modelo de estructura temporal afín

Un modelo de estructura temporal afín es un modelo financiero que relaciona los precios de los bonos cupón cero (es decir, la curva de descuento) con un modelo de tipo de interés al contado . Resulta particularmente útil para derivar la curva de rendimiento , el proceso de determinar los parámetros de entrada del modelo de tipo de interés al contado a partir de datos observables del mercado de bonos . La clase afín de modelos de estructura temporal implica la conveniente forma en que los precios logarítmicos de los bonos son funciones lineales del tipo de interés al contado ^{[ 1 ]} (y potencialmente de variables de estado adicionales).

Fondo

Comience con un modelo estocástico de tasa a corto plazo. $r(t)$ con dinámica:

dr(t)=\mu (t,r(t))\,dt+\sigma (t,r(t))\,dW(t)

y un bono cupón cero libre de riesgo que vence en el momento $T$ con precio $P(t,T)$ en ese momento $t$ El precio de un bono cupón cero viene dado por: $P(t,T)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }\left\{\exp \left[-\int _{t}^{T}r(t')dt'\right]\right\}$ dónde $T=t+\tau$ , con $\tau$ es el vencimiento del bono. La expectativa se toma con respecto a la medida de probabilidad neutral al riesgo. $\mathbb {Q}$ . Si el precio del bono tiene la forma:

P(t,T)=e^{A(t,T)-rB(t,T)}

dónde $A$ y $B$ Si son funciones deterministas, entonces se dice que el modelo de tasa a corto plazo tiene una estructura de plazos afín . El rendimiento de un bono con vencimiento $\tau$ , denotado por $y(t,\tau )$ , viene dado por: $y(t,\tau )=-{1 \over {\tau }}\log P(t,\tau )$

Fórmula de Feynman-Kac

Por el momento, aún no hemos descubierto cómo calcular explícitamente el precio del bono; sin embargo, la definición del precio del bono implica un vínculo con la fórmula de Feynman-Kac , lo que sugiere que el precio del bono puede modelarse explícitamente mediante una ecuación diferencial parcial . Suponiendo que el precio del bono es una función de $x\in \mathbb {R} ^{n}$ Los factores latentes conducen a la EDP: $-{\partial P \over {\partial \tau }}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}{\partial P \over {\partial x_{i}}}+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}-rP=0,\quad P(0,x)=1$ dónde $\Omega$ es la matriz de covarianza de los factores latentes donde los factores latentes están impulsados por una ecuación diferencial estocástica de Ito en la medida neutral al riesgo: $dx=\mu ^{\mathbb {Q} }dt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} },\quad \Omega =\Sigma \Sigma ^{T}$ Supongamos una solución para el precio del bono de la forma: $P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right],\quad A(0)=B_{i}(0)=0$ Los derivados del precio del bono con respecto al vencimiento y a cada factor latente son: ${\begin{aligned}{\partial P \over {\partial \tau }}&=\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]P\\{\partial P \over {\partial x_{i}}}&=B_{i}(\tau )P\\{\partial ^{2}P \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}&=B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )P\\\end{aligned}}$ Con estas derivadas, la EDP se puede reducir a una serie de ecuaciones diferenciales ordinarias: $-\left[A'(\tau )+x^{T}B'(\tau )\right]+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}B_{i}(\tau )+{1 \over {2}}\sum _{i,j=1}^{n}\Omega _{ij}B_{i}(\tau )B_{j}(\tau )-r=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0$ Para calcular una solución analítica se requieren especificaciones adicionales.

Existencia

Utilizando la fórmula de Ito podemos determinar las restricciones en $\mu$ y $\sigma$ lo que dará como resultado una estructura de términos afín. Suponiendo que el enlace tiene una estructura de términos afín y $P$ Si satisface la ecuación de estructura temporal , obtenemos:

A_{t}(t,T)-(1+B_{t}(t,T))r-\mu (t,r)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(t,r)B^{2}(t,T)=0

El valor límite

P(T,T)=1

implica

{\begin{aligned}A(T,T)&=0\\B(T,T)&=0\end{aligned}}

A continuación, supongamos que $\mu$ y $\sigma ^{2}$ son afines en $r$ :

{\begin{aligned}\mu (t,r)&=\alpha (t)r+\beta (t)\\\sigma (t,r)&={\sqrt {\gamma (t)r+\delta (t)}}\end{aligned}}

La ecuación diferencial se convierte entonces en:

A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)-\left[1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)\right]r=0

Porque esta fórmula debe cumplirse para todos $r$ , $t$ , $T$ , el coeficiente de $r$ debe ser igual a cero.

1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)=0

Entonces, el otro término también debe desaparecer.

