Al-Jabr

El libro conciso de cálculo mediante restauración y equilibrio ( árabe : الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة , al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah ; ^{[ a ]} o latín : Liber Algebræ et Almucabola ), comúnmente abreviado Al-Jabr o Álgebra ( árabe : الجبر ), es untratado matemático en lengua árabe sobre álgebra escrito en Bagdad alrededor del año 820 por Al-Khwarizmi . Fue una obra fundamental en la historia de las matemáticas , cuyo título es la etimología definitiva de la palabra "álgebra", que más tarde fue adoptada por el latín medieval como algebrāica .

Al-Jabr proporcionó una explicación exhaustiva de cómo resolver las raíces positivas de ecuaciones polinómicas hasta el segundo grado. ^{[ 1 ] [ b ]} Fue el primer texto que enseñó álgebra elemental y el primero en enseñar álgebra por sí misma. ^{[ c ]} También introdujo el concepto fundamental de "reducción" y "equilibrio" (al que originalmente se refería el término al-jabr ), la transposición de términos restados al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos semejantes en lados opuestos de la ecuación. ^{[ d ]} El historiador de las matemáticas Victor J. Katz considera a Al-Jabr como el primer texto de álgebra verdadero que aún existe. ^{[ e ]} Traducido al latín por Robert de Chester en 1145, se utilizó hasta el siglo XVI como el principal libro de texto de matemáticas de las universidades europeas. ^{[ 4 ] [ f ] [ 6 ] [ 7 ]}

Varios autores también han publicado textos bajo este nombre, entre ellos Abu Hanifa Dinawari , Abu Kamil , Abū Muḥammad al-ʿAdlī, Abū Yūsuf al-Miṣṣīṣī, 'Abd al-Hamīd ibn Turk , Sind ibn ʿAlī, Sahl ibn Bišr y Šarafaddīn al-Ṭūsī .

El libro era una recopilación y ampliación de reglas conocidas para resolver ecuaciones cuadráticas y otros problemas, y se consideraba la base del álgebra, estableciéndola como una disciplina independiente. La palabra álgebra deriva del nombre de una de las operaciones básicas con ecuaciones descritas en este libro, según su traducción al latín realizada por Robert de Chester . ^{[ 8 ]}

El libro clasifica las ecuaciones cuadráticas en seis tipos básicos y proporciona métodos algebraicos y geométricos para resolver las más básicas. El historiador Carl Boyer señala lo siguiente con respecto a la falta de notaciones abstractas modernas en el libro:

... el álgebra de al-Juarismi es completamente retórica, sin la síncopa (véase Historia del álgebra ) que se encuentra en la Aritmética griega o en la obra de Brahmagupta . ¡Incluso los números se escribían con palabras en lugar de símbolos!

^{Así ,} las ecuaciones se describen verbalmente en términos de "cuadrados" (lo que hoy sería " x² "), "raíces" (lo que hoy sería " x ") y "números" ("constantes": números escritos con letras, como "cuarenta y dos"). Los seis tipos, con notaciones modernas, son:

1. ^{Los cuadrados son iguales a las} raíces ( ax² = bx )
2. cuadrados igual número ( ax ² = c )
3. raíces iguales número ( bx = c )
4. ^Los cuadrados y las raíces son iguales ( ax² + bx = c )
5. ^cuadrados y número raíces iguales ( ax² + c = bx )
6. raíces y número de cuadrados iguales ( bx + c = ax ² )

Los matemáticos islámicos, a diferencia de los hindúes, no trabajaban con números negativos; por lo tanto, una ecuación como bx + c = 0 no aparece en la clasificación, ya que no tiene soluciones positivas si todos los coeficientes son positivos. De manera similar, los tipos de ecuaciones 4, 5 y 6, que parecen equivalentes a simple vista, se distinguían porque todos los coeficientes debían ser positivos. ^{[ 9 ]}

^{La operación de} Al-Jabr ("forzar", "restaurar") consiste en trasladar una cantidad deficiente de un lado de la ecuación al otro. En un ejemplo de Al-Juarismi (en notación moderna), " x² = 40x − 4x² " se transforma mediante Al - Jabr en " 5x² = 40x ^{" . La aplicación repetida de esta regla elimina las} cantidades negativas de los cálculos.  

