Transformación activa y pasiva

En la transformación activa (izquierda), un punto $P$ se transforma en un punto $P'$ mediante una rotación en sentido horario un ángulo $θ$ alrededor del origen de un sistema de coordenadas fijo. En la transformación pasiva (derecha), el punto $P$ permanece fijo, mientras que el sistema de coordenadas gira en sentido antihorario un ángulo $θ$ alrededor de su origen. Las coordenadas de $P'$ después de la transformación activa, con respecto al sistema de coordenadas original, son las mismas que las coordenadas de $P$ con respecto al sistema de coordenadas rotado.

Las transformaciones geométricas se pueden distinguir en dos tipos: transformaciones activas o de coartada , que cambian la posición física de un conjunto de puntos con respecto a un marco de referencia o sistema de coordenadas fijo ( coartada significa "estar en otro lugar al mismo tiempo"); y transformaciones pasivas o de alias , que dejan los puntos fijos pero cambian el marco de referencia o sistema de coordenadas con respecto al cual se describen ( alias significa "pasar a un nombre diferente"). ^[¹^]^[²^]

Por ejemplo, las transformaciones activas son útiles para describir posiciones sucesivas de un cuerpo rígido . Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en el análisis del movimiento humano para observar el movimiento de la tibia con respecto al fémur , es decir, su movimiento con respecto a un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un sistema de coordenadas ( global ) que está fijo al suelo. ^{[ 2 ]}

En el espacio euclidiano tridimensional , cualquier transformación rígida propia , ya sea activa o pasiva, puede representarse como un desplazamiento helicoidal , que es la composición de una traslación a lo largo de un eje y una rotación alrededor de ese eje.

Los términos transformación activa y transformación pasiva fueron introducidos por primera vez en 1957 por Valentine Bargmann para describir las transformaciones de Lorentz en la relatividad especial . ^{[ 3 ]}

Ejemplo

Como ejemplo, sea el vector $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}$ Sea un vector en el plano. Una rotación del vector un ángulo θ en sentido antihorario viene dada por la matriz de rotación : $R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},$ que puede considerarse como una transformación activa o una transformación pasiva (donde la matriz anterior se invertirá ), como se describe a continuación.

Transformaciones espaciales en el espacio euclidiano ^R³

En general, una transformación espacial $T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ puede constar de una traslación y una transformación lineal. En lo que sigue, se omitirá la traslación y la transformación lineal se representará mediante una matriz de 3×3. $T$ .

Transformación activa

Como una transformación activa, $T$ transforma el vector inicial $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ en un nuevo vector $\mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})$ .

Si uno ve $\{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf {e} '_{z}=T(0,0,1)\}$ como una nueva base , entonces las coordenadas del nuevo vector $\mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} '_{z}$ en la nueva base son los mismos que los de $\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}$ en la base original. Nótese que las transformaciones activas tienen sentido incluso como una transformación lineal a un espacio vectorial diferente . Solo tiene sentido escribir el nuevo vector en la base sin prima (como se indicó anteriormente) cuando la transformación es del espacio en sí mismo.

Transformación pasiva

Por otro lado, cuando uno ve $T$ como transformación pasiva, el vector inicial $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})$ permanece sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se transforman en la dirección opuesta, es decir, con la transformación inversa. $T^{-1}$ . ^{[ 4 ]} Esto da como resultado un nuevo sistema de coordenadas XYZ con vectores base: $\mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)$

Las nuevas coordenadas $(v_{X},v_{Y},v_{Z})$ de $\mathbf {v}$ Con respecto al nuevo sistema de coordenadas XYZ, se dan las siguientes expresiones: $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{X}\mathbf {e} _{X}+v_{Y}\mathbf {e} _{Y}+v_{Z}\mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(v_{X},v_{Y},v_{Z}).$

De esta ecuación se observa que las nuevas coordenadas vienen dadas por $(v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z}).$

Como una transformación pasiva $T$ transforma las coordenadas antiguas en las nuevas.

Nótese la equivalencia entre los dos tipos de transformaciones: las coordenadas del nuevo punto en la transformación activa y las nuevas coordenadas del punto en la transformación pasiva son las mismas, a saber: $(v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z}).$

En espacios vectoriales abstractos

La distinción entre transformaciones activas y pasivas se puede observar matemáticamente al considerar espacios vectoriales abstractos .

