Brahmagupta

A continuación, Brahmagupta procede a dar la suma de los cuadrados y los cubos de los primeros n números enteros.

12.20. La suma de los cuadrados es esa [suma] multiplicada por el doble del [número de] pasos aumentado en uno [y] dividido por tres. La suma de los cubos es el cuadrado de esa [suma]. También se pueden calcular pilas de estos con bolas idénticas. ^{[ 19 ]}

Aquí Brahmagupta halló el resultado en términos de la suma de los primeros n enteros, en lugar de en términos de n como es la práctica moderna. ^{[ 20 ]}

Él da la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales como ⁠ n ( n + 1)(2 n + 1) / 6 ⁠ y la suma de los cubos de los primeros n números naturales como ( ⁠ n ( n + 1) / 2 ⁠ ) ².

El Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta es el primer libro que proporciona reglas para manipulaciones aritméticas que se aplican al cero y a los números negativos . ^{[ 21 ]} El Brāhmasphuṭasiddhānta es el texto más antiguo conocido que trata al cero como un número por derecho propio, en lugar de como un simple dígito de relleno para representar otro número, como lo hacían los babilonios , o como un símbolo de falta de cantidad, como lo hacían Ptolomeo y los romanos . En el capítulo dieciocho de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta describe operaciones con números negativos. Primero describe la suma y la resta,

18.30. La suma de dos positivos es positiva, la de dos negativos es negativa; la suma de un positivo y un negativo es su diferencia; si son iguales, es cero. La suma de un negativo y cero es negativa, la de un positivo y cero es positiva, y la de dos ceros es cero.

[...]

18.32. Un negativo menos cero es negativo, un positivo [menos cero] es positivo; cero [menos cero] es cero. Cuando se resta un positivo de un negativo o un negativo de un positivo, se suma. ^{[ 14 ]}

Luego continúa describiendo la multiplicación,

18.33. El producto de un negativo y un positivo es negativo, el de dos negativos es positivo, y el de positivos es positivo; el producto de cero y un negativo, de cero y un positivo, o de dos ceros es cero. ^{[ 14 ]}

Pero su descripción de la división por cero difiere de nuestra comprensión moderna:

18.34. Un positivo dividido entre un positivo o un negativo dividido entre un negativo es positivo; un cero dividido entre cero es cero; un positivo dividido entre un negativo es negativo; un negativo dividido entre un positivo es [también] negativo. 18.35. Un negativo o un positivo dividido entre cero tiene a ese [cero] como divisor, o cero dividido entre un negativo o un positivo [tiene a ese negativo o positivo como divisor]. El cuadrado de un negativo o un positivo es positivo; [el cuadrado] de cero es cero. Aquello de lo cual [el cuadrado] es el cuadrado es [su] raíz cuadrada. ^{[ 14 ]}

Aquí Brahmagupta afirma que ⁠ 0 / 0 ⁠ = 0 y en cuanto a la cuestión de ⁠ a / 0 ⁠ donde a ≠ 0 no se comprometió. ^{[ 22 ]} Sus reglas para la aritmética con números negativos y cero son bastante cercanas a la comprensión moderna, excepto que en las matemáticas modernas la división por cero queda sin definir .

En el capítulo doce de su Brāhmasphuṭasiddhānta , Brahmagupta proporciona una fórmula útil para generar ternas pitagóricas :

12.39. La altura de una montaña multiplicada por un factor dado es la distancia a una ciudad; no se borra. Cuando se divide por el factor aumentado al doble, es el salto de uno de los dos que realizan el mismo trayecto. ^{[ 23 ]}

O, en otras palabras, si d = mx / x + 2 , entonces un viajero que "salta" verticalmente hacia arriba una distancia d desde la cima de una montaña de altura m , y luego viaja en línea recta hasta una ciudad a una distancia horizontal mx desde la base de la montaña, viaja la misma distancia que uno que desciende verticalmente por la montaña y luego viaja a lo largo de la horizontal hasta la ciudad. ^{[ 23 ]} Enunciado geométricamente, esto dice que si un triángulo rectángulo tiene una base de longitud a = mx y ^una altura de longitud b = m + d , entonces la longitud, c , de su hipotenusa está dada por c = m (1 + x) − d. Y, de hecho, manipulación algebraica elemental muestra que a² + b² = c² siempre que d tenga el valor indicado . ^Además , si m y x son racionales , también lo son d , a ^, b y c . Por lo tanto, se puede obtener una terna pitagórica a partir de a , b y c multiplicando cada uno de ellos por el mínimo común múltiplo de sus denominadores .

