Teorema de finitud de Ahlfors

En la teoría matemática de los grupos kleinianos , el teorema de finitud de Ahlfors describe el cociente del dominio de discontinuidad por un grupo kleiniano finitamente generado. El teorema fue demostrado por Lars Ahlfors , ^{[ 1 ] [ 2 ]} salvo una laguna que fue completada por Greenberg. ^{[ 3 ]}

El teorema de finitud de Ahlfors establece que si Γ es un grupo kleiniano finitamente generado con una región de discontinuidad Ω, entonces Ω/Γ tiene un número finito de componentes, cada una de las cuales es una superficie de Riemann compacta con un número finito de puntos eliminados.

La desigualdad de área de Bers es un refinamiento cuantitativo del teorema de finitud de Ahlfors demostrado por Lipman Bers. ^{[ 4 ]} Establece que si Γ es un grupo kleiniano finitamente generado no elemental con N generadores y con una región de discontinuidad Ω, entonces

Área(Ω/Γ) ≤ 4π( N − 1)

con igualdad solo para grupos de Schottky . (El área viene dada por la métrica de Poincaré en cada componente). Además, si Ω ₁ es una componente invariante, entonces

Área(Ω/Γ) ≤ 2Área(Ω ₁ /Γ)

con igualdad solo para grupos fuchsianos de primera especie (por lo que en particular puede haber como máximo dos componentes invariantes).

• Bers, Lipman (1967b), "Sobre el teorema de finitud de Ahlfors", American Journal of Mathematics , 89 (4): 1078–1082 , doi : 10.2307/2373419 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373419 , MR 0222282