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Articulo de referencia

ecuación de Hamilton-Jacobi

En física, la ecuación de Hamilton-Jacobi , que recibe su nombre de William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi , es una formulación alternativa de la mecánica clásica , e...

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En física, la ecuación de Hamilton-Jacobi , que recibe su nombre de William Rowan Hamilton y Carl Gustav Jacob Jacobi , es una formulación alternativa de la mecánica clásica , equivalente a otras formulaciones como las leyes del movimiento de Newton , la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana .

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula puede representarse como una onda. En este sentido, cumplió un objetivo largamente anhelado por la física teórica (que se remonta al menos a Johann Bernoulli en el siglo XVIII): encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda que siguen los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger , como se describe más adelante; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera la aproximación más cercana de la mecánica clásica a la mecánica cuántica . [ 1 ] [ 2 ] La forma cualitativa de esta conexión se denomina analogía óptico-mecánica de Hamilton .

En matemáticas, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una condición necesaria que describe la geometría extremal en generalizaciones de problemas del cálculo de variaciones . Puede entenderse como un caso especial de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de la programación dinámica . [ 3 ]

Descripción general

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden.

−∂S∂t=H(q,∂S∂q,t).{\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}

para un sistema de partículas en coordenadas ⁠q{\displaystyle \mathbf {q} }⁠ . La funciónH{\displaystyle H}es el hamiltoniano del sistema que da la energía del sistema. La solución de esta ecuación es la acción , ⁠S{\displaystyle S}⁠ , llamada función principal de Hamilton . [ 4 ] : 291 La solución puede relacionarse con el lagrangiano del sistema L {\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }mediante una integral indefinida de la forma utilizada en el principio de mínima acción : [ 5 ] : 431 S=∫L dt+ sometromi doonortestanortet {\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t+~{\mathsf {alguna\ constante}}~} Las superficies geométricas de acción constante son perpendiculares a las trayectorias del sistema, creando una visión de la dinámica del sistema similar a un frente de onda. Esta propiedad de la ecuación de Hamilton-Jacobi conecta la mecánica clásica con la mecánica cuántica. [ 6 ] : 175

Formulación matemática

Notación

Variables en negrita comoq{\displaystyle \mathbf {q} }representan una lista denorte{\displaystyle N}coordenadas generalizadas , q=(q1,q2,…,qnorte−1,qnorte){\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}

Un punto sobre una variable o lista significa la derivada temporal (véase la notación de Newton ). Por ejemplo, q˙=dqdt.{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}

La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, como pag⋅q=∑k=1nortepagkqk.{\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}

La función de acción (también conocida como función principal de Hamilton)

Definición

Sea la matriz hessianaHL(q,q˙,t)={∂2L/∂q˙i∂q˙j}ij{\textstyle H_{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}ser invertible. La relación ddt∂L∂q˙i=∑j=1norte(∂2L∂q˙i∂q˙jq¨j+∂2L∂q˙i∂qjq˙j)+∂2L∂q˙i∂t,i=1,…,norte,{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,} muestra que las ecuaciones de Euler-Lagrange forman unanorte×norte{\displaystyle n\times n}Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Invirtiendo la matriz.HL{\displaystyle H_{\mathcal {L}}}transforma este sistema en q¨i=Fi(q,q˙,t), i=1,…,norte.{\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}

Deja un instante de tiempot0{\displaystyle t_{0}}y un puntoq0∈METRO{\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}en el espacio de configuración estar fijo. Los teoremas de existencia y unicidad garantizan que, para cadav0,{\displaystyle \mathbf {v} _{0},}el problema de valor inicial con las condicionesγ|τ=t0=q0{\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}yγ˙|τ=t0=v0{\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}tiene una solución única a nivel localγ=γ(τ;t0,q0,v0).{\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}Además, supongamos que existe un intervalo de tiempo suficientemente pequeño.(t0,t1){\displaystyle (t_{0},t_{1})}de tal manera que los extremos con diferentes velocidades inicialesv0{\displaystyle \mathbf {v} _{0}}no se cruzarían enMETRO×(t0,t1).{\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}Esto último significa que, para cualquierq∈METRO{\displaystyle \mathbf {q} \in M}y cualquiert∈(t0,t1),{\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}puede haber como máximo un extremoγ=γ(τ;t,t0,q,q0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}para quéγ|τ=t0=q0{\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}yγ|τ=t=q.{\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q}.}Sustituyendoγ=γ(τ;t,t0,q,q0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}en la acción funcional da como resultado la función principal de Hamilton (HPF)

