Problema de las moscas Schoen

En matemáticas , el problema de Schoenflies o teorema de Schoenflies , de topología geométrica , es una agudización del teorema de la curva de Jordan de Arthur Schoenflies . Para las curvas de Jordan en el plano, a menudo se lo denomina teorema de Jordan-Schoenflies.

La formulación original del problema de Schoenflies establece que no sólo cada curva cerrada simple en el plano separa el plano en dos regiones, una (el "interior") acotada y la otra (el "exterior") no acotada; sino también que estas dos regiones son homeomorfas al interior y al exterior de un círculo estándar en el plano.

Una afirmación alternativa es que si es una curva cerrada simple, entonces existe un homeomorfismo tal que es el círculo unitario en el plano. Se pueden encontrar pruebas elementales en Newman (1939), Cairns (1951), Moise (1977) y Thomassen (1992). El resultado se puede demostrar primero para polígonos cuando el homeomorfismo se puede tomar como lineal por partes y la función identidad de algún conjunto compacto; el caso de una curva continua se deduce entonces mediante la aproximación por polígonos. El teorema es también una consecuencia inmediata del teorema de extensión de Carathéodory para funciones conformes , como se analiza en Pommerenke (1992, p. 25). ${\displaystyle C\subconjunto \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\estilo de visualización f(C)}$

Si la curva es suave, entonces el homeomorfismo puede elegirse como difeomorfismo . Las demostraciones en este caso se basan en técnicas de topología diferencial . Aunque son posibles las demostraciones directas (empezando por ejemplo por el caso poligonal), la existencia del difeomorfismo también puede deducirse utilizando el teorema de aplicación suave de Riemann para el interior y el exterior de la curva en combinación con el truco de Alexander para difeomorfismos del círculo y un resultado sobre isotopía suave a partir de la topología diferencial. ^[1]

Este teorema sólo es válido en dos dimensiones. En tres dimensiones existen contraejemplos como la esfera con cuernos de Alexander . Aunque separan el espacio en dos regiones, esas regiones están tan retorcidas y anudadas que no son homeomorfas con el interior y el exterior de una esfera normal.

Para curvas suaves o poligonales, el teorema de la curva de Jordan se puede demostrar de una manera sencilla. En efecto, la curva tiene un entorno tubular , definido en el caso suave por el campo de vectores unitarios normales a la curva o en el caso poligonal por puntos a una distancia menor que ε de la curva. En un entorno de un punto diferenciable en la curva, hay un cambio de coordenadas en el que la curva se convierte en el diámetro de un disco abierto. Tomando un punto que no está en la curva, una línea recta dirigida a la curva comenzando en el punto eventualmente se encontrará con el entorno tubular; el camino puede continuar junto a la curva hasta que se encuentre con el disco. Lo encontrará en un lado o en el otro. Esto demuestra que el complemento de la curva tiene como máximo dos componentes conexos. Por otro lado, utilizando la fórmula integral de Cauchy para el número de vueltas , se puede ver que el número de vueltas es constante en los componentes conexos del complemento de la curva, es cero cerca del infinito y aumenta en 1 cuando cruza la curva. Por lo tanto, la curva divide el plano en exactamente dos componentes, su "interior" y su "exterior", siendo este último ilimitado. El mismo argumento funciona para una curva de Jordan diferenciable por partes. ^[2]

Dada una curva poligonal cerrada simple en el plano, el teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes establece que existe un homeomorfismo lineal por partes del plano, con soporte compacto, que lleva el polígono sobre un triángulo y lleva el interior y exterior de uno sobre el interior y exterior del otro. ^[3]

El interior del polígono puede triangularse mediante triángulos pequeños, de modo que las aristas del polígono formen aristas de algunos de los triángulos pequeños. Los homeomorfismos lineales por partes pueden formarse a partir de homeomorfismos especiales obtenidos al retirar un rombo del plano y tomar una función afín por partes, fijando las aristas del rombo, pero moviendo una diagonal hasta formar una V. Las composiciones de homeomorfismos de este tipo dan lugar a homeomorfismos lineales por partes de soporte compacto; fijan el exterior de un polígono y actúan de manera afín en una triangulación del interior. Un argumento inductivo simple muestra que siempre es posible eliminar un triángulo libre (uno para el cual la intersección con el límite es un conjunto conexo formado por una o dos aristas) dejando un polígono de Jordan cerrado simple. Los homeomorfismos especiales descritos anteriormente o sus inversos proporcionan homeomorfismos lineales por partes que llevan el interior del polígono más grande al polígono con el triángulo libre eliminado. Iterando este proceso se deduce que existe un homeomorfismo lineal por partes de soporte compacto que lleva el polígono original a un triángulo. ^[4]

Como el homeomorfismo se obtiene componiendo un número finito de homeomorfismos del plano de soporte compacto, se deduce que el homeomorfismo lineal por partes en el enunciado del teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes tiene soporte compacto.

