Álgebra sobre un cuerpo

En matemáticas , un álgebra sobre un cuerpo (a menudo llamada simplemente álgebra ) es un espacio vectorial dotado de un producto bilineal . Por lo tanto, un álgebra es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con operaciones de multiplicación y suma, y multiplicación escalar por elementos de un cuerpo , y que satisface los axiomas implícitos en "espacio vectorial" y "bilineal". ^[¹^]

La operación de multiplicación en un álgebra puede ser asociativa o no , lo que da lugar a las nociones de álgebras asociativas, donde se asume la asociatividad de la multiplicación, y álgebras no asociativas , donde no se asume la asociatividad (pero tampoco se excluye). Dado un entero $n$ , el anillo de matrices cuadradas reales de orden $n$ es un ejemplo de álgebra asociativa sobre el campo de los números reales bajo la suma y la multiplicación de matrices , ya que la multiplicación de matrices es asociativa. El espacio euclidiano tridimensional con la multiplicación dada por el producto vectorial es un ejemplo de álgebra no asociativa sobre el campo de los números reales, ya que el producto vectorial no es asociativo, sino que satisface la identidad de Jacobi .

Un álgebra es unitaria si posee un elemento neutro respecto a la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden $n$ constituye un álgebra unitaria, ya que la matriz identidad de orden $n$ es el elemento neutro respecto a la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de álgebra asociativa unitaria, un anillo (unitario) que también es un espacio vectorial.

Muchos autores utilizan el término álgebra para referirse al álgebra asociativa , o al álgebra asociativa unitaria , o en algunas materias como la geometría algebraica , al álgebra conmutativa asociativa unitaria .

Sustituir el cuerpo de escalares por un anillo conmutativo conduce a la noción más general de álgebra sobre un anillo . Las álgebras no deben confundirse con espacios vectoriales dotados de una forma bilineal , como los espacios con producto interno , ya que, para tales espacios, el resultado de un producto no se encuentra en el espacio, sino en el cuerpo de coeficientes.

Definición y motivación

Ejemplos motivadores

Definición

Sea $K$ un cuerpo y sea $A$ un espacio vectorial sobre $K equipado con una$ operación binaria adicional de $A \times A$ a $A$ , denotada aquí por $\cdot$ (es decir, si $x$ e $y$ son dos elementos cualesquiera de $A$ , entonces $x \cdot y$ es un elemento de $A$ que se llama el producto de $x$ e $y$ ). Entonces $A$ es un álgebra sobre $K$ si se cumplen las siguientes identidades para todos los elementos $x, y, z$ en $A$ , y para todos los elementos (a menudo llamados escalares ) $a$ y $b$ en $K$ :

Distributividad derecha : $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
Distributividad izquierda: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
Compatibilidad con escalares: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

Estas tres condiciones son otra forma de decir que la operación binaria es bilineal . Un álgebra sobre $K$ también se denomina a veces álgebra $K$ , y $K$ se denomina cuerpo base de $A.$ La operación binaria se suele denominar multiplicación en $A.$ La convención adoptada en este artículo es que la multiplicación de elementos de un álgebra no es necesariamente asociativa , aunque algunos autores utilizan el término álgebra para referirse a un álgebra asociativa .

Cuando una operación binaria en un espacio vectorial es conmutativa , la distributividad izquierda y la distributividad derecha son equivalentes y, en este caso, solo una de ellas requiere demostración. En general, para operaciones no conmutativas, la distributividad izquierda y la distributividad derecha no son equivalentes y requieren demostraciones independientes.

Conceptos básicos

homomorfismos algebraicos

Dadas $las K$ -álgebras $A$ y $B$ , un homomorfismo de $K$ -álgebras o homomorfismo de $K$ - álgebras es una aplicación lineal K $f$ $:$ $A$ $\to$ $B$ $tal$ que $f$ $($ $xy$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ $f$ $($ $y$ $)$ para todo $x$ $,$ $y$ en $A$ . Si $A$ y $B$ son unitarias, entonces un homomorfismo que satisface $f$ $(1$ $A$ $) = 1$ $B$ se dice que es un homomorfismo unitario. El espacio de todos los homomorfismos $de K$ -álgebras entre $A$ y $B$ se escribe frecuentemente como

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

Un isomorfismo $de K$ -álgebras es un homomorfismo biyectivo $de K -álgebras.$

Subálgebras e ideales

Una subálgebra de un álgebra sobre un cuerpo $K$ es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que el producto de cualesquiera dos de sus elementos también pertenece a dicho subespacio. En otras palabras, una subálgebra de un álgebra es un subconjunto no vacío de elementos que es cerrado bajo la suma, la multiplicación y la multiplicación escalar. En símbolos, decimos que un subconjunto $L$ de un álgebra $A$ sobre $K$ es una subálgebra si para todo $x$ , $y$ en $L$ y $c$ en $K$ , se cumple que $x$ $\cdot$ $y$ , $x$ $+$ $y$ y $cx$ pertenecen a $L.$

En el ejemplo anterior de los números complejos vistos como un álgebra bidimensional sobre los números reales, la recta real unidimensional es una subálgebra.

