Criterios formales para functores adjuntos

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas, los criterios formales para los functores adjuntos son criterios para la existencia de un adjunto izquierdo o derecho de un functor dado .

Un criterio es el siguiente, que apareció por primera vez en el libro de Peter J. Freyd de 1964, Abelian Categories, ^{[ 1 ]} an Introduction to the Theory of Functors :

Teorema del funtor adjunto de Freyd ^{[ 2 ]} — Sea $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$ sea un functor entre categorías tal que ${\mathcal {B}}$ está completo. Entonces, los siguientes son equivalentes (para simplificar, ignorando las cuestiones de teoría de conjuntos):

G tiene un adjunto izquierdo.
$G$ conserva todos los límites y se satisface la siguiente condición del conjunto de soluciones : para cada objeto x en ${\mathcal {A}}$ , existe un conjunto I y una familia de morfismos indexados por I. $f_{i}:x\to Gy_{i}$ de tal manera que cada morfismo $x\to Gy$ es de la forma $G(y_{i}\to y)\circ f_{i}$ para algún morfismo $y_{i}\to y$ .

Otro criterio es:

Criterio de Kan para la existencia de un adjunto izquierdo — Sea $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}$ Sea un functor entre categorías. Entonces, las siguientes son equivalentes.

G tiene un adjunto izquierdo.
G conserva los límites y, para cada objeto x en ${\mathcal {A}}$ , el límite $\lim({(x\downarrow G)\to {\mathcal {B}}})$ existe en ${\mathcal {B}}$ . ^{[ 3 ]}
La extensión Kan derecha $G_{!}1_{\mathcal {B}}$ del functor identidad $1_{\mathcal {B}}$ a lo largo de G existe y es preservado por G. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Además, cuando esto ocurre, se puede calcular un adjunto izquierdo de G utilizando la extensión derecha de Kan . ^{[ 3 ]}

Véase también

Anafunctor

Referencias

^ Freyd 2003 , Capítulo 3. (págs. 84–)
↑ Mac Lane 2013 , Cap. V, § 6, Teorema 2.
1 2 Mac Lane 2013 , Cap. X, § 1, Teorema 2.
↑ Mac Lane 2013 , Cap. X, § 7, Teorema 2.
↑ Kelly 1982 , Teorema 4.81
↑ Medvedev 1975 , pág. 675

Bibliografía

Mac Lane, Saunders (17 de abril de 2013). Categorías para el matemático profesional . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-4721-8.
Borceux, Francisco (1994). "Funtores adjuntos". Manual de álgebra categórica . págs. 96–131 . doi : 10.1017/CBO9780511525858.005 . ISBN 978-0-521-44178-0.
Leinster, Tom (2014). Teoría básica de categorías . arXiv : 1612.09375 . doi : 10.1017/CBO9781107360068 . ISBN 978-1-107-04424-1.
Freyd, Peter (2003). "Categorías abelianas" (PDF) . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de las categorías (3): 23–164 .
Kelly, Gregory Maxwell (1982). Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecidas (PDF) . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 64. Cambridge University Press, Cambridge-Nueva York. ISBN 0-521-28702-2MR 0651714 .
Ulmer, Friedrich (1971). "El teorema del funtor adjunto y la incrustación de Yoneda". Revista de Matemáticas de Illinois . 15 (3). doi : 10.1215/ijm/1256052605 .
Medvédev, M. Ya. (1975). "Functores semiadjuntos y extensiones Kan". Revista de Matemáticas de Siberia . 15 (4): 674– 676. doi : 10.1007/BF00967444 .
Feferman, Solomon ; Kreisel, G. (1969). «Fundamentos conjuntistas de la teoría de categorías». Informes del Seminario de Categorías del Medio Oeste III . Notas de clase en matemáticas. Vol. 106. págs. 201–247 . doi : 10.1007/BFb0059148 . ISBN 978-3-540-04625-7.
Lane, Saunders Mac (1969). «Fundamentos para categorías y conjuntos». Teoría de categorías, teoría de homología y sus aplicaciones II . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 92. pp. 146–164 . doi : 10.1007/BFb0080770 . ISBN 978-3-540-04611-0.
Paré, Robert; Schumacher, Dietmar (1978). «Familias abstractas y teoremas del functor adjunto, cap. IV Los teoremas del functor adjunto». Indexed Categories and Their Applications . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 661. pp. 1–125 . doi : 10.1007/BFb0061361 . ISBN 978-3-540-08914-8.

Lecturas adicionales

Fausk, H.; Hu, P.; May, JP (2003). "Isomorfismos entre adjuntos izquierdos y derechos" . Theory and Applications of Categories . 11 : 107–131 . arXiv : math/0206079 . doi : 10.70930/tac/1z9nxv9i .
Nguyen, Hoang Kim; Raptis, George; Schrade, Christoph (abril de 2020). "Teoremas de funtores adjuntos para ∞-categorías". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 101 (2): 659–681 . arXiv : 1803.01664 . doi : 10.1112/jlms.12282 .
Arkor, Nathanael; Liberti, Ivan Di; Loregian y Fosco (5 de junio de 2024). "Teoremas de funtores adjuntos para pseudomónadas laxas-idempotentes". Theory and Applications of Categories . 41 (20): 667– 685. doi : 10.70930/tac/o35ik5j5 .
Street, Ross; Walters, Robert (febrero de 1978). "Estructuras de Yoneda en 2-categorías". Journal of Algebra . 50 (2): 350– 379. doi : 10.1016/0021-8693(78)90160-6 .
Lurie, Jacob (2009). "5.5.2 Funtores representables y el teorema del funtor adjunto". Teoría de topos superiores . Princeton University Press. arXiv : math/0608040 . ISBN 978-0-691-14048-3.
https://topology.lmf.cnrs.fr/powerdomains-and-hyperspaces-v-more-theories/

Enlaces externos

Porst, Hans-E. (2023). "La historia del teorema general del functor adjunto". arXiv : 2310.19528 [ math.CT ].
Lehner, Marina (mayo de 2014). "Todos los conceptos son extensiones de Kan": Las extensiones de Kan como la más universal de las construcciones universales (PDF) (tesis de licenciatura). Harvard College.
"teorema del funtor adjunto" . ncatlab.org .
Jean Goubault-Larrecq. "Teoremas de funtores adjuntos: GAFT y SAFT" . Topología no Hausdorff y teoría de dominios: suplementos electrónicos del libro .
"Condición del conjunto de soluciones" . ncatlab.org .

[1] Freyd 2003 , Capítulo 3. (págs. 84–)

[2] Mac Lane 2013 , Cap. V, § 6, Teorema 2.

[Kan-3] 1 2 Mac Lane 2013 , Cap. X, § 1, Teorema 2.

[4] Mac Lane 2013 , Cap. X, § 7, Teorema 2.

[5] Kelly 1982 , Teorema 4.81

[6] Medvedev 1975 , pág. 675

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