S(q,t;q0,t0) =definición∫t0tL(γ(τ;⋅),γ˙(τ;⋅),τ)dτ,{\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau  ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,}

dónde

  • γ=γ(τ;t,t0,q,q0),{\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}
  • γ|τ=t0=q0,{\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}
  • γ|τ=t=q.{\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q}.}

Fórmula para el momento

Los momentos se definen como las cantidadespagi(q,q˙,t)=∂L/∂q˙i.{\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}Esta sección muestra que la dependencia depagi{\displaystyle p_{i}}enq˙{\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }desaparece una vez que se conoce el HPF.

En efecto, dejemos un instante de tiempot0{\displaystyle t_{0}}y un puntoq0{\displaystyle \mathbf {q} _{0}}en el espacio de configuración debe ser fijo. Para cada instante de tiempot{\displaystyle t}y un puntoq,{\displaystyle \mathbf {q} ,}dejarγ=γ(τ;t,t0,q,q0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}sea ​​el extremo (único) de la definición de la función principal de HamiltonS{\displaystyle S}Llamar​v=definiciónγ˙(τ;t,t0,q,q0)|τ=t{\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}la velocidad enτ=t{\displaystyle \tau =t}Entonces​

∂S∂qi=∂L∂q˙i|q˙=v,i=1,…,norte.{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.}

Prueba

Si bien la demostración que sigue supone que el espacio de configuración es un subconjunto abierto deRnorte,{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}La técnica subyacente se aplica igualmente a espacios arbitrarios . En el contexto de esta demostración, la letra caligráficaS{\displaystyle {\mathcal {S}}}denota la acción funcional y la cursivaS{\displaystyle S}La función principal del Hamilton.

Paso 1. Dejaξ=ξ(t){\displaystyle \xi =\xi (t)}ser una ruta en el espacio de configuración, yδξ=δξ(t){\displaystyle \delta \xi =\delta \xi (t)}un campo vectorial a lo largoξ{\displaystyle \xi }. (Para cada unot,{\displaystyle t,}el vectorδξ(t){\displaystyle \delta \xi (t)}se denomina perturbación , variación infinitesimal o desplazamiento virtual del sistema mecánico en el puntoξ(t){\displaystyle \xi (t)}). Recuerde que la variaciónδSδξ[γ,t1,t0]{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]}de la acciónS{\displaystyle {\mathcal {S}}}en ese puntoξ{\displaystyle \xi }en la direcciónδξ{\displaystyle \delta \xi }viene dado por la fórmula δSδξ[ξ,t1,t0]=∫t0t1(∂L∂q−ddt∂L∂q˙)δξdt+∂L∂q˙δξ|t0t1,{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},} donde uno debería sustituirqi=ξi(t){\displaystyle q^{i}=\xi ^{i}(t)}yq˙i=ξ˙i(t){\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}tras calcular las derivadas parciales del lado derecho. (Esta fórmula se deduce de la definición de derivada de Gateaux mediante integración por partes).

Supongamos queξ{\displaystyle \xi }es un extremo. Dado queξ{\displaystyle \xi }Ahora satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, el término integral se anula. Siξ{\displaystyle \xi }punto de partidaq0{\displaystyle \mathbf {q} _{0}}entonces queda fijado por la misma lógica que se utilizó para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange,δξ(t0)=0.{\displaystyle \delta \xi (t_{0})=0.}De este modo, δSδξ[ξ,t;t0]=∂L∂q˙|q˙=ξ˙(t)q=ξ(t)δξ(t).{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}