Fijar un espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $K$ (considerado como $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$ ), y una base ${\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}$ de $V$ Esta base proporciona un isomorfismo $C:K^{n}\rightarrow V$ a través del mapa de componentes ${\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}$ .

Una transformación activa es entonces un endomorfismo en $V$ , es decir, un mapeo lineal desde $V$ a sí mismo. Tomar tal transformación $\tau \in {\text{End}}(V)$ , un vector $v\in V$ se transforma como $v\mapsto \tau v$ . Los componentes de $\tau$ con respecto a la base ${\mathcal {B}}$ se definen mediante la ecuación ${\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}}$ . Luego, los componentes de $v$ transformar como $v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}$ .

Una transformación pasiva es en cambio un endomorfismo en $K^{n}$ Esto se aplica a los componentes: $v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}$ . Siempre que $T$ es invertible, la nueva base ${\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}$ se determina preguntando que $v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}$ , de donde proviene la expresión $e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}$ puede derivarse.

Aunque los espacios ${\text{End}}(V)$ y ${\text{End}}({K^{n}})$ son isomorfos, pero no son canónicamente isomorfos. Sin embargo, una elección de base ${\mathcal {B}}$ permite la construcción de un isomorfismo.

Como acciones de izquierda y derecha

A menudo uno se restringe al caso en que los mapas son invertibles, de modo que las transformaciones activas son el grupo lineal general. ${\text{GL}}(V)$ de transformaciones mientras que las transformaciones pasivas son el grupo ${\text{GL}}(n,K)$ .

Las transformaciones pueden entenderse entonces como actuando sobre el espacio de bases para $V$ Una transformación activa $\tau \in {\text{GL}}(V)$ envía la base $\{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}$ Mientras tanto, una transformación pasiva $T\in {\text{GL}}(n,K)$ envía la base ${\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}$ .

La inversa en la transformación pasiva asegura que los componentes se transformen de forma idéntica bajo $\tau$ y $T$ Esto establece una clara distinción entre transformaciones activas y pasivas: las transformaciones activas actúan desde la izquierda sobre las bases, mientras que las transformaciones pasivas actúan desde la derecha, debido a la inversa.

Esta observación se vuelve más natural al observar las bases ${\mathcal {B}}$ como una elección de isomorfismo $\Phi _{\mathcal {B}}:K^{n}\rightarrow V$ . El espacio de bases es equivalentemente el espacio de tales isomorfismos, denotado ${\text{Iso}}(K^{n},V)$ . Transformaciones activas, identificadas con ${\text{GL}}(V)$ , actuar sobre ${\text{Iso}}(K^{n},V)$ desde la izquierda por composición, es decir si $\tau$ representa una transformación activa, tenemos $\Phi _{\mathcal {B'}}=\tau \circ \Phi _{\mathcal {B}}$ Por el contrario, las transformaciones pasivas, identificadas con ${\text{GL}}(n,K)$ actúa en ${\text{Iso}}(K^{n},V)$ desde la derecha por precomposición, es decir si $T$ representa una transformación pasiva, tenemos $\Phi _{\mathcal {B''}}=\Phi _{\mathcal {B}}\circ T$ .

Esto convierte el espacio de bases en un espacio izquierdo ${\text{GL}}(V)$ - torso y un derecho ${\text{GL}}(n,K)$ -torsor.

Desde una perspectiva física, las transformaciones activas pueden caracterizarse como transformaciones del espacio físico, mientras que las transformaciones pasivas se caracterizan como redundancias en la descripción del espacio físico. Esto juega un papel importante en la teoría matemática de gauge , donde las transformaciones de gauge se describen matemáticamente mediante mapas de transición que actúan desde la derecha sobre las fibras.

Véase también

Referencias

↑ Crampin, M.; Pirani, FAE (1986). Geometría diferencial aplicable . Cambridge University Press. pág. 22. ISBN 978-0-521-23190-9.
1 2 Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). "§4.4.1 La interpretación activa y la transformación activa" . Robots y teoría de tornillos: aplicaciones de la cinemática y la estática a la robótica . Oxford University Press. pág. 74 y ss . ISBN 0-19-856245-4.
↑ Bargmann, Valentine (1957). "Relatividad". Reviews of Modern Physics . 29 (2): 161– 174. Bibcode : 1957RvMP...29..161B . doi : 10.1103/RevModPhys.29.161 .
↑ Amidror, Isaac (2007). «Apéndice D: Observación D.12» . La teoría del fenómeno de Moiré: capas aperiódicas . Springer. pág. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0.