Teoría invariante

La teoría de invariantes es una rama del álgebra abstracta que se ocupa de las acciones de grupos sobre variedades algebraicas , como los espacios vectoriales, desde el punto de vista de su efecto sobre las funciones. Clásicamente, la teoría se ocupaba de la descripción explícita de funciones polinómicas que no cambian (son invariantes ) bajo las transformaciones de un grupo lineal dado . Por ejemplo, si consideramos la acción del grupo lineal especial SL _n sobre el espacio de matrices de n x n mediante multiplicación por la izquierda, entonces el determinante es un invariante de esta acción porque el determinante de AX es igual al determinante de X , cuando A está en SL _n .

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo y${\displaystyle V}$un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo${\displaystyle k}$(que en la teoría clásica de invariantes se solía asumir que eran los números complejos ). Una representación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$es un homomorfismo de grupo${\displaystyle \pi :G\a GL(V)}$, lo que induce una acción grupal de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$. Si${\displaystyle k[V]}$es el espacio de funciones polinómicas en${\displaystyle V}$, entonces la acción grupal de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$produce una acción en${\displaystyle k[V]}$mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].}$

Con esta acción es natural considerar el subespacio de todas las funciones polinómicas que son invariantes bajo esta acción de grupo, en otras palabras el conjunto de polinomios tales que${\displaystyle g\cdot f=f}$a pesar de${\displaystyle g\in G}$Este espacio de polinomios invariantes se denota${\displaystyle k[V]^{G}}$.

Primer problema de la teoría de invariantes : ^{[ 1 ]} Es${\displaystyle k[V]^{G}}$un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle k}$¿

Por ejemplo, si${\displaystyle G=SL_{n}}$y${\displaystyle V=M_{n}}$el espacio de matrices cuadradas y la acción de${\displaystyle G}$en${\displaystyle V}$se obtiene mediante multiplicación por la izquierda, entonces${\displaystyle k[V]^{G}}$es isomorfo a un álgebra polinómica en una variable, generada por el determinante. En otras palabras, en este caso, cada polinomio invariante es una combinación lineal de potencias del polinomio determinante. Entonces, en este caso,${\displaystyle k[V]^{G}}$se genera de forma finita sobre${\displaystyle k}$.

El primer problema de la teoría de invariantes fue respondido afirmativamente en una amplia generalidad que incluye el caso de un grupo finito que actúa sobre un espacio sobre un cuerpo de característica cero, véanse los teoremas de Hilbert más adelante.

Si el anillo de invariantes es finitamente generado, entonces la siguiente pregunta es encontrar una base mínima. Otra pregunta que se planteó: dada una base de tamaño${\displaystyle n}$, es el módulo de relaciones polinómicas entre los elementos base (conocidos como sizigias ) generados finitamente sobre el anillo de polinomios en${\displaystyle n}$variables. Esta última pregunta fue respondida afirmativamente en toda generalidad en virtud del teorema de la base de Hilbert .

La teoría de invariantes de grupos finitos tiene conexiones íntimas con la teoría de Galois . Uno de los primeros resultados importantes fue el teorema principal sobre las funciones simétricas que describía los invariantes del grupo simétrico.${\displaystyle S_{n}}$actuando sobre el anillo polinomial${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}}$] por permutaciones de las variables. De manera más general, el teorema de Chevalley-Shephard-Todd caracteriza a los grupos finitos cuya álgebra de invariantes es un anillo de polinomios. La investigación moderna en teoría de invariantes de grupos finitos enfatiza los resultados "efectivos", como las cotas explícitas en los grados de los generadores. El caso de característica positiva , ideológicamente cercano a la teoría de representación modular , es un área de estudio activo, con vínculos con la topología algebraica .

La teoría de invariantes de grupos infinitos está intrínsecamente ligada al desarrollo del álgebra lineal , especialmente a las teorías de formas cuadráticas y determinantes . Otro campo con una fuerte influencia mutua fue la geometría proyectiva , donde se esperaba que la teoría de invariantes desempeñara un papel fundamental en la organización del material. Uno de los aspectos más destacados de esta relación es el método simbólico . La teoría de la representación de grupos de Lie semisimples tiene sus raíces en la teoría de invariantes.