Paso 2. Dejaγ=γ(τ;q,q0,t,t0){\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} sea el extremo (único) de la definición de HPF,δγ=δγ(τ){\displaystyle \delta \gamma =\delta \gamma (\tau )}un campo vectorial a lo largoγ,{\displaystyle \gamma ,}yγε=γε(τ;qε,q0,t,t0){\displaystyle \gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} una variación deγ{\displaystyle \gamma }"compatible" conδγ.{\displaystyle \delta \gamma .}En términos precisos,γε|ε=0=γ,{\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,}γ˙ε|ε=0=δγ,{\displaystyle {\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,}γε|τ=t0=γ|τ=t0=q0.{\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.}

Por definición de HPF y derivada de Gateaux, δSδγ[γ,t]=definicióndS[γε,t]dε|ε=0=dS(γε(t),t)dε|ε=0=∂S∂qδγ(t).{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\mathcal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}

Aquí, tuvimos en cuenta queq=γ(t;q,q0,t,t0){\displaystyle \mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}y cayót0{\displaystyle t_{0}}para mayor compacidad.

Paso 3. Ahora sustituimosξ=γ{\displaystyle \xi =\gamma }yδξ=δγ{\displaystyle \delta \xi =\delta \gamma }en la expresión paraδSδξ[ξ,t;t0]{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]}desde el Paso 1 y compare el resultado con la fórmula derivada en el Paso 2. El hecho de que, parat>t0,{\displaystyle t>t_{0},}el campo vectorialδγ{\displaystyle \delta \gamma }fue elegido arbitrariamente completa la prueba.

Fórmula

Dado el hamiltonianoH(q,pag,t){\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}En el caso de un sistema mecánico, la ecuación de Hamilton-Jacobi es una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden para la función principal de Hamilton.S{\displaystyle S}, [ 7 ]

−∂S∂t=H(q,∂S∂q,t).{\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}

Derivación

Para un extremoξ=ξ(t;t0,q0,v0),{\displaystyle \xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),}dóndev0=ξ˙|t=t0{\displaystyle \mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}}es la velocidad inicial (véase la discusión que precede a la definición de HPF), L(ξ(t),ξ˙(t),t)=dS(ξ(t),t)dt=[∂S∂qq˙+∂S∂t]q˙=ξ˙(t)q=ξ(t).{\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}

De la fórmula parapagi=pagi(q,t){\displaystyle p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)}y la definición del hamiltoniano basada en coordenadas H(q,pag,t)=pagq˙−L(q,q˙,t),{\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),} conq˙(pag,q,t){\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}satisfaciendo el (únicamente resoluble paraq˙){\displaystyle \mathbf {\dot {q}} )}ecuaciónpag=∂L(q,q˙,t)∂q˙,{\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}obtener ∂S∂t=L(q,q˙,t)−∂S∂qq˙=−H(q,∂S∂q,t),{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)},} dóndeq=ξ(t){\displaystyle \mathbf {q} =\xi (t)}yq˙=ξ˙(t).{\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).}

Alternativamente, como se describe a continuación, la ecuación de Hamilton-Jacobi puede derivarse de la mecánica hamiltoniana tratandoS{\displaystyle S}como la función generadora para una transformación canónica del hamiltoniano clásico H=H(q1,q2,…,qnorte;pag1,pag2,…,pagnorte;t).{\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}

Los momentos conjugados corresponden a las primeras derivadas deS{\displaystyle S}con respecto a las coordenadas generalizadas pagk=∂S∂qk.{\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}

Como solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, la función principal contienenorte+1{\displaystyle N+1}constantes indeterminadas, la primeranorte{\displaystyle N}de ellos denotados comoα1,α2,…,αnorte{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}y el último proveniente de la integración de∂S∂t{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}.