Al-Muqābala ( المقابله ^{, "equilibrio" o "} correspondencia") significa restar la misma cantidad positiva de ambos lados: " x² + 5 = 40x + 4x² " se convierte en "5 = 40x + 3x² ^{" .} La aplicación repetida de esta regla hace que las cantidades de cada tipo ("cuadrado"/"raíz"/"número") aparezcan en la ecuación como máximo una vez, lo que ayuda a ver que solo hay 6 tipos básicos resolubles del problema, cuando se restringe a coeficientes y soluciones positivas.

Las partes posteriores del libro no se basan en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

El segundo capítulo del libro cataloga métodos para encontrar área y volumen . Estos incluyen aproximaciones de pi (π), dadas de tres maneras, como${\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}}$,​​${\displaystyle {\sqrt {10}}}$y​​${\displaystyle 62832/20000}$Esta última aproximación, igual a 3,1416, apareció anteriormente en el Āryabhaṭīya indio ⁽ 499 d. C.). [ ^{10 ]}

Al-Juarismí explica el calendario judío y el ciclo de 19 años descrito por la convergencia de los meses lunares y los años solares. ^{[ 10 ]}

Aproximadamente la mitad del libro trata sobre las reglas islámicas de herencia , que son complejas y requieren habilidad en ecuaciones algebraicas de primer orden. ^{[ 11 ]}

Al-Jabr introdujo el equilibrio y la reducción en las expresiones matemáticas, y fundó el álgebra como una disciplina matemática independiente, que se enseña en todo el mundo, generalmente como parte del currículo de primaria y secundaria. ^{[ 12 ]}

R. Rashed y Angela Armstrong escriben:

El texto de Al-Juarismi se distingue no solo de las tablillas babilónicas , sino también de la Aritmética de Diofanto . Ya no se trata de una serie de problemas a resolver, sino de una exposición que parte de términos primitivos cuyas combinaciones deben dar lugar a todos los prototipos posibles de ecuaciones, las cuales, a partir de entonces, constituyen explícitamente el verdadero objeto de estudio. Por otro lado, la idea de una ecuación por sí misma aparece desde el principio y, podría decirse, de manera genérica, en la medida en que no surge simplemente al resolver un problema, sino que se recurre específicamente a ella para definir una clase infinita de problemas. ^{[ 13 ]}

JJ O'Connor y EF Robertson escribieron en el archivo de historia de las matemáticas de MacTutor :

Quizás uno de los avances más significativos de las matemáticas árabes comenzó en esta época con la obra de al-Juarismi, concretamente con los inicios del álgebra. Es importante comprender la trascendencia de esta nueva idea. Representó un cambio revolucionario respecto al concepto griego de matemáticas, que se basaba esencialmente en la geometría. El álgebra fue una teoría unificadora que permitió tratar los números racionales , los irracionales , las magnitudes geométricas, etc., como «objetos algebraicos». Introdujo en las matemáticas una nueva vía de desarrollo conceptual mucho más amplia que la existente hasta entonces y sentó las bases para el futuro desarrollo de la disciplina. Otro aspecto importante de la introducción de las ideas algebraicas fue que permitió aplicar las matemáticas a sí mismas de una forma nunca antes vista. ^{[ 14 ]}

• Hughes, Barnabas B. ed., Traducción latina de Robert of Chester de Al-Jabr de Al-Khwarizmi: una nueva edición crítica , (en latín ) Wiesbaden: F. Steiner Verlag, 1989. ISBN 3-515-04589-9
• Rashed, R. El desarrollo de las matemáticas árabes: entre la aritmética y el álgebra , Londres, 1994.

• Traducción al inglés del siglo XIX en el Archivo de Internet
• Al-Juarismi
• Fragmento anotado de una traducción del Libro Compendioso . Universidad de Duisburg-Essen .
• El compendio de cálculo por compleción y equilibrio – en árabe original con traducción al inglés (PDF)
• Ghani, Mahbub (5 de enero de 2007). "La ciencia de restaurar y equilibrar: la ciencia del álgebra" . Patrimonio musulmán .