Como corolario, se sigue que cualquier homeomorfismo entre curvas poligonales cerradas simples se extiende a un homeomorfismo entre sus interiores. ^[5] Para cada polígono hay un homeomorfismo de un triángulo dado sobre el cierre de su interior. Los tres homeomorfismos producen un único homeomorfismo del borde del triángulo. Por el truco de Alexander, este homeomorfismo puede extenderse a un homeomorfismo de cierre del interior del triángulo. Invirtiendo este proceso, este homeomorfismo produce un homeomorfismo entre los cierres de los interiores de las curvas poligonales.

El teorema de Jordan-Schoenflies para curvas continuas se puede demostrar utilizando el teorema de Carathéodory sobre la aplicación conforme . Afirma que la aplicación de Riemann entre el interior de una curva de Jordan simple y el disco unitario abierto se extiende continuamente a un homeomorfismo entre sus cierres, aplicando la curva de Jordan homeomórficamente sobre el círculo unitario. ^[6] Para demostrar el teorema, el teorema de Carathéodory se puede aplicar a las dos regiones de la esfera de Riemann definidas por la curva de Jordan. Esto dará como resultado homeomorfismos entre sus cierres y los discos cerrados | z | ≤ 1 y | z | ≥ 1. Los homeomorfismos de la curva de Jordan al círculo se diferenciarán por un homeomorfismo del círculo que se puede extender al disco unitario (o su complemento) mediante el truco de Alexander . La composición con este homeomorfismo producirá un par de homeomorfismos que coinciden en la curva de Jordan y, por lo tanto, definen un homeomorfismo de la esfera de Riemann que lleva la curva de Jordan al círculo unitario.

El caso continuo también puede deducirse del caso poligonal aproximando la curva continua por un polígono. ^[7] El teorema de la curva de Jordan se deduce primero por este método. La curva de Jordan está dada por una función continua en el círculo unitario. Esta y la función inversa de su imagen de vuelta al círculo unitario son uniformemente continuas . Así que dividiendo el círculo en intervalos suficientemente pequeños, hay puntos en la curva tales que los segmentos de línea que unen puntos adyacentes se encuentran cerca de la curva, digamos por ε. Juntos, estos segmentos de línea forman una curva poligonal. Si tiene autointersecciones, estas también deben crear bucles poligonales. Borrando estos bucles, se obtiene una curva poligonal sin autointersecciones que todavía se encuentra cerca de la curva; algunos de sus vértices podrían no estar en la curva, pero todos se encuentran dentro de un vecindario de la curva. La curva poligonal divide el plano en dos regiones, una región acotada U y una región no acotada V. Tanto U como V ∪ ∞ son imágenes continuas del disco unitario cerrado. Dado que la curva original está contenida dentro de un pequeño vecindario de la curva poligonal, la unión de las imágenes de discos abiertos concéntricos ligeramente más pequeños omite por completo la curva original y su unión excluye un pequeño vecindario de la curva. Una de las imágenes es un conjunto abierto acotado que consiste en puntos alrededor de los cuales la curva tiene el número de vuelta uno; la otra es un conjunto abierto ilimitado que consiste en puntos del número de vuelta cero. La repetición para una secuencia de valores de ε que tiende a 0, conduce a una unión de conjuntos acotados abiertos conexos por trayectorias de puntos del número de vuelta uno y una unión de conjuntos no acotados abiertos conexos por trayectorias del número de vuelta cero. Por construcción, estos dos conjuntos abiertos disjuntos conexos por trayectorias completan el complemento de la curva en el plano. ^[8]

Dado el teorema de la curva de Jordan, el teorema de Jordan-Schoenflies se puede demostrar de la siguiente manera. ^[9]