La relación entrepag{\displaystyle \mathbf {p} }yq{\displaystyle \mathbf {q} }Luego describe la órbita en el espacio de fases en términos de estas constantes de movimiento . Además, las cantidades βk=∂S∂αk,k=1,2,…,norte{\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N} También son constantes de movimiento, y estas ecuaciones se pueden invertir para encontrarq{\displaystyle \mathbf {q} }como función de todos losα{\displaystyle \alpha }yβ{\displaystyle \beta }constantes y tiempo. [ 8 ]

Comparación con otras formulaciones de la mecánica

La ecuación de Hamilton-Jacobi es una única ecuación diferencial parcial de primer orden para la función de lanorte{\displaystyle N}coordenadas generalizadasq1,q2,…,qnorte{\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}y el tiempot{\displaystyle t}. Los momentos generalizados no aparecen, excepto como derivadas deS{\displaystyle S}, la acción clásica .

En comparación, en las ecuaciones de movimiento equivalentes de Euler-Lagrange de la mecánica lagrangiana , los momentos conjugados tampoco aparecen; sin embargo, esas ecuaciones son un sistema denorte{\displaystyle N}, generalmente ecuaciones de segundo orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. De manera similar, las ecuaciones de movimiento de Hamilton son otro sistema de 2 N ecuaciones de primer orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados.pag1,pag2,…,pagnorte{\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}.

Dado que la ecuación de Hamilton-Jacobi (EHH) es una expresión equivalente de un problema de minimización integral como el principio de Hamilton , puede ser útil en otros problemas del cálculo de variaciones y, más generalmente, en otras ramas de las matemáticas y la física , como los sistemas dinámicos , la geometría simpléctica y el caos cuántico . Por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi pueden utilizarse para determinar las geodésicas en una variedad riemanniana , un importante problema variacional en la geometría riemanniana . Sin embargo, como herramienta computacional, las ecuaciones diferenciales parciales son notoriamente complicadas de resolver, excepto cuando es posible separar las variables independientes; en este caso, la EHH resulta computacionalmente útil. [ 5 ] : 444

Derivación mediante una transformación canónica

Cualquier transformación canónica que involucre una función generadora de tipo 2.GRAMO2(q,PAG,t){\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}conduce a las relaciones pag=∂GRAMO2∂q,Q=∂GRAMO2∂PAG,K(Q,PAG,t)=H(q,pag,t)+∂GRAMO2∂t{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }},\quad \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }},\quad \\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}} y las ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variablesPAG,Q{\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }y nuevo hamiltonianoK{\displaystyle K}tienen la misma forma: PAG˙=−∂K∂Q,Q˙=+∂K∂PAG.{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}

Para derivar la HJE, una función generadoraGRAMO2(q,PAG,t){\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}se elige de tal manera que hará el nuevo hamiltonianoK=0{\displaystyle K=0}Por lo tanto, todas sus derivadas también son cero, y las ecuaciones de Hamilton transformadas se vuelven triviales. PAG˙=Q˙=0{\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0} por lo tanto, las nuevas coordenadas generalizadas y los momentos son constantes de movimiento . Como son constantes, en este contexto los nuevos momentos generalizadosPAG{\displaystyle \mathbf {P} }suelen denotarseα1,α2,…,αnorte{\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}, es decirPAGmetro=αmetro{\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}y las nuevas coordenadas generalizadasQ{\displaystyle \mathbf {Q} }se suelen denotar comoβ1,β2,…,βnorte{\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}, entoncesQmetro=βmetro{\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}.

Igualar la función generadora a la función principal de Hamilton, más una constante arbitraria.A{\displaystyle A}: GRAMO2(q,α,t)=S(q,t)+A,{\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,} El HJE surge automáticamente pag=∂GRAMO2∂q=∂S∂q→H(q,pag,t)+∂GRAMO2∂t=0→H(q,∂S∂q,t)+∂S∂t=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\\[1ex]\rightarrow {}&H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\\[1ex]\rightarrow {}&H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}+{\partial S \over \partial t}=0.\end{aligned}}}

Cuando se resuelve paraS(q,α,t){\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}, estas también nos dan las ecuaciones útiles Q=β=∂S∂α,{\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},} o escrito en componentes para mayor claridad Qmetro=βmetro=∂S(q,α,t)∂αmetro.{\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}

Idealmente, estas N ecuaciones se pueden invertir para encontrar las coordenadas generalizadas originales.q{\displaystyle \mathbf {q} }en función de las constantesα,β,{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}yt{\displaystyle t}, resolviendo así el problema original.

