Klein de cuatro grupos

En matemáticas , el grupo de Klein de cuatro elementos es un grupo abeliano con cuatro elementos, en el que cada elemento es autoinverso (componiéndolo consigo mismo produce la identidad) y en el que la composición de dos cualesquiera de los tres elementos distintos de la identidad produce el tercero. Puede describirse como el grupo de simetría de un rectángulo no cuadrado (siendo los tres elementos distintos de la identidad la reflexión horizontal , la reflexión vertical y la rotación de 180 grados ), como el grupo de operaciones OR exclusivas bit a bit sobre valores binarios de dos bits, o de forma más abstracta como${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$, el producto directo de dos copias del grupo cíclico de orden 2 por el Teorema Fundamental de los Grupos Abelianos Finitamente Generados . Se denominó Vierergruppe ( alemán: [ ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə ]^ⓘ , que significa grupo de cuatro) porFelix Kleinen 1884. ^{[ 1 ]} También se le llamagrupo de Kleiny a menudo se simboliza con la letra${\displaystyle V}$o como${\displaystyle K_{4}}$.

El grupo de Klein de orden cuatro, con cuatro elementos, es el grupo más pequeño que no es cíclico. Salvo isomorfismo , solo existe otro grupo de orden cuatro: el grupo cíclico de orden 4. Ambos grupos son abelianos.

La tabla de Cayley del grupo Klein viene dada por:

El modelo de cuatro grupos de Klein también se define por la presentación del grupo.

${\displaystyle V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .}$

Todos los elementos distintos de la identidad del grupo de Klein tienen orden 2, por lo que cualquier par de elementos distintos de la identidad pueden servir como generadores en la presentación anterior. El grupo de Klein de orden 4 es el grupo no cíclico más pequeño . Sin embargo, es un grupo abeliano e isomorfo al grupo diedral de orden (cardinalidad) 4, simbolizado${\displaystyle D_{4}}$(o${\displaystyle D_{2}}$, utilizando la convención geométrica); aparte del grupo de orden 2, es el único grupo diedral que es abeliano.

El grupo de Klein de cuatro dimensiones también es isomorfo a la suma directa.${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$, de modo que se puede representar como los pares {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} bajo la suma componente a componente módulo 2 (o equivalentemente las cadenas de bits {00, 01, 10, 11} bajo XOR bit a bit ), siendo (0,0) el elemento identidad del grupo. El grupo de Klein de cuatro elementos es, por lo tanto, un ejemplo de un 2-grupo abeliano elemental , que también se denomina grupo booleano . El grupo de Klein de cuatro elementos es, por lo tanto, también el grupo generado por la diferencia simétrica como operación binaria sobre los subconjuntos de un conjunto potencia de un conjunto con dos elementos, es decir, sobre un cuerpo de conjuntos con cuatro elementos, como${\displaystyle \{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}}$; en este caso, el conjunto vacío es el elemento neutro del grupo.

Otra construcción numérica del grupo de Klein de cuatro elementos es el conjunto { 1, 3, 5, 7 } , donde la operación es la multiplicación módulo 8 . Aquí a es 3, b es 5 y c = ab es 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

El grupo de Klein de cuatro elementos también tiene una representación como matrices reales de 2 × 2, siendo la operación la multiplicación de matrices:

${\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad }$

${\displaystyle b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

En un cubo de Rubik , el patrón de "4 puntos" se puede formar de tres maneras (por ejemplo, M2 U2 M2 U2 F2 M2 F2), dependiendo del par de caras que se dejen en blanco; estas tres posiciones junto con la posición resuelta forman un ejemplo del grupo de Klein, donde la posición resuelta sirve como elemento neutro.

En dos dimensiones, el grupo cuatridimensional de Klein es el grupo de simetría de un rombo y de rectángulos que no son cuadrados , siendo sus cuatro elementos la identidad, la reflexión vertical, la reflexión horizontal y una rotación de 180°.

