Complejo celular abstracto

En matemáticas, un complejo celular abstracto es un conjunto abstracto con topología de Alexandrov en el que a cada punto se le asigna un número entero no negativo, denominado dimensión . El complejo se llama «abstracto» porque sus puntos, llamados «celdas», no son subconjuntos de un espacio de Hausdorff, como ocurre en los complejos euclidianos y CW . Los complejos celulares abstractos desempeñan un papel importante en el análisis de imágenes y los gráficos por computadora .

La idea de complejos celulares abstractos ^{[ 1 ]} (también llamados complejos celulares abstractos) se relaciona con J. Listing (1862) ^{[ 2 ]} y E. Steinitz (1908). ^{[ 3 ]} También AW Tucker (1933), ^{[ 4 ]} K. Reidemeister (1938), ^{[ 5 ]} PS Aleksandrov (1956) ^{[ 6 ]} así como R. Klette y A. Rosenfeld (2004) ^{[ 7 ]} han descrito complejos celulares abstractos. E. Steinitz ha definido un complejo celular abstracto como${\displaystyle C=(E,B,dim)}$donde E es un conjunto abstracto , B es una relación binaria asimétrica, irreflexiva y transitiva llamada relación de acotación entre los elementos de E y dim es una función que asigna un entero no negativo a cada elemento de E de tal manera que si${\displaystyle B(a,b)}$, entonces${\displaystyle dim(a)<dim(b)}$V. Kovalevsky (1989) ^{[ 8 ]} describió complejos celulares abstractos para 3D y dimensiones superiores. También sugirió numerosas aplicaciones al análisis de imágenes. En su libro (2008) ^{[ 9 ]} propuso una teoría axiomática de espacios topológicos localmente finitos que son una generalización de los complejos celulares abstractos. El libro contiene nuevas definiciones de bolas y esferas topológicas independientes de la métrica , una nueva definición de variedades combinatorias y muchos algoritmos útiles para el análisis de imágenes.

La topología de los complejos celulares abstractos se basa en un orden parcial en el conjunto de sus puntos o celdas.

La noción de complejo celular abstracto definida por E. Steinitz está relacionada con la noción de complejo simplicial abstracto y se diferencia de este último por la propiedad de que sus elementos no son símplices : un elemento n -dimensional de un complejo abstracto no necesariamente tiene n + 1 lados cero-dimensionales, y no todos los subconjuntos del conjunto de lados cero-dimensionales de una celda son necesariamente una celda. Esto es importante ya que la noción de complejo celular abstracto puede aplicarse a las cuadrículas bidimensionales y tridimensionales utilizadas en el procesamiento de imágenes, lo cual no ocurre con los complejos simpliciales. Un complejo no simplicial es una generalización que posibilita la introducción de coordenadas celulares: existen complejos no simpliciales que son productos cartesianos de complejos unidimensionales "lineales" en los que cada celda cero-dimensional, salvo dos de ellas, delimita exactamente dos celdas unidimensionales. Solo estos complejos cartesianos permiten introducir coordenadas tales que cada celda tiene un conjunto de coordenadas y cualesquiera dos celdas diferentes tienen conjuntos de coordenadas diferentes. El conjunto de coordenadas puede servir como nombre para cada celda del complejo, lo cual es importante para el procesamiento de complejos.

Los complejos abstractos permiten la introducción de la topología clásica (topología de Alexandrov) en las cuadrículas que constituyen la base del procesamiento digital de imágenes. Esta posibilidad define la gran ventaja de los complejos celulares abstractos: permite definir con precisión las nociones de conectividad y del límite de los subconjuntos. La definición de la dimensión de las celdas y de los complejos es, en general, diferente de la de los complejos simpliciales (véase más adelante).

La noción de complejo celular abstracto difiere esencialmente de la de complejo CW porque un complejo celular abstracto no es de Hausdorff . Esto es importante desde el punto de vista de la informática, ya que es imposible representar explícitamente un espacio de Hausdorff no discreto en una computadora. (El entorno de cada punto en dicho espacio debe tener infinitos puntos).

El libro de V. Kovalevsky ^{[ 10 ]} contiene la descripción de la teoría de espacios localmente finitos , que son una generalización de complejos celulares abstractos. Un espacio localmente finito S es un conjunto de puntos donde se define un subconjunto de S para cada punto P de S. Este subconjunto, que contiene un número limitado de puntos, se denomina vecindario más pequeño de P. En el conjunto de puntos del espacio localmente finito S se define una relación de vecindad binaria : el elemento (punto) b está en la relación de vecindad con el elemento a si b pertenece al vecindario más pequeño del elemento a . Se han formulado nuevos axiomas de un espacio localmente finito, y se ha demostrado que el espacio S cumple con los axiomas solo si la relación de vecindad es antisimétrica y transitiva. La relación de vecindad es la envoltura reflexiva de la relación de acotación inversa. Se ha demostrado que los axiomas clásicos de la topología pueden deducirse como teoremas a partir de los nuevos axiomas. Por lo tanto, un espacio localmente finito que satisface los nuevos axiomas es un caso particular de un espacio topológico clásico. Su topología es una topología de poset o topología de Alexandrov . Un complejo celular abstracto es un caso particular de un espacio localmente finito en el que la dimensión se define para cada punto. Se demostró que la dimensión de una celda c de un complejo celular abstracto es igual a la longitud (número de celdas menos 1) del camino de delimitación máximo que va desde cualquier celda del complejo hasta la celda c . El camino de delimitación es una secuencia de celdas en la que cada celda delimita a la siguiente. El libro contiene la teoría de segmentos rectos digitales en complejos 2D, numerosos algoritmos para trazar límites en 2D y 3D, para codificar económicamente los límites y para reconstruir exactamente un subconjunto a partir del código de su límite. Utilizando los complejos celulares abstractos, se desarrollan y describen en el libro algoritmos eficientes para el trazado, la codificación y la poligonización de límites, así como para la detección de bordes ^{[ 11 ].}

Una imagen digital puede representarse mediante un Complejo Celular Abstracto (CCA) bidimensional, descomponiendo la imagen en sus constituyentes dimensionales del CCA: puntos (celda 0), grietas/bordes (celda 1) y píxeles/caras (celda 2).

Esta descomposición, junto con una regla de asignación de coordenadas para asignar inequívocamente las coordenadas de los píxeles de la imagen a sus componentes dimensionales, permite realizar ciertas operaciones de análisis de imagen con algoritmos sofisticados, como el trazado de límites de grietas , la subdivisión digital de segmentos rectos , etc. Una de estas reglas asigna los puntos, grietas y caras a la coordenada superior izquierda del píxel. Estos componentes dimensionales no requieren una traducción explícita a sus propias estructuras de datos, sino que pueden entenderse implícitamente y relacionarse con la matriz 2D, que es la representación habitual de la estructura de datos de una imagen digital. Esta regla de asignación de coordenadas y las representaciones de cada celda incidente en esta imagen se muestran en la imagen de la derecha.

• complejo simplicial
• Complejo cúbico