Separación de variables

Cuando el problema permite la separación aditiva de variables , la ecuación de Holt-Jeghers conduce directamente a constantes de movimiento . Por ejemplo, el tiempo t puede separarse si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. En ese caso, la derivada temporal∂S∂t{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}en la HJE debe ser una constante, generalmente denotada (−mi{\displaystyle -E}), dando como resultado la solución separada S=W(q1,q2,…,qnorte)−mit{\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et} donde la función independiente del tiempoW(q){\displaystyle W(\mathbf {q} )}a veces se la llama acción abreviada o función característica de Hamilton [ 5 ] : 434 y a veces [ 9 ] : 607 escritaS0{\displaystyle S_{0}}(ver nombres de principios de acción ). La ecuación reducida de Hamilton-Jacobi se puede escribir entonces H(q,∂S∂q)=mi.{\displaystyle H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)}=E.}

Para ilustrar la separabilidad para otras variables, se utiliza una coordenada generalizada determinada.qk{\displaystyle q_{k}}y su derivado∂S∂qk{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}se supone que aparecen juntos como una sola función ψ(qk,∂S∂qk){\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}} en el hamiltoniano H=H(q1,q2,…,qk−1,qk+1,…,qnorte;pag1,pag2,…,pagk−1,pagk+1,…,pagnorte;ψ;t).{\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}

En ese caso, la función S puede dividirse en dos funciones, una que depende solo de q k y otra que depende solo de las coordenadas generalizadas restantes.S=Sk(qk)+Smovimiento rápido del ojo(q1,…,qk−1,qk+1,…,qnorte,t).{\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}

La sustitución de estas fórmulas en la ecuación de Hamilton-Jacobi muestra que la función ψ debe ser una constante (denotada aquí comoΓk{\displaystyle \Gamma _{k}}), lo que da como resultado una ecuación diferencial ordinaria de primer orden paraSk(qk),{\displaystyle S_{k}(q_{k}),}

ψ(qk,dSkdqk)=Γk.{\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)}=\Gamma _{k}.}

En casos afortunados, la funciónS{\displaystyle S}se puede separar completamente ennorte{\displaystyle N}funcionesSmetro(qmetro),{\displaystyle S_{m}(q_{m}),}S=S1(q1)+S2(q2)+⋯+Snorte(qnorte)−mit.{\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}

En tal caso, el problema se reduce anorte{\displaystyle N}ecuaciones diferenciales ordinarias .

La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la elección de coordenadas generalizadas . Para coordenadas ortogonales y hamiltonianos que no tienen dependencia temporal y son cuadráticos en los momentos generalizados,S{\displaystyle S}Será completamente separable si la energía potencial es aditivamente separable en cada coordenada, donde el término de energía potencial para cada coordenada se multiplica por el factor dependiente de la coordenada en el término de momento correspondiente del hamiltoniano (las condiciones de Staeckel ). A modo de ilustración, en las siguientes secciones se trabajan varios ejemplos en coordenadas ortogonales .

Separación en coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas, el hamiltoniano de una partícula libre que se mueve en un potencial conservativo U se puede escribir [ 10 ] : 151H=12metro[pagr2+pagθ2r2+pagϕ2r2pecado2⁡θ]+U(r,θ,ϕ).{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}

La ecuación de Hamilton-Jacobi es separable en estas coordenadas siempre que existan funcionesUr(r),Uθ(θ),Uϕ(ϕ){\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}de tal manera queU{\displaystyle U}puede escribirse de forma análoga U(r,θ,ϕ)=Ur(r)+Uθ(θ)r2+Uϕ(ϕ)r2pecado2⁡θ.{\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}

