Teorema de la adición

En matemáticas , un teorema de adición es una fórmula como la de la función exponencial :

e ^{x + y} = e ^x · e ^y ,

que expresa, para una función particular f , f ( x + y ) en términos de f ( x ) y f ( y ). Un poco más general, como es el caso con las funciones trigonométricas seno y coseno , pueden estar involucradas varias funciones; esto es más aparente que real, en ese caso, ya que coseno es una función algebraica de seno (en otras palabras, generalmente tomamos sus funciones tal como están definidas en el círculo unitario ).

El alcance de la idea de un teorema de adición fue explorado completamente en el siglo XIX, impulsado por el descubrimiento del teorema de adición para funciones elípticas . Para "clasificar" los teoremas de adición es necesario imponer alguna restricción sobre el tipo de función G admitida, de tal manera que

F ( x + y ) = G ( F ( x ), F ( y )).

En esta identidad se puede suponer que F y G son funciones vectoriales (tienen varias componentes). Un teorema de adición algebraica es aquel en el que G puede considerarse un vector de polinomios en algún conjunto de variables. La conclusión de los matemáticos de la época fue que la teoría de las funciones abelianas prácticamente agotaba las posibilidades interesantes: considerada como una ecuación funcional que se resuelve con polinomios, o incluso con funciones racionales o algebraicas , no existían otros tipos de solución.

En un lenguaje más contemporáneo, esto aparece como parte de la teoría de grupos algebraicos , que trata sobre grupos conmutativos . Los ejemplos de variedades conexas y proyectivas se agotan efectivamente con las funciones abelianas, como lo demuestran varios resultados que caracterizan una variedad abeliana mediante condiciones bastante débiles sobre su ley de grupo. Se sabe que las llamadas funciones cuasi-abelianas provienen de extensiones de variedades abelianas mediante variedades de grupos afines conmutativos. Por lo tanto, se puede decir que las antiguas conclusiones sobre el alcance de los teoremas de adición algebraica global siguen vigentes. Un aspecto más moderno es la teoría de grupos formales .

• Cronología de las variedades abelianas
• Teorema de adición para armónicos esféricos
• Teorema de Mordell-Weil

• "Teoremas de adición en la teoría de funciones especiales" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]