Dualidad de Alexander

En matemáticas , la dualidad de Alexander se refiere a una teoría de la dualidad iniciada por un resultado de J. W. Alexander en 1915, y posteriormente desarrollada, en particular, por Pavel Alexandrov y Lev Pontryagin . Se aplica a las propiedades de la teoría de homología del complemento de un subespacio X en el espacio euclidiano , una esfera u otra variedad . Se generaliza mediante la dualidad de Spanier-Whitehead .

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un subespacio compacto no vacío y localmente contraíble de la esfera${\displaystyle S^{n}}$de dimensión n . Sea${\displaystyle S^{n}\setminus X}$ser el complemento de${\displaystyle X}$en${\displaystyle S^{n}}$. Entonces si${\displaystyle {\tilde {H}}}$representa homología reducida o cohomología reducida , con coeficientes en un grupo abeliano dado , hay un isomorfismo

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(S^{n}\setminus X)\cong {\tilde {H}}^{nq-1}(X)}$

a pesar de${\displaystyle q\geq 0}$. Tenga en cuenta que podemos omitir la contractibilidad local como parte de la hipótesis si utilizamos la cohomología de Čech , que está diseñada para tratar patologías locales.

Dejar${\displaystyle X}$ser un complejo simplicial abstracto sobre un conjunto de vértices${\displaystyle V}$de tamaño${\displaystyle n}$El doble de Alejandro${\displaystyle X^{*}}$de${\displaystyle X}$se define como el complejo simplicial en${\displaystyle V}$cuyos rostros son complementos de no-rostros de${\displaystyle X}$. Eso es

${\displaystyle X^{*}=\{\sigma \ \colon \ V\setminus \sigma \not \in X\}}$.

Tenga en cuenta que${\displaystyle (X^{*})^{*}=X}$.

La dualidad de Alexander implica el siguiente análogo combinatorio (para homología y cohomología reducidas , con coeficientes en cualquier grupo abeliano dado ):

${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(X^{*})\cong {\tilde {H}}^{nq-3}(X)}$

a pesar de${\displaystyle q\geq 0}$De hecho, esto se puede deducir dejando${\displaystyle Y\simeq S^{n-2}}$ser el${\displaystyle (n-2)}$-esqueleto del simplex completo en${\displaystyle V}$(eso es,${\displaystyle Y}$es la familia de todos los subconjuntos de tamaño como máximo${\displaystyle n-1}$) y mostrando que la realización geométrica${\displaystyle |X^{*}|}$¿Es la homotopía equivalente a?${\displaystyle |Y|\setminus |X|}$. Björner y Tancer presentaron una demostración combinatoria elemental y resumieron algunas generalizaciones. ^{[ 2 ]}

Para variedades diferenciables , la dualidad de Alexander es una consecuencia formal de la dualidad de Verdier para haces de grupos abelianos . Más precisamente, si dejamos${\displaystyle X}$denotemos una variedad diferenciable y dejemos${\displaystyle Y\subset X}$ser un subespacio cerrado (como un subespacio que representa un ciclo o una subvariedad) representado por la inclusión${\displaystyle i\colon Y\hookrightarrow X}$y si${\displaystyle k}$es un campo, entonces si${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} _{k}(Y)}$es un haz de${\displaystyle k}$-espacios vectoriales tenemos el siguiente isomorfismo ^{[ 3 ] : 307}

${\displaystyle H_{c}^{s}(Y,{\mathcal {F}})^{\vee }\cong \operatorname {Ext} _{k}^{ns}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[ns])}$,

donde el grupo de cohomología de la izquierda es una cohomología con soporte compacto . Podemos desglosar esta afirmación para comprender mejor su significado. Primero, si${\displaystyle {\mathcal {F}}={\underline {k}}}$es el haz constante y${\displaystyle Y}$es una subvariedad suave, entonces obtenemos

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{k}^{ns}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{X}[nr])\cong H_{Y}^{ns}(X,\omega _{X})}$,

donde el grupo de cohomología de la derecha es una cohomología local con soporte en${\displaystyle Y}$. Mediante reducciones adicionales, es posible identificar la homología de${\displaystyle X\setminus Y}$con la cohomología de${\displaystyle Y}$Esto es útil en geometría algebraica para calcular los grupos de cohomología de variedades proyectivas , y se aprovecha para construir una base de la estructura de Hodge de hipersuperficies de grado${\displaystyle d}$utilizando el anillo jacobiano .

En referencia al trabajo original de Alexander, se asume que X es un complejo simplicial .

Alexander disponía de poco aparato moderno, y su resultado solo se aplicaba a los números de Betti , con coeficientes tomados módulo 2. Lo que cabe esperar se deduce de los ejemplos. Por ejemplo, la construcción del toro de Clifford en la 3-esfera muestra que el complemento de un toro sólido es otro toro sólido; que será abierto si el otro es cerrado, pero esto no afecta a su homología. Cada uno de los toros sólidos es, desde el punto de vista de la homotopía , un círculo . Si simplemente escribimos los números de Betti

1, 1, 0, 0

del círculo (hasta${\displaystyle H_{3}}$, puesto que estamos en la 3-esfera), entonces invierta como

0, 0, 1, 1

y luego desplazarse uno a la izquierda para obtener

0, 1, 1, 0

Hay una dificultad, ya que no estamos obteniendo lo que teníamos al principio. Por otro lado, el mismo procedimiento aplicado a los números de Betti reducidos , para los cuales el número de Betti inicial se decrementa en 1, comienza con

0, 1, 0, 0

y da

0, 0, 1, 0

De dónde

0, 1, 0, 0.

Esto funciona , ya que predice los números de Betti reducidos del complemento.

El prototipo aquí es el teorema de la curva de Jordan , que topológicamente se refiere al complemento de un círculo en la esfera de Riemann . También cuenta la misma historia. Tenemos los números de Betti honestos.

1, 1, 0

del círculo, y por lo tanto

0, 1, 1

volteando y

1, 1, 0

desplazando hacia la izquierda. Esto devuelve algo diferente de lo que afirma el teorema de Jordan, que es que hay dos componentes, cada una contráctil ( teorema de Schoenflies , para ser precisos sobre lo que se usa aquí). Es decir, la respuesta correcta en números de Betti honestos es

2, 0, 0.

Una vez más, son los números de Betti reducidos los que funcionan. Con ellos, comenzamos con

0, 1, 0

para terminar con

1, 0, 0.

Por lo tanto, a partir de estos dos ejemplos, se puede inferir la formulación de Alexander: números de Betti reducidos${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}}$están relacionados en complementos por

${\displaystyle {\tilde {b}}_{i}\to {\tilde {b}}_{ni-1}}$.

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Cambridge: Cambridge University Press . pág.  254. ISBN 0-521-79540-0.
• "Dualidad de Alexander" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• Molinero, Esdras; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol.  227. Nueva York, Nueva York: Springer-Verlag . Cap. 5 Alejandro Dualidad . ISBN 0-387-22356-8.