• El primer paso es demostrar que un conjunto denso de puntos de la curva son accesibles desde el interior de la curva, es decir, están al final de un segmento de línea que se encuentra completamente en el interior de la curva. De hecho, un punto dado de la curva está arbitrariamente cerca de algún punto en el interior y hay un disco cerrado mínimo alrededor de ese punto que interseca la curva solo en su límite; esos puntos límite están cerca del punto original de la curva y, por construcción, son accesibles.
• El segundo paso es demostrar que dados un número finito de puntos accesibles A _i en la curva conectados a los segmentos de línea A _i B _i en su interior, hay curvas poligonales disjuntas en el interior con vértices en cada uno de los segmentos de línea tales que su distancia a la curva original es arbitrariamente pequeña. Esto requiere teselaciones del plano mediante mosaicos uniformemente pequeños de modo que si dos mosaicos se encuentran tengan un lado o un segmento de un lado en común: ejemplos son la teselación hexagonal estándar ; o el mosaico de ladrillo estándar mediante rectángulos o cuadrados con enlaces comunes o extensibles. Basta con construir un camino poligonal de modo que su distancia a la curva de Jordan sea arbitrariamente pequeña. Oriente la teselación de modo que ningún lado de los mosaicos sea paralelo a ningún A _i B _i . El tamaño de los mosaicos puede tomarse arbitrariamente pequeño. Tome la unión de todos los mosaicos cerrados que contienen al menos un punto de la curva de Jordan. Su límite está formado por curvas poligonales disjuntas. Si el tamaño de las piezas es suficientemente pequeño, los puntos extremos B _i se encontrarán en el interior de exactamente una de las curvas limítrofes del polígono. Su distancia a la curva de Jordan es menor que el doble del diámetro de las piezas, por lo que es arbitrariamente pequeña.
• El tercer paso es demostrar que cualquier homeomorfismo f entre la curva y un triángulo dado puede extenderse a un homeomorfismo entre los cierres de sus interiores. De hecho, tómese una secuencia ε ₁ , ε ₂ , ε ₃ , ... decreciente a cero. Elija un número finito de puntos A _i en la curva de Jordan Γ con puntos sucesivos separados por menos de ε ₁ . Haga la construcción del segundo paso con baldosas de diámetro menor que ε ₁ y tome C _i como los puntos en la curva poligonal Γ ₁ que interseca a A _i B _i . Tome los puntos f ( A _i ) en el triángulo. Fije un origen en el triángulo Δ y escale el triángulo para obtener uno más pequeño Δ ₁ a una distancia menor que ε ₁ del triángulo original. Sean D _i los puntos en la intersección del radio que pasa por f ( A _i ) y el triángulo más pequeño. Existe un homeomorfismo lineal por partes F ₁ de la curva poligonal sobre el triángulo menor que lleva C _i sobre D _i . Por el teorema de Jordan-Schoenflies se extiende a un homeomorfismo F ₁ entre el cierre de sus interiores. Ahora realice el mismo proceso para ε ₂ con un nuevo conjunto de puntos en la curva de Jordan. Esto producirá un segundo camino poligonal Γ ₂ entre Γ ₁ y Γ. Asimismo, existe un segundo triángulo Δ ₂ entre Δ ₁ y Δ. Los segmentos de línea para los puntos accesibles en Γ dividen la región poligonal entre Γ ₂ y Γ ₁ en una unión de regiones poligonales; de manera similar, para los radios de los puntos correspondientes en Δ dividen la región entre Δ ₂ y Δ ₁ en una unión de regiones poligonales. El homeomorfismo F ₁ se puede extender a homeomorfismos entre los diferentes polígonos, que coinciden en aristas comunes (intervalos cerrados en segmentos de línea o radios). Por el teorema de Jordan-Schoenflies poligonal, cada uno de estos homeomorfismos se extiende al interior del polígono. Juntos producen un homeomorfismo F ₂ de la clausura del interior de Γ ₂ sobre la clausura del interior de Δ ₂ ; F ₂ extiende F ₁Continuando de esta manera se producen curvas poligonales Γ _n y triángulos Δ _n con un homomeomorfismo F _n entre los cierres de sus interiores; F _n extiende F _{n – 1} . Las regiones dentro de Γ _n aumentan a la región dentro de Γ; y los triángulos Δ _n aumentan a Δ. Los homeomorfismos F _n se unen para dar un homeomorfismo F desde el interior de Γ hacia el interior de Δ. Por construcción tiene límite f en las curvas de contorno Γ y Δ. Por lo tanto, F es el homeomorfismo requerido.
• El cuarto paso consiste en demostrar que cualquier homeomorfismo entre curvas de Jordan puede extenderse a un homeomorfismo entre las clausuras de sus interiores. Con el resultado del tercer paso es suficiente demostrar que cualquier homeomorfismo del borde de un triángulo se extiende a un homeomorfismo de la clausura de su interior. Esto es una consecuencia del truco de Alexander. (El truco de Alexander también establece un homeomorfismo entre el triángulo sólido y el disco cerrado: el homeomorfismo es simplemente la extensión radial natural de la proyección del triángulo sobre su circunferencia circunscrita con respecto a su circuncentro.)
• El paso final es demostrar que, dadas dos curvas de Jordan, existe un homeomorfismo del plano de apoyo compacto que lleva una curva sobre la otra. De hecho, cada curva de Jordan se encuentra dentro del mismo círculo grande y en el interior de cada círculo grande hay radios que unen dos puntos diagonalmente opuestos a la curva. Cada configuración divide el plano en el exterior del círculo grande, el interior de la curva de Jordan y la región entre los dos en dos regiones acotadas delimitadas por curvas de Jordan (formadas por dos radios, un semicírculo y una de las mitades de la curva de Jordan). Tómese el homeomorfismo identidad del círculo grande; homeomorfismos lineales por partes entre los dos pares de radios; y un homeomorfismo entre los dos pares de mitades de las curvas de Jordan dados por una reparametrización lineal. Los 4 homeomorfismos se juntan en los arcos de contorno para producir un homeomorfismo del plano dado por la identidad del círculo grande y que lleva una curva de Jordan sobre la otra.

