dado lugar a importantes descubrimientos en las teorías de la convergencia , los espacios funcionales y el análisis armónico .

Cuando Fourier presentó un ensayo posterior al concurso en 1811, el comité (que incluía a Lagrange , Laplace , Malus y Legendre , entre otros) concluyó: "...la manera en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y... su análisis para integrarlas aún deja algo que desear en cuanto a generalidad e incluso rigor ". ^{[ 14 ]}

La expansión en serie de Fourier de la función diente de sierra (abajo) parece más complicada que la fórmula simple.${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$, por lo que no es inmediatamente obvio por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien existen muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, consideremos una placa de metal en forma de cuadrado cuyos lados miden${\displaystyle \pi }$metros, con coordenadas${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$. Si no hay ninguna fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por${\displaystyle y=\pi }$se mantiene en el gradiente de temperatura${\displaystyle T(x,\pi )=x}$grados Celsius, para${\displaystyle x}$en${\displaystyle (0,\pi )}$Entonces se puede demostrar que la distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de que ha transcurrido un largo tiempo) viene dada por

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí,${\displaystyle \sinh }$es la función seno hiperbólico . Esta solución de la ecuación del calor se obtiene multiplicando cada término de la ecuación del Análisis § Ejemplo por${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$. Mientras que nuestra función de ejemplo${\displaystyle s(x)}$parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución del calor${\displaystyle T(x,y)}$no es trivial. La función${\displaystyle T}$no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método para resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier.

Otra aplicación consiste en resolver el problema de Basilea utilizando el teorema de Parseval . El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ (2 n ), para cualquier entero positivo n .

Una serie de Fourier se puede escribir en varias formas equivalentes, mostradas aquí como${\displaystyle N^{\text{th}}}$sumas parciales${\displaystyle s_{N}(x)}$de la serie de Fourier de${\displaystyle s(x)}$: ^{[ 21 ]}

Los armónicos están indexados por un número entero,${\displaystyle n,}$que también es el número de ciclos que realizan las sinusoides correspondientes en el intervalo${\displaystyle P}$Por lo tanto, las funciones sinusoidales tienen :

• una longitud de onda igual a${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$en las mismas unidades que${\displaystyle x}$.
• una frecuencia igual a${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$en las unidades recíprocas de${\displaystyle x}$.

Estas series pueden representar funciones que son simplemente la suma de una o más frecuencias en el espectro armónico . En el límite${\displaystyle N\to \infty }$Una serie trigonométrica también puede representar frecuencias intermedias o funciones no sinusoidales debido a la cantidad infinita de términos.

Los coeficientes pueden darse o asumirse, como en el caso de un sintetizador musical o muestras de tiempo de una forma de onda. En este último caso, la forma exponencial de la serie de Fourier sintetiza una transformada de Fourier de tiempo discreto donde la variable${\displaystyle x}$representa la frecuencia en lugar del tiempo. En general, los coeficientes se determinan mediante el análisis de una función dada.${\displaystyle s(x)}$cuyo dominio de definición es un intervalo de longitud${\displaystyle P}$. ^{[ B ] [ 22 ]}

El${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$El factor de escala se obtiene sustituyendo la ecuación 1 en la ecuación 3 y utilizando la ortogonalidad del sistema trigonométrico . ^{[ 23 ]} La equivalencia de las ecuaciones 1 y 2 se deduce de la fórmula de Euler.$${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}$$ Resultando en:

con${\displaystyle c_{0}}$siendo el valor medio de${\displaystyle s}$en el intervalo${\displaystyle P}$. ^{[ 24 ]} Por el contrario:

Ejemplo

Consideremos una función de diente de sierra: $${\displaystyle s(x)=s(x+2\pi k)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,{\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$$ En este caso, los coeficientes de Fourier vienen dados por $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=0.\\a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 1.\\b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$$ Se puede demostrar que la serie de Fourier converge a${\displaystyle s(x)}$en cada punto${\displaystyle x}$dónde${\displaystyle s}$es diferenciable y, por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \ (x-\pi )\ {\text{is not a multiple of}}\ 2\pi .\end{aligned}}}$$ Cuando${\displaystyle x=\pi }$, la serie de Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma de los límites izquierdo y derecho de${\displaystyle s}$en${\displaystyle x=\pi }$Este es un caso particular del teorema de Dirichlet para series de Fourier.

