espacio acíclico

En matemáticas , un espacio acíclico es un espacio topológico no vacío X en el que los ciclos son siempre fronteras, en el sentido de la teoría de homología . Esto implica que los grupos de homología integrales en todas las dimensiones de X son isomorfos a los grupos de homología correspondientes de un punto.

En otras palabras, utilizando la idea de homología reducida ,

${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)=0,\quad \forall i\geq -1.}$

Es común considerar dicho espacio como un espacio no vacío sin "agujeros"; por ejemplo, un círculo o una esfera no son acíclicos, pero un disco o una bola sí lo son. Sin embargo, esta condición es más débil que pedir que todo bucle cerrado en el espacio delimite un disco en el espacio; todo lo que pedimos es que cualquier bucle cerrado —y su análogo de dimensiones superiores— delimite algo como una "superficie bidimensional". La condición de aciclicidad en un espacio X implica, por ejemplo, para espacios agradables —digamos , complejos simpliciales— que cualquier aplicación continua de X al círculo o a las esferas superiores es homotópica nula .

Si un espacio X es contraíble , entonces también es acíclico, debido a la invariancia homotópica de la homología. Lo contrario no es cierto, en general. Sin embargo, si X es un complejo CW acíclico y si el grupo fundamental de X es trivial, entonces X es un espacio contraíble , como se deduce del teorema de Whitehead y del teorema de Hurewicz .

Los espacios acíclicos aparecen en topología , donde pueden utilizarse para construir otros espacios topológicos más interesantes.

Por ejemplo, si se elimina un solo punto de una variedad M que es una esfera de homología , se obtiene un espacio de este tipo. Los grupos de homotopía de un espacio acíclico X no se anulan en general, porque el grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X)}$No tiene por qué ser trivial. Por ejemplo, la esfera de homología de Poincaré perforada es una variedad tridimensional acíclica que no es contraíble.

Esto proporciona un repertorio de ejemplos, ya que el primer grupo de homología es la abelianización del grupo fundamental. A cada grupo perfecto G se le puede asociar un espacio acíclico (canónico, terminal), cuyo grupo fundamental es una extensión central del grupo G dado .

Los grupos de homotopía de estos espacios acíclicos asociados están estrechamente relacionados con la construcción plus de Quillen en el espacio clasificador BG .

Un grupo acíclico es un grupo G cuyo espacio clasificador BG es acíclico; en otras palabras, todos sus grupos de homología (reducidos) se desvanecen, es decir,${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(G;\mathbf {Z} )=0}$, para todos${\displaystyle i\geq 0}$Todo grupo acíclico es, por lo tanto, un grupo perfecto , lo que significa que su primer grupo de homología se anula:${\displaystyle H_{1}(G;\mathbf {Z} )=0}$y, de hecho, un grupo superperfecto , lo que significa que los dos primeros grupos de homología desaparecen:${\displaystyle H_{1}(G;\mathbf {Z} )=H_{2}(G;\mathbf {Z} )=0}$Lo contrario no es cierto: el grupo icosaédrico binario es superperfecto (por lo tanto perfecto) pero no acíclico.

• Espacio asférico

• Dror, Emmanuel (1972), "Espacios acíclicos", Topología , 11 (4): 339– 348, doi : 10.1016/0040-9383(72)90030-4 , MR 0315713 
• Dror, Emmanuel (1973), "Esferas homológicas", Israel Journal of Mathematics , 15 (2): 115– 129, doi : 10.1007/BF02764597 , MR 0328926 
• Berrick, A. Jon; Hillman, Jonathan A. (2003), "Subgrupos perfectos y acíclicos de grupos finitamente presentables", Journal of the London Mathematical Society , 68 (3): 683– 698, doi : 10.1112/S0024610703004587 , MR 2009444 , S2CID 30232002  

• "Grupos acíclicos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]