La desigualdad de Agmon

En análisis matemático , las desigualdades de Agmon , llamadas así en honor a Shmuel Agmon , ^{[ 1 ]} consisten en dos desigualdades de interpolación estrechamente relacionadas entre el espacio de Lebesgue.${\displaystyle L^{\infty }}$y los espacios Sobolev${\displaystyle H^{s}}$Es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales .

Dejar${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$dónde${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{3}}$Entonces, las desigualdades de Agmon en 3D establecen que existe una constante${\displaystyle C}$de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},}$

y

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.}$

En 2D, la primera desigualdad sigue siendo válida, pero no la segunda: sea${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )}$dónde${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$Entonces, la desigualdad de Agmon en 2D establece que existe una constante${\displaystyle C}$de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}.}$

Para el${\displaystyle n}$caso -dimensional, elegir${\displaystyle s_{1}}$y${\displaystyle s_{2}}$de tal manera que${\displaystyle s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}}$. Entonces, si${\displaystyle 0<\theta <1}$y${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}}$, la siguiente desigualdad se cumple para cualquier${\displaystyle u\in H^{s_{2}}(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }}$

• Desigualdad de Ladyzhenskaya
• Desigualdad de Brezis-Gallouët

• Agmon, Shmuel (2010). Lecciones sobre problemas de contorno elípticos . Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-4910-1.
• Foias, Ciprian; Manley, O.; Rosa, R.; Temam, R. (2001). Ecuaciones de Navier-Stokes y turbulencia . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36032-3.