El último término tiene pocas aplicaciones físicas. Al eliminar ese término, el HJE se convierte en 12metro(dSrdr)2+Ur(r)+12metror2[(dSθdθ)2+2metroUθ(θ)]+12metror2pecado2⁡θ(dSϕdϕ)2=mi.{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}=E.} Elϕ{\displaystyle \phi }La coordenada es cíclica [ 10 ] : 150 y la solución se puede escribir en la forma S0=pagϕ+Sr(r)+Sθ(θ),{\displaystyle S_{0}=p_{\phi }+S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta ),} lo que da como resultado dos ecuaciones diferenciales ordinarias para las coordenadas restantes: (dSθdθ)2+2metroUθ(θ)+pagϕpecado2⁡θ=Γθ{\displaystyle \left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )+{\frac {p_{\phi }}{\sin ^{2}\theta }}=\Gamma _{\theta }}12metro(dSrdr)2+Ur(r)+Γθ2metror2=mi{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E} dóndepagϕ{\displaystyle p_{\phi }},Γθ{\displaystyle \Gamma _{\theta }}, ymi{\displaystyle E}son constantes del movimiento . Esto reduce la ecuación de Holt-Jeghers a las ecuaciones diferenciales ordinarias cuya integración completa la solución paraS{\displaystyle S}.

Ondas y partículas

Frentes de onda y trayectorias ópticas

El HJE establece una dualidad entre trayectorias y frentes de onda . [ 11 ] Por ejemplo, en óptica geométrica, la luz puede considerarse como "rayos" u ondas. El frente de onda puede definirse como la superficiedot{\textstyle {\mathcal {C}}_{t}}que la luz emitida en el tiempot=0{\textstyle t=0}ha llegado en el momentot{\textstyle t}Los rayos de luz y los frentes de onda son duales: si se conoce uno, se puede deducir el otro.

Más precisamente, la óptica geométrica es un problema variacional donde la "acción" es el tiempo de viaje.T{\textstyle T}a lo largo de un sendero,T=1do∫ABnorteds{\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}dóndenorte{\textstyle n}es el índice de refracción del medio yds{\textstyle ds}es una longitud de arco infinitesimal. A partir de la formulación anterior, se pueden calcular las trayectorias de los rayos utilizando la formulación de Euler-Lagrange; alternativamente, se pueden calcular los frentes de onda resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi. Conociendo una, se conoce la otra.

La dualidad anterior es muy general y se aplica a todos los sistemas que se derivan de un principio variacional: ya sea calculando las trayectorias mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange o los frentes de onda mediante la ecuación de Hamilton-Jacobi.

El frente de onda en ese momentot{\textstyle t}, para un sistema inicialmente enq0{\textstyle \mathbf {q} _{0}}en ese momentot0{\textstyle t_{0}}, se define como la colección de puntosq{\textstyle \mathbf {q} }de tal manera queS(q,t)=constante{\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}. SiS(q,t){\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}Si se conoce el momento, este se deduce inmediatamente. pag=∂S∂q.{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}

Una vezpag{\textstyle \mathbf {p} }es conocido, tangentes a las trayectoriasq˙{\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}se calculan resolviendo la ecuación∂L∂q˙=pag{\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}paraq˙{\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}, dóndeL{\textstyle {\mathcal {L}}}es el lagrangiano. Las trayectorias se recuperan a partir del conocimiento deq˙{\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}.

Relación con la ecuación de Schrödinger

Las isosuperficies de la funciónS(q,t){\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}puede determinarse en cualquier momento t . El movimiento de unS{\displaystyle S}-La isosuperficie en función del tiempo se define por los movimientos de las partículas que comienzan en los puntosq{\displaystyle \mathbf {q} }en la isosuperficie. El movimiento de dicha isosuperficie puede pensarse como una onda que se mueve a través de ella.q{\displaystyle \mathbf {q} }-espacio, aunque no obedece exactamente la ecuación de onda . Para demostrar esto, sea S la fase de una onda. ψ=ψ0miiS/ℏ{\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }} dóndeℏ{\displaystyle \hbar }es una constante (la constante de Planck ) introducida para hacer que el argumento exponencial sea adimensional, yψ0{\displaystyle \psi _{0}}es una constante de normalización escalar; los cambios en la amplitud de la onda se pueden representar mediante tenerS{\displaystyle S}ser un número complejo .