En tres dimensiones, existen tres grupos de simetría diferentes que son algebraicamente el grupo de Klein de cuatro dimensiones:

• uno con tres ejes de rotación dobles perpendiculares: el grupo diedral${\displaystyle D_{2}}$
• uno con un eje de rotación doble y un plano de reflexión perpendicular:${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }}$
• uno con un eje de rotación doble en un plano de reflexión (y por lo tanto también en un plano de reflexión perpendicular):${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }}$.

Los tres elementos de orden dos en el grupo de Klein de cuatro dimensiones son intercambiables: el grupo de automorfismos de V es, por lo tanto, el grupo de permutaciones de estos tres elementos, es decir, el grupo simétrico.${\displaystyle S_{3}}$.

Las permutaciones de los elementos del grupo de Klein de cuatro elementos pueden pensarse abstractamente como su representación de permutación en cuatro puntos:

${\displaystyle V={}}${(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

En esta representación,${\displaystyle V}$es un subgrupo normal del grupo alternante${\displaystyle A_{4}}$(y también el grupo simétrico${\displaystyle S_{4}}$) en cuatro letras. También es un subgrupo transitivo de${\displaystyle S_{4}}$que aparece como un grupo de Galois . De hecho, es el núcleo de un homomorfismo de grupos sobreyectivos de${\displaystyle S_{4}}$a${\displaystyle S_{3}}$.

Otras representaciones dentro de S ₄ son:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

No son subgrupos normales de S ₄ .

Según la teoría de Galois , la existencia del grupo de Klein de cuatro dimensiones (y en particular, su representación por permutaciones) explica la existencia de la fórmula para calcular las raíces de ecuaciones cuárticas en términos de radicales , tal como la estableció Lodovico Ferrari : el mapa${\displaystyle S_{4}\to S_{3}}$corresponde a la resolvente cúbica , en términos de resolventes de Lagrange .

En la construcción de anillos finitos , ocho de los once anillos con cuatro elementos tienen el grupo de Klein de cuatro elementos como su subestructura aditiva.

Si${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$denota el grupo multiplicativo de los reales distintos de cero y${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$el grupo multiplicativo de los reales positivos , entonces${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$es el grupo de unidades del anillo${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, y${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}}$es un subgrupo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$(de hecho es el componente de la identidad de${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }}$). El grupo cociente${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})}$es isomorfo al grupo de Klein de cuatro elementos. De manera similar, el grupo de unidades del anillo de números complejos divididos , cuando se divide por su componente identidad, también resulta en el grupo de Klein de cuatro elementos.

Entre los grafos conexos simples , el que tiene menos entidades y que admite el grupo de Klein de cuatro elementos como su grupo de automorfismos es el grafo diamante que se muestra a continuación. También es el grupo de automorfismos de otros grafos con incluso menos entidades. Estos incluyen el grafo con cuatro vértices y una arista, que sigue siendo simple pero pierde conectividad, y el grafo con dos vértices conectados entre sí por dos aristas, que sigue siendo conexo pero pierde simplicidad.

En composición musical , el grupo de cuatro es el grupo básico de permutaciones en la técnica dodecafónica . En ese caso, la tabla de Cayley se escribe ^{[ 2 ].}

El cuadrado SATOR es un cuadrado de palabras de 5×5  :

Satisface las siguientes restricciones  :

• ${\displaystyle A:(i,j)=(j,i)}$
• ${\displaystyle B:(i,j)=(6-i,6-j)}$

Dadas esas limitaciones,${\displaystyle \{e,A,B,A\circ B\}}$forma un grupo Klein.

• grupo de cuaterniones
• Lista de grupos pequeños

• MA Armstrong (1988) Grupos y simetría , Springer Verlag , página 53 .
• WE Barnes (1963) Introducción al álgebra abstracta , DC Heath & Co., página 20.

• Weisstein, Eric W. "Vierergruppe" . MundoMatemático .