Este ejemplo conduce a una solución del problema de Basilea .

Si la función${\displaystyle s(x)}$es de valor real entonces la serie de Fourier también se puede representar como ^{[ 25 ] [ 26 ]}

dónde${\displaystyle A_{n}}$es la amplitud y${\displaystyle \varphi _{n}}$es el cambio de fase de la${\displaystyle n^{th}}$armónico.

La equivalencia de la ecuación 4 y la ecuación 1 se deduce de la identidad trigonométrica : $${\displaystyle \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)=\cos(\varphi _{n})\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)+\sin(\varphi _{n})\sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right),}$$ lo cual implica ^{[ 27 ]}$${\displaystyle a_{n}=A_{n}\cos(\varphi _{n})\quad {\text{and}}\quad b_{n}=A_{n}\sin(\varphi _{n})}$$

son las coordenadas rectangulares de un vector escrito en coordenadas polares como $${\displaystyle A_{n}\angle \varphi _{n}=a_{n}+ib_{n}}$$ dónde $${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \varphi _{n}=\operatorname {atan2} (b_{n},a_{n})=-\operatorname {Arg} (c_{n})}$$

Un ejemplo de cómo determinar el parámetro${\displaystyle \varphi _{n}}$para un valor de${\displaystyle n}$se muestra en la Figura 2. Es el valor de${\displaystyle \varphi }$en la correlación máxima entre${\displaystyle s(x)}$y una plantilla de coseno,${\displaystyle \cos(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi )}$. El gráfico azul es la función de correlación cruzada , también conocida como filtro adaptado :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} (\varphi )&=\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx\quad \varphi \in \left[0,2\pi \right]\\&=\cos(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(0)}+\sin(\varphi )\underbrace {\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)dx} _{X(\pi /2)}\end{aligned}}}$

Afortunadamente, no es necesario evaluar toda esta función, ya que su derivada es cero en el máximo: $${\displaystyle X'(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot X(0)-\cos(\varphi )\cdot X(\pi /2)=0,\quad {\textrm {at}}\ \varphi =\varphi _{n}.}$$Por eso $${\displaystyle \varphi _{n}\equiv \arctan(b_{n}/a_{n})=\arctan(X(\pi /2)/X(0)).}$$

La notación${\displaystyle c_{n}}$es inadecuado para discutir los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, habitualmente se reemplaza por una forma modificada de la función (${\displaystyle s,}$en este caso), como por ejemplo${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$o${\displaystyle S[n],}$y la notación funcional a menudo reemplaza la subíndice :

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, particularmente cuando la variable${\displaystyle x}$La secuencia de coeficientes representa el tiempo y se denomina representación en el dominio de la frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias.

Otra representación en el dominio de la frecuencia de uso común utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

dónde${\displaystyle f}$representa un dominio de frecuencia continuo. Cuando variable${\displaystyle x}$tiene unidades de segundos,${\displaystyle f}$tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$, que se denomina frecuencia fundamental .${\displaystyle s(x)}$puede recuperarse a partir de esta representación mediante una transformada inversa de Fourier :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s(x).\end{aligned}}}$

La función construida${\displaystyle S(f)}$Por lo tanto, se la suele denominar transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no converge en las frecuencias armónicas. ^{[ C ]}

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, denotadas a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y existe una correspondencia biunívoca entre las cuatro componentes de una función de tiempo compleja y las cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&s&=&s_{\mathrm {RE} }&+&s_{\mathrm {RO} }&+&i\ s_{\mathrm {IE} }&+&i\ s_{\mathrm {IO} }\\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&S&=&S_{\mathrm {RE} }&+&i\ S_{\mathrm {IO} }\,&+&i\ S_{\mathrm {IE} }&+&S_{\mathrm {RO} }\end{array}}}$