Un ideal izquierdo de un álgebra $K$ es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que cualquier elemento del subespacio multiplicado por la izquierda por cualquier elemento del álgebra produce un elemento del subespacio. En símbolos, decimos que un subconjunto $L$ de un álgebra $K$ $A$ es un ideal izquierdo si para cada $x e$ $y$ en L $,$ z $en$ A $y$ c $en$ K $,$ se cumplen las siguientes tres afirmaciones.

$x + y$ está en $L$ ( $L$ es cerrado bajo la suma),
$cx$ está en $L$ ( $L$ es cerrado bajo la multiplicación escalar),
$z \cdot x$ está en $L$ ( $L$ es cerrado bajo la multiplicación por la izquierda por elementos arbitrarios).

Si (3) se reemplazara por $x \cdot z$ está en $L$ , entonces esto definiría un ideal derecho . Un ideal bilateral es un subconjunto que es a la vez un ideal izquierdo y un ideal derecho. El término ideal por sí solo generalmente se entiende como un ideal bilateral. Por supuesto, cuando el álgebra es conmutativa, entonces todas estas nociones de ideal son equivalentes. Las condiciones (1) y (2) juntas son equivalentes a que $L$ sea un subespacio lineal de $A.$ De la condición (3) se deduce que todo ideal izquierdo o derecho es una subálgebra.

Esta definición difiere de la definición de ideal de un anillo , ya que aquí requerimos la condición (2). Por supuesto, si el álgebra es unitaria, entonces la condición (3) implica la condición (2).

Extensión de escalares

Si tenemos una extensión de cuerpo $F / K$ , es decir, un cuerpo mayor $F$ que contiene $a K$ , entonces hay una forma natural de construir un álgebra sobre $F$ a partir de cualquier álgebra sobre $K.$ Es la misma construcción que se usa para crear un espacio vectorial sobre un cuerpo mayor, a saber, el producto tensorial $V F := V \otimes K F.$ Así, si $A$ es un álgebra sobre $K$ , entonces $A F$ es un álgebra sobre $F.$

Tipos de álgebra y ejemplos

Existen muchos tipos diferentes de álgebras sobre cuerpos. Estos tipos se especifican al exigir ciertos axiomas adicionales, como la conmutatividad o la asociatividad de la operación de multiplicación, que no son necesarios en la definición general de álgebra. Las teorías correspondientes a los distintos tipos de álgebras suelen ser muy diferentes.

Álgebra unitaria

Un álgebra es unitaria si tiene un elemento identidad $I$ tal que $Ix$ $=$ $x$ $=$ $xI$ para todo $x$ en el álgebra.

Álgebra cero

Un álgebra se denomina álgebra cero si $uv = 0$ para todo $u$ , $v$ en el álgebra, ^{[ 2 ]} que no debe confundirse con el álgebra con un solo elemento. Es inherentemente no unitaria (excepto en el caso de un solo elemento), asociativa y conmutativa.

Un álgebra cero unitaria es la suma directa $K \oplus V$ de un cuerpo $K$ y un espacio vectorial $V sobre$ $K$ , que está equipada con la única multiplicación que es cero en el espacio vectorial (o módulo), y la convierte en un álgebra unitaria.

Más precisamente, cada elemento del álgebra puede escribirse de forma única como $k + v$ con $k \in K$ y $v \in V$ , y el producto es la única operación bilineal tal que $vw = 0$ para todo $v$ y $w$ en $V.$ Entonces, si $k 1, k 2 \in K$ y $v 1, v 2 \in V$ , se tiene $(k_{1}+v_{1})(k_{2}+v_{2})=k_{1}k_{2}+(k_{1}v_{2}+k_{2}v_{1}).$

Un ejemplo clásico de álgebra de cero unitario es el álgebra de números duales , el álgebra $R$ de cero unitario construida a partir de un espacio vectorial real unidimensional.

Esta definición se extiende textualmente a la definición de un álgebra cero unitaria sobre un anillo conmutativo , reemplazando "cuerpo" y "espacio vectorial" por "anillo conmutativo" y " módulo ".

