Fijación del calibre

En la física de las teorías de gauge , la fijación de gauge (también llamada elección de gauge ) denota un procedimiento matemático para lidiar con grados de libertad redundantes en las variables de campo . Por definición, una teoría de gauge representa cada configuración físicamente distinta del sistema como una clase de equivalencia de configuraciones de campo locales detalladas. Dos configuraciones detalladas cualesquiera en la misma clase de equivalencia están relacionadas por una cierta transformación, equivalente a una cizalladura a lo largo de ejes no físicos en el espacio de configuración. La mayoría de las predicciones físicas cuantitativas de una teoría de gauge solo pueden obtenerse bajo una prescripción coherente para suprimir o ignorar estos grados de libertad no físicos.

Aunque los ejes no físicos en el espacio de configuraciones detalladas son una propiedad fundamental del modelo físico, no existe un conjunto especial de direcciones "perpendiculares" a ellos. Por lo tanto, existe una enorme libertad al tomar una "sección transversal" que represente cada configuración física mediante una configuración detallada particular (o incluso una distribución ponderada de ellas). La fijación de calibre juiciosa puede simplificar enormemente los cálculos, pero se vuelve progresivamente más difícil a medida que el modelo físico se vuelve más realista; su aplicación a la teoría cuántica de campos está plagada de complicaciones relacionadas con la renormalización , especialmente cuando el cálculo se extiende a órdenes superiores . Históricamente, la búsqueda de procedimientos de fijación de calibre lógicamente consistentes y computacionalmente manejables, y los esfuerzos por demostrar su equivalencia frente a una desconcertante variedad de dificultades técnicas, han sido un motor importante de la física matemática desde finales del siglo XIX hasta la actualidad.

La teoría de gauge arquetípica es la formulación de Heaviside - Gibbs de la electrodinámica del continuo en términos de un cuadripotencial electromagnético , que se presenta aquí en notación asimétrica espacio-temporal de Heaviside. El campo eléctrico E y el campo magnético B de las ecuaciones de Maxwell contienen solo grados de libertad "físicos", en el sentido de que cada grado de libertad matemático en una configuración de campo electromagnético tiene un efecto medible por separado sobre los movimientos de las cargas de prueba en las proximidades. Estas variables de "intensidad de campo" pueden expresarse en términos del potencial escalar eléctrico.${\displaystyle \varphi }$y el potencial vectorial magnético A a través de las relaciones: $${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

Si la transformación

se realiza, entonces B permanece sin cambios, ya que (con la identidad${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$) $${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

Sin embargo, esta transformación cambia E según $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.}$$

Si hay otro cambio

Si se realiza , E también permanece igual. Por lo tanto, los campos E y B no cambian si se toma cualquier función ψ ( r , t ) y simultáneamente se transforman A y φ mediante las transformaciones ( 1 ) y ( 2 ).

Una elección particular de los potenciales escalar y vectorial constituye una gauge (más precisamente, un potencial de gauge ), y una función escalar ψ utilizada para cambiar la gauge se denomina función de gauge . La existencia de un número arbitrario de funciones de gauge ψ ( r , t ) corresponde a la libertad de gauge U(1) de esta teoría. La fijación de gauge puede realizarse de diversas maneras, algunas de las cuales se muestran a continuación.

Aunque ahora se suele hablar del electromagnetismo clásico como una teoría de gauge, no fue concebido originalmente en estos términos. El movimiento de una carga puntual clásica se ve afectado únicamente por las intensidades de los campos eléctrico y magnético en ese punto, y los potenciales pueden tratarse como un mero recurso matemático para simplificar algunas demostraciones y cálculos. No fue hasta la llegada de la teoría cuántica de campos que se pudo afirmar que los potenciales mismos forman parte de la configuración física de un sistema. La primera consecuencia que se predijo con precisión y se verificó experimentalmente fue el efecto Aharonov-Bohm , que no tiene contraparte clásica. Sin embargo, la libertad de gauge sigue siendo válida en estas teorías. Por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm depende de una integral de línea de A alrededor de un bucle cerrado, y esta integral no se modifica por $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

La fijación de calibre en teorías de calibre no abelianas , como la teoría de Yang-Mills y la relatividad general , es un tema bastante más complicado; para más detalles, véase la ambigüedad de Gribov , el fantasma de Faddeev-Popov y el fibrado de marcos .

Una ilustración

Como ejemplo de fijación de calibre, se puede observar una varilla cilíndrica e intentar determinar si está torsionada. Si la varilla es perfectamente cilíndrica, la simetría circular de su sección transversal hace imposible determinar si está torsionada o no. Sin embargo, si se traza una línea recta a lo largo de la varilla, se podría determinar fácilmente si hay torsión observando el estado de la línea. Trazar una línea es una fijación de calibre . Trazar la línea altera la simetría de calibre, es decir, la simetría circular U(1) de la sección transversal en cada punto de la varilla. La línea es el equivalente a una función de calibre ; no tiene por qué ser recta. Casi cualquier línea es una fijación de calibre válida, es decir, existe una gran libertad de calibre . En resumen, para determinar si la varilla está torsionada, se debe conocer el calibre. Las magnitudes físicas, como la energía de torsión, no dependen del calibre, es decir, son invariantes de calibre .