De esto se desprenden diversas relaciones, por ejemplo :

• La transformación de una función de valor real${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+s_{\mathrm {RO} })}$es la función simétrica conjugada${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+i\ S_{\mathrm {IO} }.}$ Por el contrario, una transformación simétrica conjugada implica un dominio temporal de valores reales.
• La transformada de una función de valor imaginario${\displaystyle (i\ s_{\mathrm {IE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$es la función antisimétrica conjugada${\displaystyle S_{\mathrm {RO} }+i\ S_{\mathrm {IE} },}$y lo contrario también es cierto.
• La transformada de una función simétrica conjugada${\displaystyle (s_{\mathrm {RE} }+i\ s_{\mathrm {IO} })}$es la función de valor real${\displaystyle S_{\mathrm {RE} }+S_{\mathrm {RO} },}$y lo contrario también es cierto.
• La transformada de una función antisimétrica conjugada${\displaystyle (s_{\mathrm {RO} }+i\ s_{\mathrm {IE} })}$es la función de valor imaginario${\displaystyle i\ S_{\mathrm {IE} }+i\ S_{\mathrm {IO} },}$y lo contrario también es cierto.

Si${\displaystyle S}$es integrable ,${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$,${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$y${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

Si${\displaystyle s}$pertenece a${\displaystyle L^{2}(P)}$(periódica en un intervalo de longitud${\displaystyle P}$) entonces:$${\displaystyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$$

Si${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$son coeficientes y${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$entonces hay una función única${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$de tal manera que${\displaystyle S[n]=c_{n}}$por cada${\displaystyle n}$.

Dado${\displaystyle P}$-funciones periódicas,${\displaystyle s_{P}}$y${\displaystyle r_{P}}$con coeficientes de series de Fourier${\displaystyle S[n]}$y${\displaystyle R[n],}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• El producto punto por punto :$${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq s_{P}(x)\cdot r_{P}(x)}$$también lo es${\displaystyle P}$-periódica, y sus coeficientes de la serie de Fourier vienen dados por la convolución discreta de la${\displaystyle S}$y${\displaystyle R}$secuencias :$${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• La convolución periódica :$${\displaystyle h_{P}(x)\triangleq \int _{P}s_{P}(\tau )\cdot r_{P}(x-\tau )\,d\tau }$$también lo es${\displaystyle P}$-periódica, con coeficientes de series de Fourier :$${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• Una secuencia doblemente infinita${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$en${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$es la secuencia de coeficientes de Fourier de una función en${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$si y solo si es una convolución de dos secuencias en${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$. Véase ^{[ 32 ]}

Si${\displaystyle s}$es un${\displaystyle P}$-función periódica en${\displaystyle \mathbb {R} }$que es${\displaystyle k}$tiempos diferenciables y su${\displaystyle k^{\text{th}}}$La derivada es continua, entonces${\displaystyle s}$pertenece al espacio de funciones${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$.

• Si${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {R} )}$, entonces los coeficientes de Fourier de la${\displaystyle k^{\text{th}}}$derivado de${\displaystyle s}$puede expresarse en términos de los coeficientes de Fourier${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$de${\displaystyle s}$, a través de la fórmula$${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=\left(i{\frac {2\pi n}{P}}\right)^{k}{\widehat {s}}[n].}$$En particular, puesto que para cualquier fijo${\displaystyle k\geq 1}$tenemos${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$como${\displaystyle n\to \infty }$De ello se deduce que${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$tiende a cero, es decir, los coeficientes de Fourier convergen a cero más rápido que el${\displaystyle k^{\text{th}}}$poder de${\displaystyle |n|}$.

