Transformación integral

En matemáticas , una transformación integral es un tipo de transformación que traslada una función de su espacio funcional original a otro espacio funcional mediante integración , donde algunas de las propiedades de la función original pueden caracterizarse y manipularse más fácilmente que en el espacio funcional original. La función transformada generalmente puede devolverse al espacio funcional original mediante la transformación inversa .

Una transformada integral es cualquier transformada${\displaystyle T}$de la siguiente forma:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

La entrada de esta transformación es una función${\displaystyle f}$y la salida es otra función${\displaystyle Tf}$Una transformada integral es un tipo particular de operador matemático .

Existen numerosas transformaciones integrales útiles. Cada una se especifica mediante la elección de la función.${\displaystyle K}$de dos variables , que se denomina núcleo o núcleo de la transformada.

Algunos núcleos tienen un núcleo inverso asociado.${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$lo que (en términos generales) produce una transformación inversa:

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

Un núcleo simétrico es aquel que permanece inalterado cuando se permutan las dos variables; es una función núcleo.${\displaystyle K}$de tal manera que${\displaystyle K(t,u)=K(u,t)}$En la teoría de ecuaciones integrales, los núcleos simétricos corresponden a operadores autoadjuntos . ^{[ 1 ]}

Existen muchos tipos de problemas difíciles de resolver —o al menos bastante complejos desde el punto de vista algebraico— en sus representaciones originales. Una transformación integral "mapea" una ecuación de su "dominio" original a otro dominio, en el que manipular y resolver la ecuación puede ser mucho más sencillo que en el dominio original. La solución puede entonces devolverse al dominio original mediante la transformada integral inversa.

Hay muchas aplicaciones de la probabilidad que se basan en transformaciones integrales, como el "núcleo de precios" o el factor de descuento estocástico , o el suavizado de datos recuperados de estadísticas robustas; véase núcleo (estadística) .

El precursor de las transformadas fueron las series de Fourier , que se utilizaban para expresar funciones en intervalos finitos. Posteriormente, se desarrolló la transformada de Fourier para eliminar la necesidad de intervalos finitos.

Utilizando la serie de Fourier, casi cualquier función práctica del tiempo (por ejemplo, la tensión entre los terminales de un dispositivo electrónico ) puede representarse como una suma de senos y cosenos , cada uno escalado adecuadamente (multiplicado por un factor constante), desplazado (adelantado o retrasado en el tiempo) y "comprimido" o "estirado" (aumentando o disminuyendo la frecuencia). Los senos y cosenos en la serie de Fourier son un ejemplo de una base ortonormal .

Como ejemplo de aplicación de las transformadas integrales, consideremos la transformada de Laplace . Esta técnica transforma ecuaciones diferenciales o integro-diferenciales del dominio del tiempo en ecuaciones polinómicas del dominio de la frecuencia compleja . (La frecuencia compleja es similar a la frecuencia física real, pero más general. Específicamente, la componente imaginaria ω de la frecuencia compleja s = − σ + iω corresponde al concepto habitual de frecuencia, es decir , la tasa a la que se repite un ciclo sinusoidal, mientras que la componente real σ de la frecuencia compleja corresponde al grado de amortiguación, es decir, una disminución exponencial de la amplitud). La ecuación expresada en términos de frecuencia compleja se resuelve fácilmente en el dominio de la frecuencia compleja (las raíces de las ecuaciones polinómicas en el dominio de la frecuencia compleja corresponden a los autovalores en el dominio del tiempo), lo que conduce a una solución formulada en el dominio de la frecuencia. Mediante la transformada inversa , es decir , el procedimiento inverso de la transformada de Laplace original, se obtiene una solución en el dominio del tiempo. En este ejemplo, los polinomios en el dominio de la frecuencia compleja (que suelen aparecer en el denominador) corresponden a series de potencias en el dominio del tiempo, mientras que los desplazamientos axiales en el dominio de la frecuencia compleja corresponden a la amortiguación mediante exponenciales decrecientes en el dominio del tiempo.

La transformada de Laplace tiene amplias aplicaciones en física y, en particular, en ingeniería eléctrica, donde las ecuaciones características que describen el comportamiento de un circuito eléctrico en el dominio de la frecuencia compleja corresponden a combinaciones lineales de sinusoides amortiguadas, escaladas exponencialmente y desplazadas en el tiempo, en el dominio temporal. Otras transformadas integrales encuentran especial utilidad en otras disciplinas científicas y matemáticas.

Otro ejemplo de uso es el núcleo en la integral de trayectoria :

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

Esto indica que la amplitud total${\displaystyle \psi (x,t)}$llegar a${\displaystyle (x,t)}$es la suma (la integral) sobre todos los valores posibles${\displaystyle x'}$de la amplitud total${\displaystyle \psi (x',t')}$llegar al punto${\displaystyle (x',t')}$multiplicado por la amplitud para pasar de${\displaystyle x'}$a${\displaystyle x}$[ es decir${\displaystyle K(x,t;x',t')}$] . ^{[ 2 ]} A menudo se le denomina propagador para un sistema dado. Este núcleo (físico) es el núcleo de la transformada integral. Sin embargo, para cada sistema cuántico, existe un núcleo diferente. ^{[ 3 ]}

En los límites de integración de la transformada inversa, c es una constante que depende de la naturaleza de la función de transformación. Por ejemplo, para la transformada de Laplace unilateral y bilateral, c debe ser mayor que la mayor parte real de los ceros de la función de transformación.

Cabe señalar que existen notaciones y convenciones alternativas para la transformada de Fourier.

Aquí se definen las transformadas integrales para funciones sobre los números reales, pero pueden definirse de forma más general para funciones sobre un grupo.

• Si en cambio se utilizan funciones en el círculo (funciones periódicas), los núcleos de integración son entonces funciones biperiódicas; la convolución mediante funciones en el círculo produce una convolución circular .
• Si se utilizan funciones en el grupo cíclico de orden n ( C _n o Z / n Z ), se obtienen matrices n × n como núcleos de integración; la convolución corresponde a matrices circulantes .

Aunque las propiedades de las transformadas integrales varían ampliamente, comparten algunas características. Por ejemplo, toda transformada integral es un operador lineal , puesto que la integral es un operador lineal, y de hecho, si se permite que el núcleo sea una función generalizada, entonces todos los operadores lineales son transformadas integrales (una formulación adecuada de esta afirmación es el teorema del núcleo de Schwartz ).

La teoría general de este tipo de ecuaciones integrales se conoce como teoría de Fredholm . En esta teoría, el núcleo se entiende como un operador compacto que actúa sobre un espacio de Banach de funciones. Según el contexto, el núcleo recibe distintos nombres, como operador de Fredholm , operador nuclear o núcleo de Fredholm .

• AD Polyanin y AV Manzhirov, Manual de ecuaciones integrales , CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• RKM Thambynayagam, Manual de difusión: Soluciones aplicadas para ingenieros , McGraw-Hill, Nueva York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
• "Transformada integral" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.