Extensión de álgebra

En álgebra abstracta , una extensión de álgebra es el equivalente en teoría de anillos de una extensión de grupo .

Precisamente, una extensión de anillo de un anillo R por un grupo abeliano I es un par ( E ,${\displaystyle \phi }$) que consiste en un anillo E y un homomorfismo de anillos${\displaystyle \phi }$que encaja en la corta secuencia exacta de grupos abelianos:

${\displaystyle 0\to I\to E{\overset {\phi }{{}\to {}}}R\to 0.}$^{[ 1 ]}

Esto hace que I sea isomorfo a un ideal bilateral de E.

Dado un anillo conmutativo A , una A -extensión o una extensión de un A -álgebra se define de la misma manera reemplazando "anillo" por " álgebra sobre A " y "grupos abelianos" por " A - módulos ".

Se dice que una extensión es trivial o se divide si${\displaystyle \phi }$divisiones; es decir,${\displaystyle \phi }$admite una sección que es un homomorfismo de anillos ^{[ 2 ]} (ver §  Ejemplo: extensión trivial ).

Un morfismo entre extensiones de R por I , sobre, digamos, A , es un homomorfismo de álgebra E → E ' que induce las identidades en I y R. Por el lema de los cinco , tal morfismo es necesariamente un isomorfismo , por lo que dos extensiones son equivalentes si existe un morfismo entre ellas.

Sea R un anillo conmutativo y M un R -módulo. Sea E = R ⊕ M la suma directa de grupos abelianos. Definimos la multiplicación en E por

${\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}$

Nótese que al identificar ( a , x ) con a + εx, donde ε² es cero, y expandir ( a + εx )( b + εy ) se obtiene la fórmula anterior; en particular, vemos que E es un anillo. A veces se le llama el álgebra de los números duales . Alternativamente, E puede definirse como${\displaystyle \operatorname {Sym} (M)/\bigoplus _{n\geq 2}\operatorname {Sym} ^{n}(M)}$dónde${\displaystyle \operatorname {Sym} (M)}$es el álgebra simétrica de M. ^{[ 3} ] Entonces tenemos la secuencia exacta ^corta

${\displaystyle 0\to M\to E{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}$

donde p es la proyección. Por lo tanto, E es una extensión de R por M. Es trivial ya que${\displaystyle r\mapsto (r,0)}$es una sección (tenga en cuenta que esta sección es un homomorfismo de anillos ya que${\displaystyle (1,0)}$es la identidad multiplicativa de E ). Recíprocamente, toda extensión trivial E de R por I es isomorfa a${\displaystyle R\oplus I}$si${\displaystyle I^{2}=0}$De hecho, identificar${\displaystyle R}$como un subanillo de E usando una sección, tenemos${\displaystyle (E,\phi )\simeq (R\oplus I,p)}$a través de${\displaystyle e\mapsto (\phi (e),e-\phi (e))}$. ^{[ 1 ]}

Una característica interesante de esta construcción es que el módulo M se convierte en un ideal de algún anillo nuevo. En su libro Anillos locales , Nagata llama a este proceso el principio de idealización . ^{[ 4 ]}

Especialmente en la teoría de deformaciones , es común considerar una extensión R de un anillo (conmutativo o no) por un ideal cuyo cuadrado es cero. Dicha extensión se llama extensión de cuadrado cero , extensión cuadrada o simplemente extensión. Para un ideal de cuadrado cero I , dado que I está contenido en los anuladores izquierdo y derecho de sí mismo, I es una${\displaystyle R/I}$-bimódulo.

De forma más general, una extensión mediante un ideal nilpotente se denomina extensión nilpotente . Por ejemplo, el cociente${\displaystyle R\to R_{\mathrm {rojo} }}$de un anillo conmutativo noetheriano por el nilradical es una extensión nilpotente.

En general,

${\displaystyle 0\to I^{n}/I^{n-1}\to R/I^{n-1}\to R/I^{n}\to 0}$

es una extensión de cero cuadrado. Por lo tanto, una extensión nilpotente se descompone en extensiones de cero cuadrado sucesivas. Debido a esto, generalmente basta con estudiar las extensiones de cero cuadrado para comprender las extensiones nilpotentes.

• Mapa formalmente suave
• El teorema principal de Wedderburn , una afirmación sobre una extensión mediante el radical de Jacobson.

• Sernesi, Edoardo (20 de abril de 2007). Deformaciones de esquemas algebraicos . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30615-3.

• Extensión de álgebra en nLab
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• Extensión de un álgebra asociativa en la Enciclopedia de Matemáticas