El calibre de Coulomb (también conocido como calibre transversal ^{[ 1 ]} o calibre de radiación ^{[ 2 ]} ) se utiliza en química cuántica y física de la materia condensada y se define por la condición de calibre (más precisamente, condición de fijación de calibre). $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

Resulta particularmente útil para cálculos "semicásicos" en mecánica cuántica, en los que el potencial vectorial está cuantizado pero la interacción de Coulomb no lo está.

El calibre de Coulomb tiene varias propiedades:

El calibre de Lorenz se expresa, en unidades del SI , mediante:$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$ y en unidades gaussianas por: $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

Esto puede reescribirse como: $${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$ dónde${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$es el cuadripotencial electromagnético , ∂ _μ el 4-gradiente [usando la signatura métrica (+, −, −, −)].

Es único entre los calibres de restricción por conservar la invariancia de Lorentz manifiesta . Cabe señalar, sin embargo, que este calibre recibió originalmente el nombre del físico danés Ludvig Lorenz y no el de Hendrik Lorentz ; a menudo se escribe erróneamente como "calibre de Lorentz". (Ninguno de los dos fue el primero en usarlo en cálculos; fue introducido en 1888 por George Francis FitzGerald ).

El calibre de Lorenz conduce a las siguientes ecuaciones de onda no homogéneas para los potenciales: $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

De estas ecuaciones se puede observar que, en ausencia de corriente y carga, las soluciones son potenciales que se propagan a la velocidad de la luz.

La gauge de Lorenz es incompleta en cierto sentido: queda un subespacio de transformaciones de gauge que también pueden preservar la restricción. Estos grados de libertad restantes corresponden a funciones de gauge que satisfacen la ecuación de onda.$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

Estos grados de libertad de calibre restantes se propagan a la velocidad de la luz. Para obtener un calibre completamente fijo, es necesario añadir condiciones de contorno a lo largo del cono de luz de la región experimental.

Las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz se simplifican a $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$ dónde${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$es la corriente de cuatro vías .

Dos soluciones de estas ecuaciones para la misma configuración de corriente difieren en una solución de la ecuación de onda del vacío. $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$ En esta forma queda claro que los componentes del potencial satisfacen por separado la ecuación de Klein-Gordon , y por lo tanto que la condición de calibre de Lorenz permite ondas polarizadas transversalmente, longitudinalmente y de tipo temporal en el cuadripotencial. Las polarizaciones transversales corresponden a la radiación clásica, es decir, ondas polarizadas transversalmente en la intensidad del campo. Para suprimir los estados de polarización longitudinal y de tipo temporal "no físicos", que no se observan en experimentos a escalas de distancia clásicas, también se deben emplear restricciones auxiliares conocidas como identidades de Ward . Clásicamente, estas identidades son equivalentes a la ecuación de continuidad.$${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

Muchas de las diferencias entre la electrodinámica clásica y la cuántica pueden explicarse por el papel que desempeñan las polarizaciones longitudinales y temporales en las interacciones entre partículas cargadas a distancias microscópicas.

Los calibres R _ξ son una generalización del calibre de Lorenz aplicable a teorías expresadas en términos de un principio de acción con densidad lagrangiana.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$En lugar de fijar la gauge restringiendo el campo de gauge a priori , mediante una ecuación auxiliar, se añade un término de ruptura de gauge al lagrangiano "físico" (invariante de gauge). $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

La elección del parámetro ξ determina la elección del calibre. El calibre R _ξ Landau es clásicamente equivalente al calibre de Lorenz: se obtiene en el límite ξ  →  0, pero pospone la toma de ese límite hasta después de que la teoría haya sido cuantizada. Mejora el rigor de ciertas pruebas de existencia y equivalencia. La mayoría de los cálculos de teoría cuántica de campos son más sencillos en el calibre de Feynman-'t Hooft , en el que ξ = 1 ; algunos son más manejables en otros calibres R _ξ , como el calibre de Yennie ξ = 3 (llamado así en honor a Donald R. Yennie ).

Una formulación equivalente del calibre R _ξ utiliza un campo auxiliar , un campo escalar B sin dinámica independiente: $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

El campo auxiliar, a veces llamado campo de Nakanishi-Lautrup , puede eliminarse completando el cuadrado para obtener la forma anterior. Desde una perspectiva matemática, el campo auxiliar es una variedad del bosón de Goldstone , y su uso presenta ventajas al identificar los estados asintóticos de la teoría, y especialmente al generalizar más allá de la electrodinámica cuántica (QED).

