modelo acíclico

Lo anterior es una de las versiones más antiguas del teorema. Otra versión es la que dice que si${\displaystyle K}$es un complejo de proyectivos en una categoría abeliana y${\displaystyle L}$es un complejo acíclico en esa categoría, entonces cualquier mapa${\ Displaystyle K_ {0} \ a L_ {0}}$se extiende a un mapa de cadena${\displaystyle K\to L}$, único salvo homotopía.

Esto se reduce casi por completo al teorema anterior si se utiliza la categoría de funtores.${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$como la categoría abeliana. Los functores libres son objetos proyectivos en esa categoría. Los morfismos en la categoría de functores son transformaciones naturales, por lo que los mapas de cadena construidos y las homotopías son todos naturales. La diferencia es que en la versión anterior,${\displaystyle V}$La suposición de ser acíclico es más fuerte que la de ser acíclico solo en ciertos objetos.

Por otro lado, la versión anterior casi implica esta versión al dejar${\displaystyle {\mathcal {K}}}$una categoría con un solo objeto. Entonces el functor libre${\displaystyle F}$Es básicamente un módulo gratuito (y por lo tanto proyectivo).${\displaystyle V}$Ser acíclico en los modelos (solo hay uno) no significa otra cosa que el complejo${\displaystyle V}$es acíclico.

Existe un gran teorema que unifica ambos puntos anteriores. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Sea${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ser una categoría abeliana (por ejemplo,${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)}$o${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$). Una clase${\displaystyle \Gamma }$de complejos de cadena sobre${\displaystyle {\mathcal {A}}}$Se considerará una clase acíclica siempre que:

• El complejo 0 está en${\displaystyle \Gamma }$.
• El complejo${\displaystyle C}$pertenece a${\displaystyle \Gamma }$si y solo si la suspensión de${\displaystyle C}$hace.
• Si los complejos${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$son homotópicos y${\displaystyle K\in \Gamma }$, entonces${\displaystyle L\in \Gamma }$.
• Cada complejo en${\displaystyle \Gamma }$es acíclico.
• Si${\displaystyle D}$es un complejo doble, cuyas filas están todas en${\displaystyle \Gamma }$, entonces el complejo total de${\displaystyle D}$pertenece a${\displaystyle \Gamma }$.

Existen tres ejemplos naturales de clases acíclicas, aunque sin duda existen otros. El primero es el de los complejos homotópicamente contraíbles. El segundo es el de los complejos acíclicos. En las categorías de funtores (por ejemplo, la categoría de todos los funtores de espacios topológicos a grupos abelianos), existe una clase de complejos que son contraíbles en cada objeto, pero donde las contracciones podrían no estar dadas por transformaciones naturales. Otro ejemplo también se encuentra en las categorías de funtores, pero en este caso los complejos son acíclicos solo en ciertos objetos.

Dejar${\displaystyle \Sigma }$denotamos la clase de mapas de cadena entre complejos cuyo cono de mapeo pertenece a${\displaystyle \Gamma }$. A pesar de${\displaystyle \Sigma }$No necesariamente posee un cálculo de fracciones derechas o izquierdas, sino propiedades más débiles de tener clases de homotopía de fracciones izquierdas y derechas que permiten formar la clase.${\displaystyle \Sigma ^{-1}C}$obtenido invirtiendo las flechas en${\displaystyle \Sigma }$. ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle G}$ser un endofunctor aumentado en${\displaystyle C}$, lo que significa que se da una transformación natural ${\displaystyle \epsilon :G\to Id}$(el functor identidad en${\displaystyle C}$Decimos que el complejo de cadena${\displaystyle K}$es${\displaystyle G}$- presentable si para cada${\displaystyle n}$, el complejo de cadena

${\displaystyle \cdots K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}\to \cdots \to K_{n}}$

pertenece a${\displaystyle \Gamma }$El operador de frontera viene dado por

${\displaystyle \sum (-1)^{i}K_{n}G^{i}\epsilon G^{mi}:K_{n}G^{m+1}\to K_{n}G^{m}}$.

Decimos que el functor complejo de cadena${\displaystyle L}$es${\displaystyle G}$- acíclico si el complejo de cadena aumentada ${\displaystyle L\to H_{0}(L)\to 0}$pertenece a${\displaystyle \Gamma }$.

Teorema . Sea${\displaystyle \Gamma }$ser una clase acíclica y${\displaystyle \Sigma }$la clase correspondiente de flechas en la categoría de complejos de cadena. Supongamos que${\displaystyle K}$es${\displaystyle G}$-presentable y${\displaystyle L}$es${\displaystyle G}$-acíclico. Entonces cualquier transformación natural${\displaystyle f_{0}:H_{0}(K)\to H_{0}(L)}$se extiende, en la categoría${\displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$a una transformación natural de functores de cadena${\displaystyle f:K\to L}$y esto es único en${\displaystyle \Sigma ^{-1}(C)}$hasta homotopías de cadena. Si suponemos, además, que${\displaystyle L}$es${\displaystyle G}$-presentable, eso${\displaystyle K}$es${\displaystyle G}$-acíclico, y que${\displaystyle f_{0}}$es un isomorfismo, entonces${\displaystyle f}$es equivalencia homotópica.