casco afín

En matemáticas , la envoltura afín o el espacio afín de un conjunto${\displaystyle S}$en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es el conjunto afín más pequeño que contiene${\displaystyle S}$, ^{[ 1 ]} o equivalentemente, la intersección de todos los conjuntos afines que contienen${\displaystyle S}$. Aquí, un conjunto afín puede definirse como la traslación de un subespacio vectorial .

El casco afín de${\displaystyle S}$es lo que${\displaystyle \operatorname {span} S}$sería si el origen se moviera a${\displaystyle S}$.

El casco afín aff(${\displaystyle S}$) de${\displaystyle S}$es el conjunto de todas las combinaciones afines de elementos de${\displaystyle S}$, eso es,

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

• La envoltura afín del conjunto vacío es el conjunto vacío.
• La envoltura afín de un singleton (un conjunto formado por un solo elemento) es el propio singleton.
• La envoltura afín de un conjunto de dos puntos diferentes es la línea que pasa por ellos.
• La envoltura afín de un conjunto de tres puntos que no están en una misma línea es el plano que pasa por ellos.
• La envoltura afín de un conjunto de cuatro puntos que no están en un plano en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$es todo el espacio${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Para cualquier subconjunto${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S\subset \operatorname {span} S=\operatorname {span} \operatorname {aff} S}$.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$es un conjunto cerrado si${\displaystyle X}$es de dimensión finita.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$.
• ${\displaystyle S\subset \operatorname {aff} S}$.
• Si${\displaystyle 0\in \operatorname {aff} S}$entonces${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$.
• Si${\displaystyle s_{0}\in \operatorname {aff} S}$entonces${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})=\operatorname {span} (SS)}$es un subespacio lineal de${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\operatorname {span} (SS)}$si${\displaystyle S\neq \varnothing }$.
  • Entonces,${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}$siempre es un subespacio vectorial de${\displaystyle X}$si${\displaystyle S\neq \varnothing }$.
• Si${\displaystyle S}$es convexo entonces${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (SS)}$
• Por cada${\displaystyle s_{0}\in \operatorname {aff} S}$,${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})=s_{0}+\operatorname {span} (SS)=S+\operatorname {span} (SS)=s_{0}+\operatorname {cone} (SS)}$dónde${\displaystyle \operatorname {cono} (SS)}$es el cono más pequeño que contiene${\displaystyle SS}$(aquí, un conjunto${\displaystyle C\subsetequ X}$es un cono si${\displaystyle rc\in C}$a pesar de${\displaystyle c\in C}$y todos no negativos${\displaystyle r\geq 0}$).
  • Por eso${\displaystyle \operatorname {cono} (SS)=\operatorname {span} (SS)}$es siempre un subespacio lineal de${\displaystyle X}$paralelo a${\displaystyle \operatorname {aff} S}$si${\displaystyle S\neq \varnothing }$.
  • Nota:${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})}$dice que si traducimos${\displaystyle S}$de modo que contenga el origen, tomamos su intervalo y lo traducimos de nuevo, obtenemos${\displaystyle \operatorname {aff} S}$. Además,${\displaystyle \operatorname {aff} S}$o${\displaystyle s_{0}+\operatorname {span} (S-s_{0})}$es lo que ${\displaystyle \operatorname {span} S}$sería si el origen estuviera en${\displaystyle s_{0}}$.

• Si en lugar de una combinación afín se utiliza una combinación convexa , es decir, se requiere en la fórmula anterior que todos${\displaystyle \alpha _{i}}$Si es no negativo, se obtiene la envoltura convexa de${\displaystyle S}$, que no puede ser mayor que la cubierta afín de${\displaystyle S}$, ya que implica más restricciones.
• La noción de combinación cónica da lugar a la noción de casco cónico.${\displaystyle \operatorname {cono} S}$.
• Sin embargo, si no se impone ninguna restricción a las cifras${\displaystyle \alpha _{i}}$En lugar de una combinación afín, se tiene una combinación lineal , y el conjunto resultante es el intervalo lineal.${\displaystyle \operatorname {span} S}$de${\displaystyle S}$, que contiene la envoltura afín de${\displaystyle S}$.

• RJ Webster, Convexidad , Oxford University Press, 1994. ISBN 0-19-853147-8.
• Roman, Stephen (2008), Álgebra lineal avanzada , Textos de posgrado en matemáticas (Tercera  ed.), Springer, ISBN 978-0-387-72828-5