Las álgebras unitarias cero permiten la unificación de la teoría de submódulos de un módulo dado y la teoría de ideales de un álgebra unitaria. De hecho, los submódulos de un módulo $V$ corresponden exactamente a los ideales de $K \oplus V$ que están contenidos en $V.$

Por ejemplo, la teoría de bases de Gröbner fue introducida por Bruno Buchberger para ideales en un anillo de polinomios $R = K [x 1, ..., x n]$ sobre un cuerpo. La construcción del álgebra de ceros unitarios sobre un $R$ -módulo libre permite extender esta teoría como una teoría de bases de Gröbner para submódulos de un módulo libre. Esta extensión permite, para calcular una base de Gröbner de un submódulo, utilizar, sin ninguna modificación, cualquier algoritmo y cualquier software para calcular bases de Gröbner de ideales.

De manera similar, las álgebras cero unitarias permiten deducir directamente el teorema de Lasker-Noether para módulos (sobre un anillo conmutativo) a partir del teorema original de Lasker-Noether para ideales.

Álgebra asociativa

Ejemplos de álgebras asociativas incluyen:

el álgebra de todas las matrices $n$ x $n$ sobre un cuerpo (o anillo conmutativo) $K.$ Aquí la multiplicación es la multiplicación de matrices ordinaria .
álgebras de grupo , donde un grupo sirve como base del espacio vectorial y la multiplicación de álgebras extiende la multiplicación de grupos.
el álgebra conmutativa $K [x]$ de todos los polinomios sobre $K$ (véase anillo de polinomios ).
Álgebras de funciones , como el álgebra $R$ de todas las funciones continuas de valor real definidas en el intervalo $[0, 1]$ , o el álgebra $C$ de todas las funciones holomorfas definidas en algún conjunto abierto fijo en el plano complejo . Estas también son conmutativas.
Las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados .
Álgebras de operadores lineales , por ejemplo, en un espacio de Hilbert . Aquí, la multiplicación de álgebras viene dada por la composición de operadores. Estas álgebras también poseen una topología ; muchas de ellas se definen en un espacio de Banach subyacente , lo que las convierte en álgebras de Banach . Si además se da una involución, obtenemos álgebras B* y C* . Estas se estudian en análisis funcional .

Álgebra no asociativa

Un álgebra no asociativa ^{[ 3 ]} (o álgebra distributiva ) sobre un cuerpo $K$ es un espacio vectorial $K$ -A equipado con una aplicación bilineal $K$ - $A$ $\times$ $A$ $\to$ $A.$ El uso de "no asociativa" aquí pretende transmitir que no se asume la asociatividad, pero no significa que esté prohibida; es decir, significa "no necesariamente asociativa".

Algunos ejemplos detallados en el artículo principal incluyen:

Espacio euclidiano $R³$ con multiplicación dada por el producto vectorial $.$
Octoniones
álgebras de Lie
álgebras de Jordan
Álgebras alternativas
Álgebras flexibles
Álgebras asociativas de potencias

Álgebras y anillos

La definición de un álgebra $K$ asociativa con unidad también se da frecuentemente de forma alternativa. En este caso, un álgebra sobre un cuerpo $K$ es un anillo $A$ junto con un homomorfismo de anillos.

\eta \dos puntos K\to Z(A),

donde $Z (A)$ es el centro de $A.$ Dado que $η$ es un homomorfismo de anillos, entonces se debe tener que $A$ es el anillo cero , o que $η$ es inyectivo . Esta definición es equivalente a la anterior, con multiplicación escalar.

K\times A\to A

dado por

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

$Dadas dos K$ -álgebras asociativas unitarias $A$ y $B$ , un homomorfismo $de K$ -álgebras unitarias $f : A \to B$ es un homomorfismo de anillos que conmuta con la multiplicación escalar definida por $η$ , que se puede escribir como

f(ka)=kf(a)

para todo $k \in K$ y $a \in A.$ En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta:

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

Coeficientes de estructura

Para álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de $A \times A$ a $A$ está completamente determinada por la multiplicación de los elementos base de $A.$ Recíprocamente, una vez que se ha elegido una base para $A$ , los productos de los elementos base se pueden establecer arbitrariamente y luego extender de manera única a un operador bilineal en $A$ , es decir, de modo que la multiplicación resultante satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo $K$ , cualquier álgebra de dimensión finita puede especificarse salvo isomorfismo indicando su dimensión (por ejemplo, $n$ ) y especificando $n 3$ coeficientes de estructura $c i, j, k$ , que son escalares . Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en $A$ mediante la siguiente regla:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

donde $e 1$ , ..., $e n$ forman una base de $A$ .

Cabe señalar, sin embargo, que varios conjuntos diferentes de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática , los coeficientes de estructura generalmente se escriben con índices superiores e inferiores para distinguir sus propiedades de transformación bajo transformaciones de coordenadas. Específicamente, los índices inferiores son covariantes y se transforman mediante retrocesos , mientras que los índices superiores son contravariantes y se transforman mediante impulsos . Por lo tanto, los coeficientes de estructura a menudo se escriben $c i, j k$ , y su regla de definición se escribe utilizando la notación de Einstein como

e i e j = c i, j k e k

.

