Función de activación

La función de activación es un formalismo matemático que se utiliza para aproximar la influencia de un campo extracelular sobre un axón o neuronas . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} Fue desarrollada por Frank Rattay y es una herramienta útil para aproximar la influencia de la estimulación eléctrica funcional (FES) o las técnicas de neuromodulación sobre las neuronas objetivo. ^{[ 7 ]} Señala ubicaciones de alta hiperpolarización y despolarización causadas por el campo eléctrico que actúa sobre la fibra nerviosa. Como regla general, la función de activación es proporcional a la derivada espacial de segundo orden del potencial extracelular a lo largo del axón.

En un modelo de compartimentos de un axón, la función activadora del compartimento n,${\displaystyle f_{n}}$, se deriva del término impulsor del potencial externo, o de la corriente inyectada equivalente

${\displaystyle f_{n}=1/c\left({\frac {V_{n-1}^{e}-V_{n}^{e}}{R_{n-1}/2+R_{n}/2}}+{\frac {V_{n+1}^{e}-V_{n}^{e}}{R_{n+1}/2+R_{n}/2}}+...\right)}$,

dónde${\displaystyle c}$es la capacidad de la membrana,${\displaystyle V_{n}^{e}}$el voltaje extracelular fuera del compartimento${\displaystyle n}$en relación con el suelo y${\displaystyle R_{n}}$la resistencia axonal del compartimento${\displaystyle n}$.

La función de activación representa la tasa de cambio del potencial de membrana si la neurona se encuentra en estado de reposo antes de la estimulación. Sus dimensiones físicas son V/s o mV/ms. En otras palabras, representa la pendiente del voltaje de membrana al inicio de la estimulación . ^{[ 8 ]}

Siguiendo las simplificaciones de McNeal ^{[ 9 ]} para fibras largas de una membrana internodal ideal, asumiendo que tanto la capacidad de la membrana como la conductancia son 0, la ecuación diferencial que determina el potencial de membrana${\displaystyle V^{m}}$para cada nodo es:

${\displaystyle {\frac {dV_{n}^{m}}{dt}}=\left[-i_{ion,n}+{\frac {d\Delta x}{4\rho _{i}L}}\cdot \left({\frac {V_{n-1}^{m}-2V_{n}^{m}+V_{n+1}^{m}}{\Delta x^{2}}}+{\frac {V_{n-1}^{e}-2V_{n}^{e}+V_{n+1}^{e}}{\Delta x^{2}}}\right)\right]/c}$,

dónde${\displaystyle d}$es el diámetro constante de la fibra,${\displaystyle \Delta x}$la distancia entre nodos,${\displaystyle L}$la longitud del nodo${\displaystyle \rho _{i}}$la resistividad axoplasmática,${\displaystyle c}$la capacidad y${\displaystyle i_{ion}}$las corrientes iónicas. A partir de esto, la función de activación se deduce de la siguiente manera:

${\displaystyle f_{n}={\frac {d\Delta x}{4\rho _{i}Lc}}{\frac {V_{n-1}^{e}-2V_{n}^{e}+V_{n+1}^{e}}{\Delta x^{2}}}}$.

En este caso, la función activadora es proporcional a la diferencia espacial de segundo orden del potencial extracelular a lo largo de las fibras. Si${\displaystyle L=\Delta x}$y${\displaystyle \Delta x\to 0}$entonces:

${\displaystyle f={\frac {d}{4\rho _{i}c}}\cdot {\frac {\delta ^{2}V^{e}}{\delta x^{2}}}}$.

De este modo${\displaystyle f}$es proporcional al diferencial espacial de segundo orden a lo largo de la fibra.

Valores positivos de${\displaystyle f}$Los valores positivos sugieren una despolarización del potencial de membrana y los valores negativos una hiperpolarización del potencial de membrana.