Una de las propiedades interesantes de la transformada de Fourier que hemos mencionado es que realiza convoluciones a productos puntuales. Si esta es la propiedad que buscamos preservar, podemos generar series de Fourier en cualquier grupo compacto . Ejemplos típicos incluyen los grupos clásicos compactos. Esto generaliza la transformada de Fourier a todos los espacios de la forma L² ( G ), donde G es un grupo compacto, de manera que la transformada de Fourier realiza ^{convoluciones} a productos puntuales. La serie de Fourier existe y converge de forma similar al caso [ −π , π ] .

Una extensión alternativa a los grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl , que demuestra resultados sobre representaciones de grupos compactos análogos a los de los grupos finitos.

Si el dominio no es un grupo, entonces no hay una convolución intrínsecamente definida. Sin embargo, si${\displaystyle X}$es una variedad riemanniana compacta , tiene un operador de Laplace-Beltrami . El operador de Laplace-Beltrami es el operador diferencial que corresponde al operador de Laplace para la variedad riemanniana.${\displaystyle X}$. Entonces, por analogía, se pueden considerar ecuaciones de calor en${\displaystyle X}$Dado que Fourier llegó a su base al intentar resolver la ecuación del calor, la generalización natural consiste en utilizar las soluciones propias del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza las series de Fourier a espacios del tipo${\displaystyle L^{2}(X)}$, dónde${\displaystyle X}$es una variedad riemanniana. La serie de Fourier converge de forma similar a la${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$caso. Un ejemplo típico es tomar${\displaystyle X}$ser la esfera con la métrica usual, en cuyo caso la base de Fourier consiste en armónicos esféricos .

La generalización a grupos compactos analizada anteriormente no se generaliza a grupos no compactos ni abelianos . Sin embargo, existe una generalización directa a grupos abelianos localmente compactos (LCA) .

Esto generaliza la transformada de Fourier a${\displaystyle L^{1}(G)}$o${\displaystyle L^{2}(G)}$, dónde${\displaystyle G}$es un grupo LCA. Si${\displaystyle G}$es compacto, también se obtiene una serie de Fourier, que converge de manera similar a la${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$caso, pero si${\displaystyle G}$es no compacto, se obtiene en su lugar una integral de Fourier . Esta generalización produce la transformada de Fourier usual cuando el grupo abeliano localmente compacto subyacente es${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Formalmente, la serie de Fourier-Stieltjes se puede definir como la serie de Fourier cuyos coeficientes vienen dados por $${\displaystyle c_{n}={\hat {\mu }}(n)={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,d\mu (x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$ para cualquier${\displaystyle \mu \in M}$, dónde${\displaystyle M}$es el espacio finito Medidas de Borel en el intervalo${\displaystyle [0,P]}$. Por lo tanto, cuando${\displaystyle \mu \in M}$, la función${\displaystyle {\hat {\mu }}(n)}$También se la conoce como transformada de Fourier-Stieltjes . ^{[ 33 ] [ 34 ]}

Esto se deduce de una representación anterior y más concreta de una medida de Radon (es decir, una medida de Borel localmente finita ) en${\displaystyle \mathbb {R} }$, dado por F. Riesz . Es decir, si${\displaystyle F}$es una función de variación acotada en el intervalo${\displaystyle [0,P]}$Entonces, los coeficientes de Fourier pueden expresarse mediante la integral de Riemann-Stieltjes.$${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\ e^{-i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\,dF(x),\quad \forall n\in \mathbb {Z} ,}$$ denominados coeficientes de Fourier-Stieltjes de${\displaystyle F}$. ^{[ 35 ]} Como la derivada distribucional de${\displaystyle F}$es una medida de Radon, está sujeta a la descomposición de Lebesgue y puede expresarse como${\displaystyle dF=F'dx+dF_{s}}$. ^{[ 36 ] [ 37 ]} Si${\displaystyle dF_{s}=0}$La expresión se reduce a la definición original de los coeficientes de Fourier, por lo tanto, una serie de Fourier es una serie de Fourier-Stieltjes.