A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)=0

Entonces, suponiendo $\mu$ y $\sigma ^{2}$ son afines en $r$ , el modelo tiene una estructura de términos afín donde $A$ y $B$ Satisfacer el sistema de ecuaciones:

{\begin{aligned}1+B_{t}(t,T)+\alpha (t)B(t,T)-{\frac {1}{2}}\gamma (t)B^{2}(t,T)&=0\\B(T,T)&=0\\A_{t}(t,T)-\beta (t)B(t,T)+{\frac {1}{2}}\delta (t)B^{2}(t,T)&=0\\A(T,T)&=0\end{aligned}}

Modelos con ATS

Vasicek

El modelo Vasicek $dr=(b-ar)\,dt+\sigma \,dW$ tiene una estructura de términos afín donde

{\begin{aligned}p(t,T)&=e^{A(t,T)-B(t,T)r(t)}\\B(t,T)&={\frac {1}{a}}\left(1-e^{-a(T-t)}\right)\\A(t,T)&={\frac {(B(t,T)-T+t)(ab-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})}{a^{2}}}-{\frac {\sigma ^{2}B^{2}(t,T)}{4a}}\end{aligned}}

Nelson-Siegel sin arbitraje

Un enfoque para el modelado de la estructura temporal afín consiste en imponer una condición de ausencia de arbitraje al modelo propuesto. En una serie de artículos, ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} se desarrolló un modelo de curva de rendimiento dinámico propuesto utilizando una versión sin arbitraje del famoso modelo de Nelson-Siegel, ^{[ 5 ]} que los autores denominan AFNS. Para derivar el modelo AFNS, los autores hacen varias suposiciones:

Existen tres factores latentes que corresponden al nivel , la pendiente y la curvatura de la curva de rendimiento.
Los factores latentes evolucionan según procesos multivariados de Ornstein-Uhlenbeck . Las especificaciones particulares difieren según la medida utilizada:
1. $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ (Medida del mundo real) $\mathbb {P}$ )
2. $dx=-K^{\mathbb {Q} }xdt+\Sigma dW^{\mathbb {Q} }$ (Medida neutral al riesgo) $\mathbb {Q}$ )
La matriz de volatilidad $\Sigma$ es diagonal
La tasa a corto plazo es función del nivel y la pendiente ( $r=x_{1}+x_{2}$ )

A partir del modelo supuesto del precio del bono cupón cero: $P(\tau ,x)=\exp \left[A(\tau )+x^{T}B(\tau )\right]$ El rendimiento al vencimiento $\tau$ está dado por: $y(\tau )=-{A(\tau ) \over {\tau }}-{x^{T}B(\tau ) \over {\tau }}$ Y, basándonos en las suposiciones enumeradas, el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias que deben resolverse para obtener una solución analítica viene dado por: $-\left[A'(\tau )+B'(\tau )^{T}x\right]-B(\tau )^{T}K^{\mathbb {Q} }x+{1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau )-\rho ^{T}x=0,\quad A(0)=B_{i}(0)=0$ dónde $\rho ={\begin{pmatrix}1&1&0\end{pmatrix}}^{T}$ y $\Omega$ es una matriz diagonal con entradas $\Omega _{ii}=\sigma _{i}^{2}$ Al igualar los coeficientes, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones: ${\begin{aligned}-B'(\tau )&=\left(K^{\mathbb {Q} }\right)^{T}B(\tau )+\rho ,\quad B_{i}(0)=0\\A'(\tau )&={1 \over {2}}B(\tau )^{T}\Omega B(\tau ),\quad A(0)=0\end{aligned}}$ Para encontrar una solución viable, los autores proponen que $K^{\mathbb {Q} }$ adopta la forma: $K^{\mathbb {Q} }={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&\lambda &-\lambda \\0&0&\lambda \end{pmatrix}}$ Resolver el conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas para el vector $B(\tau )$ y dejar ${\mathcal {B}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}B(\tau )$ , encontramos que: ${\mathcal {B}}(\tau )={\begin{pmatrix}1&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}&{1-e^{-\lambda \tau } \over {\lambda \tau }}-e^{-\lambda \tau }\end{pmatrix}}^{T}$ Entonces $x^{T}{\mathcal {B}}(\tau )$ Reproduce el modelo estándar de curva de rendimiento de Nelson-Siegel. La solución para el factor de ajuste de rendimiento ${\mathcal {A}}(\tau )=-{1 \over {\tau }}A(\tau )$ Es más complicado, y se encuentra en el Apéndice B del artículo de 2007, pero es necesario para garantizar la condición de ausencia de arbitraje.