Aplicando esto a vectores escritos en notación de índices , entonces se obtiene

(xy) k = c i, j k x i y j

.

Si $K$ es solo un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces el mismo proceso funciona si $A$ es un módulo libre sobre $K.$ Si no lo es, la multiplicación sigue estando completamente determinada por su acción sobre un conjunto que genera $A$ ; sin embargo, en este caso las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente, y conocer solo las constantes de estructura no especifica el álgebra salvo isomorfismo.

Clasificación de álgebras asociativas unitarias de baja dimensión sobre los números complejos

Las álgebras asociativas unitarias bidimensionales, tridimensionales y cuatridimensionales sobre el campo de los números complejos fueron clasificadas completamente salvo isomorfismo por Eduard Study . ^{[ 4 ]}

Existen dos álgebras bidimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales (con coeficientes complejos) de dos elementos base, $1$ (el elemento identidad) y $a$ . Según la definición de un elemento identidad,

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

Queda por especificar

\textstyle aa=1

para el primer álgebra,

\textstyle aa=0

para la segunda álgebra.

Existen cinco álgebras tridimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales de tres elementos base, $1$ (el elemento identidad), $a$ y $b$ . Teniendo en cuenta la definición de un elemento identidad, basta con especificar

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

para el primer álgebra,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

para la segunda álgebra,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

para la tercera álgebra,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

para el cuarto álgebra,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

para el quinto álgebra.

La cuarta de estas álgebras no es conmutativa, y las demás sí lo son.

Generalización: álgebra sobre un anillo

En algunas áreas de las matemáticas, como el álgebra conmutativa , es común considerar el concepto más general de un álgebra sobre un anillo , donde un anillo conmutativo $R$ reemplaza al cuerpo $K.$ La única parte de la definición que cambia es que se supone que $A$ es un $R$ -módulo (en lugar de un espacio vectorial sobre $K ).$

Álgebras asociativas sobre anillos

Un anillo $A$ es siempre un álgebra asociativa sobre su centro y sobre los enteros . Un ejemplo clásico de álgebra sobre su centro es el álgebra de bicuaterniones divididos , que es isomorfa a $H \times H$ , el producto directo de dos álgebras de cuaterniones . El centro de ese anillo es $R \times R , y por lo tanto tiene la estructura de un álgebra sobre su centro, que no es un cuerpo. Nótese que el álgebra de bicuaterniones divididos es también, naturalmente, un álgebra$ $R$ de 8 dimensiones .

En álgebra conmutativa, si $A$ es un anillo conmutativo , entonces cualquier homomorfismo de anillos unitario $R \to A$ define una estructura de $R -módulo en$ $A$ , y esto es lo que se conoce como la estructura de $R$ -álgebra. ^{[ 5 ]} Así, un anillo viene con una estructura de $Z$ -módulo natural, ya que se puede tomar el homomorfismo único $Z \to A.$ ^{[ 6} ] Por otro lado, no a todos los anillos se les puede dar la estructura de un álgebra sobre un cuerpo (por ejemplo ^, los enteros). Véase Campo con un elemento para una descripción de un intento de dar a cada anillo una estructura que se comporte como un álgebra sobre un cuerpo.

Véase también

Notas

↑ Véase también Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004 , p. 3 Proposición 1.1.1
↑ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lema 4.10" . Aproximación de funciones vectoriales . Elsevier. pág. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
↑ Schafer, Richard D. (1996). Introducción a las álgebras no asociativas . Courier Corporation. ISBN 0-486-68813-5.
^ Estudio, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik , 1 (1): 283– 354, doi : 10.1007/BF01692479 , S2CID 121426669
↑ Matsumura, H. (1989). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Traducido por Reid, M. (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
↑ Kunz, Ernst (1985). Introducción al álgebra conmutativa y a la geometría algebraica . Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

Referencias

Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . vol. 1. Saltador. ISBN 1-4020-2690-0.

[1] Véase también Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko 2004 , p. 3 Proposición 1.1.1

[2] Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lema 4.10" . Aproximación de funciones vectoriales . Elsevier. pág. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.

[Schafer-3] Schafer, Richard D. (1996). Introducción a las álgebras no asociativas . Courier Corporation. ISBN 0-486-68813-5.

[4] Estudio, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik , 1 (1): 283– 354, doi : 10.1007/BF01692479 , S2CID 121426669

[5] Matsumura, H. (1989). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Traducido por Reid, M. (2.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.

[6] Kunz, Ernst (1985). Introducción al álgebra conmutativa y a la geometría algebraica . Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

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