La ecuación de Schrödinger es  :ℏ22metro∇2ψ−Uψ=ℏi∂ψ∂t{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}

Comenzando con la ecuación de Schrödinger y nuestro ansatz paraψ{\displaystyle \psi }, se puede deducir que [ 12 ]12metro(∇S)2+U+∂S∂t=iℏ2metro∇2S.{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}S.}Esta es la ecuación de Schrödinger en forma de Riccati no lineal [ 13 ] .

El límite clásico (ℏ→0{\displaystyle \hbar \rightarrow 0}) de la ecuación de Schrödinger anterior se vuelve idéntica a la siguiente variante de la ecuación de Hamilton-Jacobi, 12metro(∇S)2+U+∂S∂t=0.{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}

La siguiente tabla resume las similitudes entre la óptica y la mecánica cuántica. La ecuación de Hamilton-Jacobi es a la mecánica cuántica lo que la ecuación de eikonal es a la ecuación de onda de la óptica . Tanto la ecuación de eikonal como la de Hamilton-Jacobi son aproximaciones de variación lenta ( aproximaciones WKB ) de las ecuaciones de onda más fundamentales correspondientes.

Óptica∇2ψ−1do2(incógnita)∂2ψ∂t2=0{\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}(x)}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0}Ecuación de onda electromagnética ↓ −norte(∂tS)2do2+(∇S)2norte+(metrodo)2=0{\displaystyle -{\frac {n(\partial _{t}S)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\nabla S)^{2}}{n}}+(mc)^{2}=0}Ecuación eikonal dependiente del tiempo ↓ |∇S(incógnita)|2=norte2(incógnita){\displaystyle |\nabla S(x)|^{2}=n^{2}(x)}ecuación de Eikonal

Mecánica cuánticaiℏ∂ψ∂t=H^ψ{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi }Ecuación de Schrödinger ↓ ∂tS+H(incógnita,∇S,t)=0{\displaystyle \partial _{t}S+H(x,\nabla S,t)=0}ecuación de Hamilton-Jacobi

Aplicaciones

HJE en un campo gravitatorio

Utilizando la relación energía-momento en la forma [ 14 ]gramoαβPAGαPAGβ−(metrodo)2=0{\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0} para una partícula de masa en reposometro{\displaystyle m}viajando en el espacio curvo, dondegramoαβ{\displaystyle g^{\alpha \beta }}son las coordenadas contravariantes del tensor métrico (es decir, la métrica inversa ) resueltas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein ydo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz . Establecer el cuadrimomentoPAGα{\displaystyle P_{\alpha }}igual al cuadrigradiente de la acciónS{\displaystyle S}, PAGα=−∂S∂incógnitaα{\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}} proporciona la ecuación de Hamilton-Jacobi en la geometría determinada por la métricagramo{\displaystyle g}: gramoαβ∂S∂incógnitaα∂S∂incógnitaβ−(metrodo)2=0,{\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,} En otras palabras, en un campo gravitatorio .

HJE en campos electromagnéticos

Para una partícula de masa en reposometro{\displaystyle m}y carga eléctricami{\displaystyle e} moverse en un campo electromagnético con cuatro potencialesAi=(ϕ,A){\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}en el vacío, la ecuación de Hamilton-Jacobi en geometría determinada por el tensor métricogramoik=gramoik{\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}tiene una forma gramoik(∂S∂incógnitai+midoAi)(∂S∂incógnitak+midoAk)=metro2do2{\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}} y se puede resolver para la función de acción principal de HamiltonS{\displaystyle S}para obtener una solución adicional para la trayectoria y el momento de la partícula: [ 15 ]incógnita=−midoγ∫Azdξ,y=−midoγ∫Aydξ,z=−mi22do2γ2∫(A2−A2¯)dξ,ξ=dot−mi22γ2do2∫(A2−A2¯)dξ,pagincógnita=−midoAincógnita,pagy=−midoAy,pagz=mi22γdo(A2−A2¯),mi=doγ+mi22γdo(A2−A2¯),{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,&y&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,\\[1ex]z&=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,&\xi &=ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {e}{c}}A_{x},&p_{y}&=-{\frac {e}{c}}A_{y},\\[1ex]p_{z}&={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),&{\mathcal {E}}&=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),\end{aligned}}} dóndeξ=dot−z{\displaystyle \xi =ct-z}yγ2=metro2do2+mi2do2A¯2{\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}conA¯{\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}el promedio cíclico del potencial vectorial.