Históricamente, el uso de calibres R _ξ fue un avance técnico significativo para extender los cálculos de electrodinámica cuántica más allá del orden de un bucle . Además de conservar la invariancia de Lorentz manifiesta , la prescripción R _ξ rompe la simetría bajo transformaciones de calibre locales , preservando al mismo tiempo la razón de medidas funcionales de dos configuraciones de calibre físicamente distintas . Esto permite un cambio de variables en el que las perturbaciones infinitesimales a lo largo de direcciones "físicas" en el espacio de configuración están completamente desacopladas de aquellas a lo largo de direcciones "no físicas", lo que permite que estas últimas se absorban en la normalización físicamente sin sentido de la integral funcional . Cuando ξ es finito, cada configuración física (órbita del grupo de transformaciones de calibre) se representa no por una única solución de una ecuación de restricción, sino por una distribución gaussiana centrada en el extremo del término de ruptura de calibre. En términos de las reglas de Feynman de la teoría de calibre fijo, esto aparece como una contribución al propagador de fotones para líneas internas de fotones virtuales de polarización no física .

El propagador de fotones, que es el factor multiplicativo correspondiente a un fotón interno en la expansión del diagrama de Feynman de un cálculo de QED, contiene un factor g _μν correspondiente a la métrica de Minkowski . Una expansión de este factor como una suma sobre polarizaciones de fotones involucra términos que contienen las cuatro polarizaciones posibles. La radiación polarizada transversalmente puede expresarse matemáticamente como una suma sobre una base polarizada lineal o circularmente . De manera similar, se pueden combinar las polarizaciones de gauge longitudinal y temporal para obtener polarizaciones "hacia adelante" y "hacia atrás"; estas son una forma de coordenadas del cono de luz en la que la métrica está fuera de la diagonal. Una expansión del factor g _μν en términos de polarización circular (espín ±1) y coordenadas del cono de luz se denomina suma de espín . Las sumas de espín pueden ser muy útiles tanto para simplificar expresiones como para obtener una comprensión física de los efectos experimentales asociados con diferentes términos en un cálculo teórico.

Richard Feynman empleó argumentos similares, en gran medida, para justificar procedimientos de cálculo que producían resultados consistentes, finitos y de alta precisión para parámetros observables importantes, como el momento magnético anómalo del electrón. Si bien sus argumentos a veces carecían de rigor matemático incluso para los estándares de los físicos y pasaban por alto detalles como la derivación de las identidades de Ward-Takahashi de la teoría cuántica, sus cálculos funcionaron, y Freeman Dyson pronto demostró que su método era sustancialmente equivalente a los de Julian Schwinger y Sin-Itiro Tomonaga , con quienes Feynman compartió el Premio Nobel de Física de 1965 .

La radiación polarizada hacia adelante y hacia atrás puede omitirse en los estados asintóticos de una teoría cuántica de campos (véase la identidad de Ward-Takahashi ). Por esta razón, y porque su aparición en sumas de espín puede verse como un mero recurso matemático en QED (al igual que el cuadripotencial electromagnético en la electrodinámica clásica), a menudo se habla de ellas como "no físicas". Pero a diferencia de los procedimientos de fijación de calibre basados ​​en restricciones mencionados anteriormente, el calibre R _ξ se generaliza bien a grupos de calibre no abelianos como el SU(3) de QCD . Los acoplamientos entre ejes de perturbación físicos y no físicos no desaparecen por completo bajo el cambio de variables correspondiente; para obtener resultados correctos, se debe tener en cuenta el jacobiano no trivial de la incrustación de ejes de libertad de calibre dentro del espacio de configuraciones detalladas. Esto lleva a la aparición explícita de bosones de calibre polarizados hacia adelante y hacia atrás en diagramas de Feynman, junto con fantasmas de Faddeev-Popov , que son aún más "no físicos" ya que violan el teorema de espín-estadística . La relación entre estas entidades, y las razones por las que no aparecen como partículas en el sentido de la mecánica cuántica, se hace más evidente en el formalismo de cuantización BRST .

En cualquier teoría de gauge no abeliana , cualquier gauge abeliana maximal es un gauge incompleto que fija la libertad de gauge fuera del subgrupo abeliano maximal . Ejemplos de ello son:

• Para la teoría de gauge SU(2) en D dimensiones, el subgrupo abeliano maximal es un subgrupo U(1). Si se elige este como el generado por la matriz de Pauli σ ₃ , entonces el gauge abeliano maximal es aquel que maximiza la función$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$dónde$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• Para la teoría de gauge SU(3) en D dimensiones, el subgrupo abeliano maximal es un subgrupo U(1)×U(1). Si se elige que este sea el generado por las matrices de Gell-Mann λ ₃ y λ ₈ , entonces el gauge abeliano maximal es aquel que maximiza la función$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$dónde$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

Esto se aplica regularmente en álgebras superiores (de grupos en las álgebras), por ejemplo el álgebra de Clifford y como es habitual.

En la literatura han aparecido otros indicadores que pueden resultar beneficiosos en situaciones específicas. ^{[ 1 ]}

• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007). La teoría clásica de los cuerpos . Ámsterdam: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9.
• Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica (3.ª  ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.