Brahmagupta procedió a proporcionar una relación de recurrencia para generar soluciones a ciertas instancias de ecuaciones diofánticas de segundo grado, como ^Nx² + 1 = y² (conocida como ecuación de Pell ), utilizando el algoritmo euclidiano . Él conocía el algoritmo euclidiano como el "pulverizador" ^, ya que descompone los números en partes cada vez más pequeñas. ^{[ 24 ]}

La naturaleza de los cuadrados: 18.64. [Escribe] el doble de la raíz cuadrada de un cuadrado dado por un multiplicador y aumenta o disminuye por un [número] arbitrario. El producto del primer [par], multiplicado por el multiplicador, con el producto del último [par], es el último calculado. 18.65. La suma de los productos del rayo es el primero. El aditivo es igual al producto de los aditivos. Las dos raíces cuadradas, divididas por el aditivo o el sustractivo, son las rupas aditivas . ^{[ 14 ]}

La clave de su solución fue la identidad, ^{[ 25 ]}

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}$

que es una generalización de una identidad que fue descubierta por Diofanto ,

${\displaystyle (x_{1}^{2}-y_{1}^{2})(x_{2}^{2}-y_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.}$

Utilizando su identidad y el hecho de que si ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) son soluciones de las ecuaciones x ² − Ny ² = k ₁ y x ² − Ny ² = k ₂ , respectivamente, entonces ( x ₁ x ₂ + Ny ₁ y ₂ , x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁ ) es una solución de x ² − Ny ² = k ₁ k ₂ , pudo encontrar soluciones enteras a la ecuación de Pell a través de una serie de ecuaciones de la forma x ² − Ny ² = k _i . Brahmagupta no pudo aplicar su solución uniformemente para todos los valores posibles de N , sino que solo pudo mostrar que si x ² − Ny ² = k tiene una solución entera para k = ±1, ±2 o ±4, entonces x ² − Ny ² = 1 tiene una solución. La solución de la ecuación general de Pell tendría que esperar hasta Bhāskara II alrededor del año 1150 d . C. ^{[ 25 ]}

El resultado más famoso de Brahmagupta en geometría es su fórmula para cuadriláteros cíclicos . Dadas las longitudes de los lados de cualquier cuadrilátero cíclico, Brahmagupta dio una fórmula aproximada y una fórmula exacta para el área de la figura,

12.21. El área aproximada es el producto de las mitades de las sumas de los lados y los lados opuestos de un triángulo y un cuadrilátero. El área exacta es la raíz cuadrada del producto de las mitades de las sumas de los lados disminuido en cada lado del cuadrilátero. ^{[ 19 ]}

Entonces, dadas las longitudes p , q , r y s de un cuadrilátero cíclico, el área aproximada es ⁠ p + r / 2 ⁠ · ⁠ q + s / 2 ⁠ mientras que, haciendo t = ⁠ p + q + r + s / 2 ⁠ , el área exacta es

√ ( t − p )( t − q )( t − r )( t − s ) .

Aunque Brahmagupta no afirma explícitamente que estos cuadriláteros sean cíclicos, de sus reglas se desprende que así es. ^{[ 26 ]} La fórmula de Herón es un caso especial de esta fórmula y se puede derivar igualando uno de los lados a cero.

Brahmagupta continúa,

12.23. La raíz cuadrada de la suma de los dos productos de los lados opuestos de un cuadrilátero no desigual es la diagonal. El cuadrado de la diagonal se reduce al cuadrado de la mitad de la suma de la base y la altura; la raíz cuadrada es la perpendicular [alturas]. ^{[ 19 ]}

Así, en un cuadrilátero cíclico "no desigual" (es decir, un trapecio isósceles ), la longitud de cada diagonal es √ pr + qs .

