Carácter algebraico

Un carácter algebraico es una expresión formal adjunta a un módulo en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples que generaliza el carácter de una representación de dimensión finita y es análogo al carácter de Harish-Chandra de las representaciones de grupos de Lie semisimples .

Sea un álgebra de Lie semisimple con una subálgebra de Cartan fija y sea el grupo abeliano formado por las combinaciones lineales integrales formales (posiblemente infinitas) de , donde , el espacio vectorial (complejo) de pesos. Supóngase que es un módulo de peso localmente finito . Entonces el carácter algebraico de es un elemento de definido por la fórmula: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}},}$${\displaystyle A=\mathbb {Z} [[{\mathfrak {h}}^{*}]]}$${\displaystyle e^{\mu }}$${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización A}$

${\displaystyle ch(V)=\sum _{\mu }\dim V_{\mu }e^{\mu },}$

donde la suma se toma sobre todos los espacios de peso del módulo${\estilo de visualización V.}$

El carácter algebraico del módulo de Verma con mayor peso viene dado por la fórmula ${\displaystyle M_{\lambda}}$${\estilo de visualización \lambda}$

${\displaystyle ch(M_{\lambda })={\frac {e^{\lambda }}{\prod _{\alpha >0}(1-e^{-\alpha })}},}$

con el producto asumido el conjunto de raíces positivas.

Los caracteres algebraicos se definen para módulos de peso localmente finitos y son aditivos , es decir, el carácter de una suma directa de módulos es la suma de sus caracteres. Por otro lado, aunque se puede definir la multiplicación de los exponentes formales por la fórmula y extenderla a sus combinaciones lineales finitas por linealidad, esto no se convierte en un anillo, debido a la posibilidad de sumas infinitas formales. Por lo tanto, el producto de caracteres algebraicos está bien definido solo en situaciones restringidas; por ejemplo, para el caso de un módulo de peso más alto o un módulo de dimensión finita. En buenas situaciones, el carácter algebraico es multiplicativo , es decir, el carácter del producto tensorial de dos módulos de peso es el producto de sus caracteres. ${\displaystyle e^{\mu }\cdot e^{\nu }=e^{\mu +\nu }}$${\estilo de visualización A}$

Los caracteres también se pueden definir casi textualmente para módulos de peso en un álgebra de Lie de Kac-Moody o de Kac-Moody generalizada .

• Representación algebraica
• Fórmula del personaje Weyl-Kac

• Weyl, Hermann (1946). Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones . Princeton University Press. ISBN 0-691-05756-7. Consultado el 26 de marzo de 2007 .
• Kac, Victor G (1990). Álgebras de Lie de dimensión infinita. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8. Consultado el 26 de marzo de 2007 .
• Wallach, Nolan R; Goodman, Roe (1998). Representaciones e invariantes de los grupos clásicos. Cambridge University Press. ISBN 0-521-66348-2. Consultado el 26 de marzo de 2007 .