Corcho Akbulut

En topología , un corcho de Akbulut es una estructura que se usa frecuentemente para demostrar que en 4 dimensiones, el teorema de h-cobordismo suave no se cumple. Recibe su nombre del matemático turco Selman Akbulut . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Una 4-variedad de Stein compacta y contraíble${\displaystyle C}$con involución${\displaystyle F}$en su límite se llama corcho Akbulut, si${\displaystyle F}$se extiende a un auto-homeomorfismo pero no puede extenderse a un auto-difeomorfismo en su interior (por lo tanto, un corcho es una copia exótica de sí mismo en relación con su límite). Un corcho${\displaystyle (C,F)}$se llama corcho de un colector liso de 4 vías${\displaystyle X}$, si se elimina${\displaystyle C}$de${\displaystyle X}$y volviéndolo a pegar mediante${\displaystyle F}$cambia la estructura suave de${\displaystyle X}$(esta operación se llama "torsión de corcho"). Cualquier copia exótica${\displaystyle X'}$de un colector cerrado simplemente conectado de 4 vías${\displaystyle X}$difiere de${\displaystyle X}$con un solo giro del corcho. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

La idea básica del corcho de Akbulut es que, al intentar utilizar el teorema de h-cobordismo en cuatro dimensiones, el corcho es el subcobordismo que contiene todas las propiedades exóticas de los espacios conectados con el cobordismo, y cuando se elimina, los dos espacios se vuelven trivialmente h-cobordantes y suaves. Esto demuestra que, en cuatro dimensiones, aunque el teorema no nos dice que dos variedades sean difeomorfas (solo homeomorfas ), están "no lejos" de serlo. ^{[ 8 ]}

Para ilustrar esto (sin demostración), consideremos un h-cobordismo suave.${\displaystyle W^{5}}$entre dos colectores de 4 vías${\displaystyle M}$y${\displaystyle N}$. Luego dentro${\displaystyle W}$existe un subcobordismo${\displaystyle K^{5}}$entre${\displaystyle A^{4}\subset M}$y${\displaystyle B^{4}\subset N}$y hay un difeomorfismo

${\displaystyle W\setminus \operatorname {int} \,K\cong \left(M\setminus \operatorname {int} \,A\right)\times \left[0,1\right],}$

que es el contenido del teorema de h-cobordismo para n  ≥  5 (aquí int X se refiere al interior de una variedad X ). Además, A y B son difeomorfas con un difeomorfismo que es una involución en la frontera ∂ A = ∂ B. ^{[ 9 ]} Por lo tanto, se puede ver que el h-cobordismo K conecta A con su imagen "invertida" B. Esta subvariedad A es el corcho de Akbulut .   

• Scorpan, Alexandru (2005), El salvaje mundo de las 4-variedades , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
• Asselmeyer-Maluga, Torsten; Brans, Carl H (2007), Suavidad exótica y física: topología diferencial y modelos espaciotemporales , Nueva Jersey, Londres: World Scientific