El trabajo de David Hilbert sobre la cuestión de la generación finita del álgebra de invariantes (1890) dio como resultado la creación de una nueva disciplina matemática: el álgebra abstracta. Un artículo posterior de Hilbert (1893) abordó las mismas cuestiones de forma más constructiva y geométrica, pero permaneció prácticamente desconocido hasta que David Mumford revivió estas ideas en la década de 1960, de una forma considerablemente más general y moderna, en su teoría geométrica de invariantes . En gran medida debido a la influencia de Mumford, se considera que el tema de la teoría de invariantes abarca la teoría de acciones de grupos algebraicos lineales sobre variedades afines y proyectivas . Una vertiente distinta de la teoría de invariantes, que se remonta a los métodos constructivos y combinatorios clásicos del siglo XIX, ha sido desarrollada por Gian-Carlo Rota y su escuela. Un ejemplo destacado de este círculo de ideas lo proporciona la teoría de monomios estándar .

Ejemplos sencillos de teoría de invariantes provienen del cálculo de los monomios invariantes a partir de una acción de grupo. Por ejemplo, consideremos el${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$-acción sobre${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$envío

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

Entonces, dado que${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$son los monomios de grado más bajo que son invariantes, tenemos que

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Este ejemplo constituye la base para realizar muchos cálculos.

Cayley estableció por primera vez la teoría de invariantes en su obra "Sobre la teoría de las transformaciones lineales" (1845). Al comienzo de su artículo, Cayley cita un trabajo de George Boole de 1841 : "Las investigaciones me fueron sugeridas por un artículo muy elegante sobre el mismo tema... del Sr. Boole". (El artículo de Boole fue "Exposición de una teoría general de las transformaciones lineales", publicado en el Cambridge Mathematical Journal). ^{[ 2 ]}

Clásicamente, el término «teoría de invariantes» se refiere al estudio de formas algebraicas invariantes (o, equivalentemente, tensores simétricos ) para la acción de transformaciones lineales . Este fue un campo de estudio fundamental a finales del siglo XIX. Las teorías actuales relativas al grupo simétrico y las funciones simétricas , el álgebra conmutativa , los espacios de módulos y las representaciones de grupos de Lie tienen su origen en esta área.

En mayor detalle, dado un espacio vectorial V de dimensión finita n, podemos considerar el álgebra simétrica S ( S ^r ( V )) de los polinomios de grado r sobre V , y la acción sobre ella de GL( V ). En realidad, es más preciso considerar los invariantes relativos de GL( V ), o representaciones de SL( V ), si vamos a hablar de invariantes : esto se debe a que un múltiplo escalar de la identidad actuará sobre un tensor de rango r en S( V ) a través del 'peso' de la r -ésima potencia del escalar. El punto es entonces definir la subálgebra de invariantes I ( S ^r ( V )) para la acción. Estamos, en lenguaje clásico, considerando invariantes de r -icos n -arios , donde n es la dimensión de V . (Esto no es lo mismo que encontrar invariantes de GL( V ) en S( V ); este es un problema poco interesante ya que los únicos invariantes de este tipo son constantes). El caso que más se estudió fue el de los invariantes de formas binarias donde n = 2.   

Otros trabajos incluyeron el de Felix Klein en el cálculo de los anillos invariantes de acciones de grupos finitos en${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$(los grupos poliédricos binarios , clasificados por la clasificación ADE ); estos son los anillos de coordenadas de las singularidades de du Val .

El trabajo de David Hilbert , que demostró que I ( V ) se presentaba de forma finita en muchos casos, casi puso fin a la teoría clásica de invariantes durante varias décadas, aunque la época clásica en este campo continuó hasta las últimas publicaciones de Alfred Young , más de 50 años después. En la época moderna se conocen cálculos explícitos para fines específicos (por ejemplo, Shioda, con los octavics binarios).