La cuestión de si o no${\displaystyle \mu }$existe para una secuencia dada de${\displaystyle c_{n}}$forma la base del problema del momento trigonométrico . ^{[ 38 ]}

La serie de Fourier se puede generalizar aún más, desde medidas hasta distribuciones . Si los coeficientes de Fourier están determinados por una distribución${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}'}$Entonces, la serie a veces se describe como una serie de Fourier-Schwartz . ^{[ 39 ]}

Si bien suele ser extremadamente difícil decidir si una serie dada es una serie de Fourier o una serie de Fourier-Stieltjes, decidir si es o no una serie de Fourier-Schwartz es relativamente trivial. ^{[ 40 ]}

También podemos definir la serie de Fourier para funciones de dos variables.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en la plaza${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

Además de ser útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación del calor, una aplicación destacada de las series de Fourier al cuadrado se encuentra en la compresión de imágenes . En particular, el estándar de compresión de imágenes JPEG utiliza la transformada discreta del coseno bidimensional , una forma discreta de la transformada del coseno de Fourier , que utiliza únicamente el coseno como función base.

Para arreglos bidimensionales con apariencia escalonada, la mitad de los coeficientes de la serie de Fourier desaparecen debido a una simetría adicional. ^{[ 41 ]}

Una red de Bravais tridimensional se define como el conjunto de vectores de la forma $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ dónde${\displaystyle n_{i}}$son números enteros y${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$son tres vectores linealmente independientes pero no necesariamente ortogonales. Consideremos alguna función${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$con la misma periodicidad que la red de Bravais, es decir${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$para cualquier vector de red${\displaystyle \mathbf {R} }$Esta situación ocurre con frecuencia en la física del estado sólido donde${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$podría, por ejemplo, representar el potencial efectivo que un electrón "siente" dentro de un cristal periódico. En presencia de dicho potencial periódico, la descripción cuántico-mecánica del electrón da como resultado una onda plana modulada periódicamente, comúnmente conocida como estado de Bloch .

Para desarrollar${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$En una serie de Fourier, es conveniente introducir una función auxiliar.$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f{\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)}.}$$Ambos${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$y${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$contienen esencialmente la misma información. Sin embargo, en lugar del vector de posición${\displaystyle \mathbf {r} }$, los argumentos de${\displaystyle g}$son coordenadas${\displaystyle x_{1,2,3}}$a lo largo de los vectores unitarios${\displaystyle \mathbf {a} _{i}/{a_{i}}}$de la red de Bravais, de tal manera que${\displaystyle g}$es una función periódica ordinaria en estas variables,$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3})\quad \forall \;x_{1},x_{2},x_{3}.}$$Este truco nos permite desarrollar${\displaystyle g}$como una serie de Fourier multidimensional, en completa analogía con la función cuadrática periódica discutida en la sección anterior. Sus coeficientes de Fourier son$${\displaystyle {\begin{aligned}c(m_{1},m_{2},m_{3})={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,g(x_{1},x_{2},x_{3})\,e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}},}$$dónde${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$son todos números enteros. ${\displaystyle c(m_{1},m_{2},m_{3})}$desempeña el mismo papel que los coeficientes${\displaystyle c_{j,k}}$en la sección anterior pero para evitar subíndices dobles los denotamos como una función.