Una onda polarizada circularmente

En el caso de polarización circular , miincógnita=mi0pecado⁡ωξ1,miy=mi0porque⁡ωξ1,Aincógnita=domi0ωporque⁡ωξ1,Ay=−domi0ωpecado⁡ωξ1.{\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{0}\sin \omega \xi _{1},&E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]A_{x}&={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.\end{aligned}}}

Por eso incógnita=−midomi0ωpecado⁡ωξ1,y=−midomi0ωporque⁡ωξ1,pagincógnita=−mimi0ωporque⁡ωξ1,pagy=mimi0ωpecado⁡ωξ1,{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},&y&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&p_{y}&={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}}

dóndeξ1=ξ/do{\displaystyle \xi _{1}=\xi /c}, lo que implica que la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular con un radio permanente.midomi0/γω2{\displaystyle ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}}y un valor invariable del momentomimi0/ω2{\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}dirigido a lo largo de un vector de campo magnético.

Una onda plana monocromática polarizada linealmente

Para la onda plana, monocromática y polarizada linealmente con un campomi{\displaystyle E}dirigido a lo largo del ejey{\displaystyle y}miy=mi0porque⁡ωξ1,Ay=−domi0ωpecado⁡ωξ1,{\displaystyle {\begin{aligned}E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}} por eso incógnita=constante,y=y0porque⁡ωξ1,y0=−midomi0γω2,z=dozy0pecado⁡2ωξ1,doz=mimi08γω,γ2=metro2do2+mi2mi022ω2,{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{const}},\\[1ex]y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},\\[1ex]z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\\[1ex]\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},\end{aligned}}}pagincógnita=0,pagy=pagy,0pecado⁡ωξ1,pagy,0=mimi0ω,pagz=−2dozpagy,0porque⁡2ωξ1{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\[1ex]p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {eE_{0}}{\omega }},\\[1ex]p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}\end{aligned}}}

lo que implica que la trayectoria de la partícula es en forma de ocho, con su eje orientado a lo largo del campo eléctrico.mi{\displaystyle E}vector.

Una onda electromagnética con un campo magnético solenoidal.

Para la onda electromagnética con campo magnético axial (solenoidal): [ 16 ]mi=miϕ=ωρ0doB0porque⁡ωξ1,{\displaystyle E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},}Aϕ=−ρ0B0pecado⁡ωξ1=−Lsπρ0nortesI0pecado⁡ωξ1,{\displaystyle A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},} por eso incógnita=constante,y=y0porque⁡ωξ1,y0=−miρ0B0γω,z=dozy0pecado⁡2ωξ1,doz=miρ0B08doγ,γ2=metro2do2+mi2ρ02B022do2,{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{constant}},\\y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},\\z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},\\\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},\end{aligned}}}pagincógnita=0,pagy=pagy,0pecado⁡ωξ1,pagy,0=miρ0B0do,pagz=−2dozpagy,0porque⁡2ωξ1,{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},\\p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},\end{aligned}}} dóndeB0{\displaystyle B_{0}}es la magnitud del campo magnético en un solenoide con radio efectivoρ0{\displaystyle \rho _{0}}inductanciaLs{\displaystyle L_{s}}, número de vueltasnortes{\displaystyle N_{s}}y una magnitud de corriente eléctricaI0{\displaystyle I_{0}}a través de los devanados del solenoide. El movimiento de la partícula ocurre a lo largo de la trayectoria en forma de ocho enyz{\displaystyle yz}plano perpendicular al eje del solenoide con ángulo azimutal arbitrarioφ{\displaystyle \varphi }debido a la simetría axial del campo magnético solenoidal.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

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  • Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Mecánica . Ámsterdam: Elsevier.
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  • Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "La historia temprana de la dinámica Hamilton-Jacobi". Centauro . 44 ( 3– 4): 161– 227. doi : 10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x . PMID 17357243 .