Tasa de interés corta promedio esperada

Una magnitud de interés que se puede derivar del modelo AFNS es la tasa de interés promedio esperada a corto plazo (AESR), que se define como: ${\text{AESR}}\equiv {1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=y(\tau )-{\text{TP}}(\tau )$ dónde $\mathbb {E} _{t}(r_{s})$ es la expectativa condicional de la tasa a corto plazo y ${\text{TP}}(\tau )$ es la prima de plazo asociada a un bono de vencimiento $\tau$ Para encontrar el AESR, recuerde que la dinámica de los factores latentes bajo la medida del mundo real $\mathbb {P}$ son: $dx=K^{\mathbb {P} }(\theta -x)dt+\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ La solución general del proceso multivariado de Ornstein-Uhlenbeck es: $x_{t}=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }t}(x_{0}-\theta )+\int _{0}^{t}e^{-K^{\mathbb {P} }(t-t')}\Sigma dW^{\mathbb {P} }$ Tenga en cuenta que $e^{-K^{\mathbb {P} }t}$ es la exponencial de la matriz . A partir de esta solución, es posible calcular explícitamente la esperanza condicional de los factores en el tiempo $t+\tau$ como: $\mathbb {E} _{t}(x_{t+\tau })=\theta +e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }(x_{t}-\theta )$ Observando que $r_{t}=\rho ^{T}x_{t}$ La solución general para el AESR se puede encontrar analíticamente: ${1 \over {\tau }}\int _{t}^{t+\tau }\mathbb {E} _{t}(r_{s})ds=\rho ^{T}\left[\theta +{1 \over {\tau }}\left(K^{\mathbb {P} }\right)^{-1}\left(I-e^{-K^{\mathbb {P} }\tau }\right)(x_{t}-\theta )\right]$

Referencias

^ Duffie, Darrell; Kan, Rui (1996). "Un modelo de tasas de interés de factor de rendimiento". Finanzas Matemáticas . 6 (4): 379– 406. doi : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x . ISSN 1467-9965 .
↑ Christensen, Jens HE; Diebold, Francis X.; Rudebusch, Glenn D. (2011-09-01). "La clase libre de arbitraje afín de modelos de estructura temporal de Nelson-Siegel" . Journal of Econometrics . Annals Issue on Forecasting. 164 (1): 4– 20. doi : 10.1016/j.jeconom.2011.02.011 . ISSN 0304-4076 .
↑ Christensen, Jens HE; Rudebusch, Glenn D. (2012-11-01). "La respuesta de los tipos de interés a la flexibilización cuantitativa en EE. UU. y el Reino Unido" . The Economic Journal . 122 (564): F385– F414. doi : 10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x . ISSN 0013-0133 . S2CID 153927550 .
↑ Christensen, Jens HE; Krogstrup, Signe (2019-01-01). "Transmisión de la flexibilización cuantitativa: el papel de las reservas del banco central" (PDF) . The Economic Journal . 129 (617): 249– 272. doi : 10.1111/ecoj.12600 . ISSN 0013-0133 . S2CID 167553886 .
↑ Nelson, Charles R.; Siegel, Andrew F. (1987). "Modelado parsimonioso de curvas de rendimiento". The Journal of Business . 60 (4): 473– 489. doi : 10.1086/296409 . ISSN 0021-9398 . JSTOR 2352957 .

Lecturas adicionales

Björk, Tomas (2009). Teoría del arbitraje en el tiempo continuo, tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-957474-2.

[1] Duffie, Darrell; Kan, Rui (1996). "Un modelo de tasas de interés de factor de rendimiento". Finanzas Matemáticas . 6 (4): 379– 406. doi : 10.1111/j.1467-9965.1996.tb00123.x . ISSN 1467-9965 .

[2] Christensen, Jens HE; Diebold, Francis X.; Rudebusch, Glenn D. (2011-09-01). "La clase libre de arbitraje afín de modelos de estructura temporal de Nelson-Siegel" . Journal of Econometrics . Annals Issue on Forecasting. 164 (1): 4– 20. doi : 10.1016/j.jeconom.2011.02.011 . ISSN 0304-4076 .

[3] Christensen, Jens HE; Rudebusch, Glenn D. (2012-11-01). "La respuesta de los tipos de interés a la flexibilización cuantitativa en EE. UU. y el Reino Unido" . The Economic Journal . 122 (564): F385– F414. doi : 10.1111/j.1468-0297.2012.02554.x . ISSN 0013-0133 . S2CID 153927550 .

[4] Christensen, Jens HE; Krogstrup, Signe (2019-01-01). "Transmisión de la flexibilización cuantitativa: el papel de las reservas del banco central" (PDF) . The Economic Journal . 129 (617): 249– 272. doi : 10.1111/ecoj.12600 . ISSN 0013-0133 . S2CID 167553886 .

[5] Nelson, Charles R.; Siegel, Andrew F. (1987). "Modelado parsimonioso de curvas de rendimiento". The Journal of Business . 60 (4): 473– 489. doi : 10.1086/296409 . ISSN 0021-9398 . JSTOR 2352957 .

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