subgrupo de conmutadores

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , el subgrupo conmutador o subgrupo derivado de un grupo es el subgrupo generado por todos los conmutadores del grupo. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El subgrupo conmutador es importante porque es el subgrupo normal más pequeño tal que el grupo cociente del grupo original por este subgrupo es abeliano . En otras palabras,${\displaystyle G/N}$es abeliano si y solo si${\displaystyle N}$contiene el subgrupo conmutador de${\displaystyle G}$. Así pues, en cierto sentido, proporciona una medida de cuán lejos está el grupo de ser abeliano; cuanto mayor sea el subgrupo conmutador, "menos abeliano" será el grupo.

Para los elementos${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$de un grupo G , el conmutador de${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$es${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$El conmutador${\displaystyle [g,h]}$es igual al elemento identidad e si y solo si${\displaystyle gh=hg}$, es decir, si y solo si${\displaystyle g}$y${\displaystyle h}$desplazamiento. En general,${\displaystyle gh=hg[g,h]}$.

Sin embargo, la notación es algo arbitraria y existe una definición variante no equivalente para el conmutador que tiene los inversos en el lado derecho de la ecuación:${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$en cuyo caso ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$pero en cambio${\displaystyle gh=[g,h]hg}$.

Un elemento de G de la forma${\displaystyle [g,h]}$Para algunos g y h se llama conmutador. El elemento identidad e = [ e , e ] es siempre un conmutador, y es el único conmutador si y solo si G es abeliano.

Aquí se presentan algunas identidades de conmutadores simples pero útiles, válidas para cualesquiera elementos s , g , h de un grupo G :

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$dónde${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$(o, respectivamente,${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$) es el conjugado de${\displaystyle g}$por${\displaystyle s,}$
• para cualquier homomorfismo${\displaystyle f:G\to H}$,${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

La primera y la segunda identidad implican que el conjunto de conmutadores en G es cerrado bajo inversión y conjugación. Si en la tercera identidad tomamos H = G , obtenemos que el conjunto de conmutadores es estable bajo cualquier endomorfismo de G. Esto es de hecho una generalización de la segunda identidad, ya que podemos tomar f como el automorfismo de conjugación en G.${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$, para obtener la segunda identidad.

Sin embargo, el producto de dos o más conmutadores no tiene por qué ser un conmutador. Un ejemplo genérico es [ a , b ][ c , d ] en el grupo libre sobre a , b , c , d . Se sabe que el orden mínimo de un grupo finito para el cual existen dos conmutadores cuyo producto no es un conmutador es 96; de hecho, existen dos grupos no isomorfos de orden 96 con esta propiedad. ^{[ 3 ]}

Esto motiva la definición del subgrupo conmutador.${\displaystyle [G,G]}$(también llamado subgrupo derivado y denotado${\displaystyle G'}$o${\displaystyle G^{(1)}}$) de G : es el subgrupo generado por todos los conmutadores.

De esta definición se deduce que cualquier elemento de${\displaystyle [G,G]}$es de la forma

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

para algún número natural${\displaystyle n}$, donde g _i y h _i son elementos de G . Además, dado que${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$, el subgrupo conmutador es normal en G . Para cualquier homomorfismo f : G → H ,

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$,

de modo que${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$.

Esto demuestra que el subgrupo conmutador puede considerarse un functor en la categoría de grupos , cuyas implicaciones se exploran más adelante. Además, al tomar G = H, se observa que el subgrupo conmutador es estable bajo cualquier endomorfismo de G ; es decir, [ G , G ] es un subgrupo completamente característico de G , una propiedad considerablemente más fuerte que la normalidad.

El subgrupo conmutador también puede definirse como el conjunto de elementos g del grupo que tienen una expresión como producto g = g ₁ g ₂ ... g _k que puede reordenarse para dar la identidad.

• El subgrupo conmutador de cualquier grupo abeliano es trivial .
• El subgrupo conmutador del grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$sobre un campo o un anillo de división k es igual al grupo lineal especial${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$siempre que${\displaystyle n\neq 2}$o k no es el campo con dos elementos . ^{[ 5 ]}
• El subgrupo conmutador del grupo alternante A ₄ es el grupo Klein de orden cuatro .
• El subgrupo conmutador del grupo simétrico S _n es el grupo alternante A _n .
• El subgrupo conmutador del grupo de cuaterniones Q = {1, − 1, i , − i , j , − j , k , − k } es [ Q , Q ] = {1, − 1}.

• Grupo resoluble
• Grupo nilpotente
• La abelianización H / H ' de un subgrupo H  < G de índice finito ( G : H ) es el objetivo de la transferencia de Artin T ( G , H ).  

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª  ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª  ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , Springer , ISBN 0-387-95385-X
• Suárez-Alvarez, Mariano. "Subgrupos derivados y conmutadores" .

• "Subgrupo conmutador" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]