Mutación (álgebra)

En la teoría de álgebras sobre un cuerpo , la mutación es la construcción de una nueva operación binaria relacionada con la multiplicación del álgebra. En casos específicos, el álgebra resultante puede denominarse homotopo o isótopo del original.

Sea A un álgebra sobre un cuerpo F con la multiplicación (no se asume asociativa ) denotada por yuxtaposición. Para un elemento a de A , definimos el a -homotopo izquierdo .${\displaystyle A(a)}$ser el álgebra con multiplicación

${\displaystyle x*y=(xa)y.\,}$

De forma similar, defina la mutación izquierda ( a , b ).${\displaystyle A(a,b)}$

${\displaystyle x*y=(xa)y-(yb)x.\,}$

El homotopo derecho y la mutación se definen de forma análoga. Dado que la mutación derecha ( p , q) de A es la mutación izquierda (−q , −p  ) del álgebra opuesta a A , basta con estudiar las mutaciones izquierdas. ^{[ 1 ]}

Si A es un álgebra unitaria y a es invertible, nos referimos al isótopo por a .

• Si A es asociativo, también lo es cualquier homotopo de A , y cualquier mutación de A es admisible según Lie .
• Si A es alternativa, entonces también lo es cualquier homotopo de A , y cualquier mutación de A es admisible según Malcev . ^{[ 1 ]}
• Cualquier isótopo de un álgebra de Hurwitz es isomorfo al original. ^{[ 1 ]}
• Un homótopo de un álgebra de Bernstein por un elemento de peso distinto de cero es también un álgebra de Bernstein. ^{[ 2 ]}

Un álgebra de Jordan es un álgebra conmutativa que satisface la identidad de Jordan.${\displaystyle (xy)(xx)=x(y(xx))}$El triple producto de Jordan se define por

${\displaystyle \{a,b,c\}=(ab)c+(cb)a-(ac)b.\,}$

Para y en A la mutación ^{[ 3 ]} u homotopo ^{[ 4 ]} A ^y se define como el espacio vectorial A con multiplicación

${\displaystyle a\circ b=\{a,y,b\}.\,}$

y si y es invertible, se le denomina isótopo . Un homotopo de un álgebra de Jordan es también un álgebra de Jordan: la isotopía define una relación de equivalencia. ^{[ 5 ]} Si y es nuclear , entonces el isótopo de y es isomorfo al original. ^{[ 6 ]}

• Elduque, Alberto; Myung, Hyo Chyl (1994). Mutaciones de álgebras alternativas . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol.  278. Springer-Verlag . ISBN 0792327357.
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