Las demostraciones en el caso suave dependen de encontrar un difeomorfismo entre el interior/exterior de la curva y el disco unitario cerrado (o su complemento en el plano extendido). Esto se puede resolver, por ejemplo, utilizando el teorema de aplicación suave de Riemann , para el que hay varios métodos directos disponibles, por ejemplo, a través del problema de Dirichlet en la curva o los núcleos de Bergman . ^[10] (Tales difeomorfismos serán holomorfos en el interior y el exterior de la curva; se pueden construir difeomorfismos más generales más fácilmente utilizando campos vectoriales y flujos). Considerando que la curva suave se encuentra dentro del plano extendido o 2-esfera, estos métodos analíticos producen aplicaciones suaves hasta el límite entre el cierre del interior/exterior de la curva suave y los del círculo unitario. Las dos identificaciones de la curva suave y el círculo unitario diferirán por un difeomorfismo del círculo unitario. Por otra parte, un difeomorfismo f del círculo unitario puede extenderse a un difeomorfismo F del disco unitario mediante la extensión de Alexander :

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\theta })=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

donde ψ es una función suave con valores en [0,1], igual a 0 cerca de 0 y 1 cerca de 1, y f ( e ^{i θ} ) = e ^{ig (θ)} , con g (θ + 2π) = g (θ) + 2π . La composición de uno de los difeomorfismos con la extensión de Alexander permite unir los dos difeomorfismos para dar un homeomorfismo de la 2-esfera que se restringe a un difeomorfismo en el disco unitario cerrado y los cierres de su complemento que lleva al interior y exterior de la curva suave original. Por el teorema de isotopía en topología diferencial, ^[11] el homeomorfismo se puede ajustar a un difeomorfismo en toda la 2-esfera sin cambiarlo en el círculo unitario. Este difeomorfismo proporciona entonces la solución suave al problema de Schoenflies.

El teorema de Jordan-Schoenflies se puede deducir utilizando la topología diferencial . De hecho, es una consecuencia inmediata de la clasificación hasta el difeomorfismo de las 2-variedades orientadas de manera suave con borde, como se describe en Hirsch (1994). De hecho, la curva suave divide la 2-esfera en dos partes. Por la clasificación, cada una es difeomorfa con respecto al disco unitario y, teniendo en cuenta el teorema de isotopía, están pegadas entre sí por un difeomorfismo del borde. Por el truco de Alexander, tal difeomorfismo se extiende al propio disco. Por lo tanto, hay un difeomorfismo de la 2-esfera que lleva la curva suave al círculo unitario.