Continúa dando fórmulas para las longitudes y áreas de figuras geométricas, como el radio de la circunferencia circunscrita de un trapecio isósceles y un cuadrilátero escaleno, y las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero cíclico escaleno. Esto conduce al famoso teorema de Brahmagupta .

12.30–31. Imaginando dos triángulos dentro de un cuadrilátero cíclico con lados desiguales, las dos diagonales son las dos bases. Sus dos segmentos son, respectivamente, los segmentos superior e inferior formados en la intersección de las diagonales. Los dos segmentos inferiores de las dos diagonales son dos lados de un triángulo; la base del cuadrilátero es la base del triángulo. Su perpendicular es la porción inferior de la perpendicular central; la porción superior de la perpendicular central es la mitad de la suma de las perpendiculares de los lados disminuida por la porción inferior de la perpendicular central. ^{[ 19 ]}

En el versículo 40, da valores de π ,

12.40. El diámetro y el cuadrado del radio, multiplicados cada uno por 3, son respectivamente la circunferencia práctica y el área de un círculo. Los valores exactos son las raíces cuadradas de los cuadrados de estos dos, multiplicadas por diez. ^{[ 19 ]}

Así pues, Brahmagupta utiliza 3 como un valor "práctico" de π y${\displaystyle {\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots }$como un valor "preciso" de π , con un error inferior al 1%.

Brahmagupta presenta construcciones de diversas figuras con lados arbitrarios. Básicamente, manipuló triángulos rectángulos para producir triángulos isósceles, triángulos escalenos, rectángulos, trapecios isósceles, trapecios isósceles de tres lados iguales y un cuadrilátero cíclico escaleno.

Tras dar el valor de pi, aborda la geometría de figuras planas y sólidos, como el cálculo de volúmenes y áreas superficiales (o espacios vacíos extraídos de sólidos). Calcula el volumen de prismas rectangulares, pirámides y el tronco de una pirámide cuadrada. Además, halla la profundidad media de una serie de fosas. Para el volumen del tronco de una pirámide, proporciona el valor "pragmático" como la profundidad multiplicada por el cuadrado de la media de las aristas de las caras superior e inferior, y el volumen "superficial" como la profundidad multiplicada por su área media. ^{[ 28 ]}

En el capítulo 2 de su Brāhmasphuṭasiddhānta , titulado Longitudes verdaderas planetarias , Brahmagupta presenta una tabla de senos:

2.2–5. Los senos: Los Progenitores, gemelos; la Osa Mayor, gemelos, los Vedas; los dioses, fuegos, seis; sabores, dados, los dioses; la luna, cinco, el cielo, la luna; la luna, flechas, soles [...] ^{[ 29 ]}

Aquí Brahmagupta usa nombres de objetos para representar los dígitos de los numerales posicionales, como era común con los datos numéricos en los tratados sánscritos. "Progenitores" representa a los 14 Progenitores ("Manu") en la cosmología india o 14, "gemelos" significa 2, "Osa Mayor" representa las siete estrellas de la Osa Mayor o 7, "Vedas" se refiere a los 4 Vedas o 4, "dados" representa el número de caras del dado tradicional o 6, y así sucesivamente. Esta información se puede traducir en la lista de senos, 214, 427, 638, 846, 1051, 1251, 1446, 1635, 1817, 1991, 2156, 2312, 2459, 2594, 2719, 2832, 2933, 3021, 3096, 3159, 3207, 3242, 3263 y 3270, siendo el radio 3270 (estos números representan${\displaystyle 3270\sin {\frac {\pi n}{48}}}$para${\displaystyle n=1,\dots ,24}$). ^{[ 30 ]}

En 665, Brahmagupta ideó y utilizó un caso especial de la fórmula de interpolación de Newton-Stirling de segundo orden para interpolar nuevos valores de la función seno a partir de otros valores ya tabulados. ^{[ 31 ]} La fórmula da una estimación del valor de una función f en un valor a + xh de su argumento (con h > 0 y −1 ≤ x ≤ 1 ) cuando su valor ya se conoce en a − h , a y a + h .

La fórmula para la estimación es:

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x{\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}+x^{2}{\frac {\Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.}$

donde Δ es el operador de diferencias finitas hacia adelante de primer orden , es decir

${\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}$