Una vez que tengamos estos coeficientes, la función${\displaystyle g}$se puede recuperar mediante la serie de Fourier$${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }\,c(m_{1},m_{2},m_{3})\,e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$Ahora nos gustaría abandonar las coordenadas auxiliares.${\displaystyle x_{1,2,3}}$y para volver al vector de posición original${\displaystyle \mathbf {r} }$Esto se puede lograr mediante la red recíproca cuyos vectores${\displaystyle \mathbf {b} _{1,2,3}}$se definen de tal manera que sean ortonormales (salvo un factor)${\displaystyle 2\pi }$) a los vectores de Bravais originales${\displaystyle \mathbf {a} _{1,2,3}}$,$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b_{j}} =2\pi \delta _{ij},}$$con${\displaystyle \delta _{ij}}$la delta de Kronecker . Con esto, el producto escalar entre un vector de red recíproca${\displaystyle \mathbf {Q} }$y un vector de posición arbitrario${\displaystyle \mathbf {r} }$escrito en la base de la red de Bravais se convierte en $${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right),}$$que es exactamente la expresión que aparece en los exponentes de Fourier. La serie de Fourier para${\displaystyle f(\mathbf {r} )=g(x_{1},x_{2},x_{3})}$Por lo tanto, se puede reescribir como una suma sobre todos los vectores de la red recíproca.${\displaystyle \mathbf {Q} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$,$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {Q} }c(\mathbf {Q} )\,e^{i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} },}$$y los coeficientes son$${\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }.}$$La tarea restante consistirá en convertir esta integral sobre coordenadas de red de nuevo en una integral de volumen. La relación entre las coordenadas de red${\displaystyle x_{1,2,3}}$y las coordenadas cartesianas originales${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ es un sistema lineal de ecuaciones, $${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$que, cuando se escribe en forma matricial,$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=\mathbf {J} {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}},{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}},{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\,,}$$implica una matriz constante${\displaystyle \mathbf {J} }$cuyas columnas son los vectores unitarios${\displaystyle \mathbf {a} _{j}/a_{j}}$de la red de Bravais. Al cambiar variables de${\displaystyle \mathbf {r} }$a${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$en una integral, la misma matriz${\displaystyle \mathbf {J} }$aparece como una matriz jacobiana$${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial x}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial y}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y}{\partial x_{3}}}\\[12pt]{\dfrac {\partial z}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial z}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}\,.}$$

Su determinante${\displaystyle J}$Por lo tanto, también es constante y puede inferirse de cualquier integral sobre cualquier dominio; aquí optamos por calcular el volumen de la celda unitaria primitiva.${\displaystyle \Gamma }$en ambos sistemas de coordenadas: $${\displaystyle V_{\Gamma }=\int _{\Gamma }d^{3}r=J\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}=J\,a_{1}a_{2}a_{3}}$$Siendo la celda unitaria un paralelepípedo , tenemos${\displaystyle V_{\Gamma }=\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$y por lo tanto$${\displaystyle d^{3}r=Jdx_{1}dx_{2}dx_{3}={\frac {\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}{a_{1}a_{2}a_{3}}}dx_{1}dx_{2}dx_{3}.}$$Esto nos permite escribir${\displaystyle c(\mathbf {Q} )}$como la integral de volumen deseada sobre la celda unitaria primitiva${\displaystyle \Gamma }$en coordenadas cartesianas ordinarias: $${\displaystyle c(\mathbf {Q} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{\Gamma }d^{3}r\,f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {Q} \cdot \mathbf {r} }\,.}$$

Como la serie trigonométrica es una clase especial de sistema ortogonal , la serie de Fourier se puede definir naturalmente en el contexto de los espacios de Hilbert . Por ejemplo, el espacio de funciones de cuadrado integrable en${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$forma el espacio de Hilbert${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$. Su producto interno , definido para cualesquiera dos elementos${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$, viene dado por: $${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}\,dx.}$$ Este espacio está equipado con la base ortonormal.${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$. Luego, la expansión en serie de Fourier (generalizada) de${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$, dado por $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx},}$$ se puede escribir como ^{[ 42 ]}$${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$$

La forma seno-coseno se sigue de manera similar. De hecho, los senos y los cosenos forman un conjunto ortogonal : $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$$${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$ (donde δ _mn es la delta de Kronecker ), y $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$ Por lo tanto, el conjunto $${\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {\cos x}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin x}{\sqrt {2}}},\dots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {2}}},{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {2}}},\dots \right\},}$$ también forma una base ortonormal para${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$La densidad de su extensión es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass , pero también se deriva de las propiedades de los núcleos clásicos como el núcleo de Fejér .