Por otra parte, el difeomorfismo también puede construirse directamente utilizando el teorema de Jordan-Schoenflies para polígonos y métodos elementales de topología diferencial, a saber, flujos definidos por campos vectoriales. ^[12] Cuando la curva de Jordan es suave (parametrizada por la longitud del arco) los vectores normales unitarios dan un campo vectorial no nulo X ₀ en un entorno tubular U ₀ de la curva. Tómese una curva poligonal en el interior de la curva cercana al límite y transversal a la curva (en los vértices el campo vectorial debe estar estrictamente dentro del ángulo formado por los bordes). Por el teorema de Jordan-Schoenflies lineal por partes, existe un homeomorfismo lineal por partes, afín en una triangulación apropiada del interior del polígono, que lleva el polígono a un triángulo. Tómese un punto interior P en uno de los triángulos pequeños de la triangulación. Corresponde a un punto Q en el triángulo imagen. Hay un campo vectorial radial en el triángulo imagen, formado por líneas rectas que apuntan hacia Q . Esto da una serie de líneas en los pequeños triángulos que forman el polígono. Cada una define un campo vectorial X _i en un entorno U _i del cierre del triángulo. Cada campo vectorial es transversal a los lados, siempre que Q se elija en "posición general" de modo que no sea colineal con ninguno de los bordes finitos de la triangulación. Trasladándolo si es necesario, se puede suponer que P y Q están en el origen 0. En el triángulo que contiene a P, el campo vectorial puede tomarse como el campo vectorial radial estándar. De manera similar, se puede aplicar el mismo procedimiento al exterior de la curva suave, después de aplicar la transformación de Möbius para mapearla en la parte finita del plano e ∞ a 0. En este caso, los entornos U _i de los triángulos tienen índices negativos. Tome los campos vectoriales X _i con un signo negativo, apuntando lejos del punto en el infinito. Juntos, U ₀ y los U _i con i ≠ 0 forman una cubierta abierta de la 2-esfera. Tome una partición suave de unidad ψ _i subordinada a la cubierta U _i y establezca

${\displaystyle \displaystyle {X=\sum \psi _{i}\cdot X_{i}.}}$

X es un campo vectorial suave en las dos esferas que se desvanece solo en 0 e ∞. Tiene índice 1 en 0 y -1 en ∞. Cerca de 0, el campo vectorial es igual al campo vectorial radial que apunta hacia 0. Si α _t es el flujo suave definido por X , el punto 0 es un punto de atracción e ∞ un punto de repulsión. Cuando t tiende a +∞, el flujo envía puntos a 0; mientras que cuando t tiende a –∞, los puntos se envían a ∞. Reemplazar X por f ⋅ X con f una función positiva suave cambia la parametrización de las curvas integrales de X , pero no las curvas integrales en sí mismas. Para una elección apropiada de f igual a 1 fuera de un anillo pequeño cerca de 0, las curvas integrales que comienzan en los puntos de la curva suave alcanzarán todas un círculo más pequeño que limita el anillo al mismo tiempo s . Por lo tanto, el difeomorfismo α _s lleva la curva suave a este círculo pequeño. Una transformación de escala, fijando 0 e ∞, lleva el círculo pequeño al círculo unitario. Al componer estos difeomorfismos se obtiene un difeomorfismo que lleva la curva suave al círculo unitario.

Existe una generalización de dimensiones superiores debida a Morton Brown  (1960) e independientemente a Barry Mazur  (1959) con Morse (1960), que también se llama teorema generalizado de Schoenflies . Establece que, si una esfera ( n  − 1)-dimensional S está incrustada en la esfera n -dimensional S ⁿ de una manera localmente plana (es decir, la incrustación se extiende a la de una esfera engrosada), entonces el par ( S ⁿ ,  S ) es homeomorfo al par ( S ⁿ , S ^{n −1} ), donde S ^{n −1} es el ecuador de la n -esfera. Brown y Mazur recibieron el Premio Veblen por sus contribuciones. Tanto la prueba de Brown como la de Mazur se consideran "elementales" y utilizan argumentos inductivos.

El problema de Schoenflies se puede plantear en categorías distintas de la categoría topológicamente localmente plana, es decir, ¿una ( n  − 1)-esfera incrustada suavemente (linealmente por partes) en la n -esfera limita una n -bola suave (lineal por partes) ? Para n  = 4, el problema sigue abierto para ambas categorías. Véase variedad de Mazur . Para n  ≥ 5, la pregunta en la categoría suave tiene una respuesta afirmativa y se deduce del teorema del h-cobordismo .

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