Hilbert (1890) demostró que si V es una representación de dimensión finita del grupo algebraico complejo G = SL _n ( C ), entonces el anillo de invariantes de G que actúa sobre el anillo de polinomios R = S ( V ) es finitamente generado. Su demostración utilizó el operador de Reynolds ρ de R a R ^G con las propiedades

• ρ (1) = 1
• ρ ( una + segundo ) = ρ ( una ) + ρ ( segundo )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) siempre que a sea un invariante.

Hilbert construyó el operador de Reynolds explícitamente usando el proceso omega Ω de Cayley , aunque ahora es más común construir ρ indirectamente de la siguiente manera: para grupos compactos G , el operador de Reynolds se da tomando el promedio sobre G , y los grupos reductivos no compactos se pueden reducir al caso de grupos compactos usando el truco unitario de Weyl .

Dado el operador de Reynolds, el teorema de Hilbert se demuestra de la siguiente manera. El anillo R es un anillo de polinomios, por lo que está graduado por grados, y el ideal I se define como el ideal generado por los invariantes homogéneos de grados positivos. Por el teorema de la base de Hilbert , el ideal I es finitamente generado (como un ideal). Por lo tanto, I es finitamente generado por un número finito de invariantes de G (porque si se nos da cualquier subconjunto S —posiblemente infinito— que genere un ideal I finitamente generado , entonces I ya está generado por algún subconjunto finito de S ). Sea i ₁ ,..., i _n un conjunto finito de invariantes de G que generan I (como un ideal). La idea clave es demostrar que estos generan el anillo R ^G de invariantes. Supongamos que x es algún invariante homogéneo de grado d > 0. Entonces  

x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n

para algún a _j en el anillo R porque x está en el ideal I. Podemos suponer que a _j es homogéneo de grado d − deg i _j para cada j (de lo contrario, reemplazamos a _j por su componente homogénea de grado d − deg i _j ; si hacemos esto para cada j , la ecuación x = a ₁ i ₁ + ... + a _{n i n} seguirá siendo válida). Ahora, aplicando el operador de Reynolds a x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n se obtiene

x = ρ ( una ₁ ) yo ₁ + ... + ρ ( una _norte ) yo _norte

Ahora vamos a demostrar que x pertenece al álgebra R generada por i ₁ ,..., i _n .

Primero, hagamos esto en el caso en que los elementos ρ( a _k ) tengan todos grado menor que d . En este caso, todos están en el álgebra R generada por i ₁ ,..., i _n (por nuestra suposición de inducción). Por lo tanto, x también está en esta álgebra R (ya que x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n ).

En el caso general, no podemos estar seguros de que todos los elementos ρ( a _k ) tengan grado menor que d . Pero podemos reemplazar cada ρ( a _k ) por su componente homogénea de grado d − deg i _j . Como resultado, estos ρ( a _k ) modificados siguen siendo G -invariantes (porque cada componente homogénea de un G -invariante es un G -invariante) y tienen grado menor que d (ya que deg i _k > 0). La ecuación x = ρ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ( a _n ) i _n sigue siendo válida para nuestro ρ( a _k ) modificado , por lo que podemos concluir de nuevo que x se encuentra en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n .

Por lo tanto, por inducción sobre el grado, todos los elementos de R ^G están en el R -álgebra generada por i ₁ ,..., i _n .

La formulación moderna de la teoría de invariantes geométricos se debe a David Mumford y enfatiza la construcción de un cociente mediante la acción de grupo que capture la información invariante a través de su anillo de coordenadas. Es una teoría sutil, ya que el éxito se obtiene excluyendo algunas órbitas "malas" e identificando otras con órbitas "buenas". En un desarrollo aparte, se ha rehabilitado el método simbólico de la teoría de invariantes , una notación combinatoria aparentemente heurística.

Una de las motivaciones fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con la geometría simpléctica y la topología equivariante, y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .

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