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Geometría algebraica y geometría analítica

En matemáticas , la geometría algebraica y la geometría analítica son dos disciplinas estrechamente relacionadas. Mientras que la geometría algebraica estudia las variedades alg...

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En matemáticas , la geometría algebraica y la geometría analítica son dos disciplinas estrechamente relacionadas. Mientras que la geometría algebraica estudia las variedades algebraicas , la geometría analítica se ocupa de las variedades complejas y de los espacios analíticos más generales definidos localmente por la anulación de funciones analíticas de varias variables complejas . La profunda relación entre estas disciplinas tiene numerosas aplicaciones en las que se aplican técnicas algebraicas a espacios analíticos y técnicas analíticas a variedades algebraicas.

Declaración principal

Dejarincógnita{\displaystyle X}ser una variedad algebraica compleja proyectiva . Porqueincógnita{\displaystyle X}es una variedad compleja, su conjunto de puntos complejosincógnita(do){\displaystyle X(\mathbb {C} )}Se le puede dar la estructura de un espacio analítico complejo compacto . Este espacio analítico se denotaincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}. De manera similar, siF{\displaystyle {\mathcal {F}}}es un haz enincógnita{\displaystyle X}, entonces hay un haz correspondienteFun{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{un}}}enincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}Esta asociación de un objeto analítico con uno algebraico es un functor . El teorema prototípico que relacionaincógnita{\displaystyle X}yincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}dice que para cualesquiera dos haces coherentesF{\displaystyle {\mathcal {F}}}yGRAMO{\displaystyle {\mathcal {G}}}enincógnita{\displaystyle X}, el homomorfismo natural

InicioOincógnita(F,GRAMO)→InicioOincógnitaun(Fun,GRAMOun){\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})\rightarrow {\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}({\mathcal {F}}^{\text{an}},{\mathcal {G}}^{\text{an}})}

es un isomorfismo. AquíOincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}es el haz de estructura de la variedad algebraicaincógnita{\displaystyle X}yOincógnitaun{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}es el haz estructural de la variedad analíticaincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}. Más precisamente, la categoría de haces coherentes en la variedad algebraicaincógnita{\displaystyle X}es equivalente a la categoría de haces coherentes analíticos en la variedad analítica.incógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}y la equivalencia se da en objetos mediante mapeoF{\displaystyle {\mathcal {F}}}aFun{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\text{un}}}. En particular, Oincógnitaun{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\text{an}}}es en sí mismo coherente, un resultado conocido como el teorema de coherencia de Oka , [ 1 ] y también, se demostró en “Faisceaux Algebriques Coherents” [ 2 ] que el haz de estructura de la variedad algebraicaOincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}es coherente. [ 3 ]

Otra afirmación importante es la siguiente: para cualquier haz coherenteF{\displaystyle {\mathcal {F}}}en una variedad algebraicaincógnita{\displaystyle X}los homomorfismos

εq : Hq(incógnita,F)→Hq(incógnitaun,Fun){\displaystyle \varepsilon _{q}\ :\ H^{q}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{q}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}}^{\text{an}})}

son isomorfismos para todosq{\displaystyle q}'s. Esto significa que elq{\displaystyle q}-th grupo de cohomología de haces enincógnita{\displaystyle X}es isomorfo al grupo de cohomología enincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}.

El teorema tiene una aplicación mucho más general de lo que se afirma anteriormente (véase la formulación formal a continuación). Tanto el teorema como su demostración tienen numerosas consecuencias, como el teorema de Chow , el principio de Lefschetz y el teorema de desaparición de Kodaira .

Fondo

Las variedades algebraicas se definen localmente como los conjuntos de ceros comunes de los polinomios y, dado que los polinomios sobre los números complejos son funciones holomorfas , las variedades algebraicas sobredo{\displaystyle \mathbb {C} }pueden interpretarse como espacios analíticos. De manera similar, los morfismos regulares entre variedades se interpretan como aplicaciones holomorfas entre espacios analíticos. Sorprendentemente, a menudo es posible ir en la dirección opuesta, es decir, interpretar objetos analíticos de forma algebraica.

Por ejemplo, es fácil demostrar que las funciones analíticas de la esfera de Riemann a sí misma son funciones racionales o funciones idénticamente infinitas (una extensión del teorema de Liouville ). Porque si tal funciónF{\displaystyle f}es no constante, entonces dado que el conjunto dez{\displaystyle z}dóndeF(z){\displaystyle f(z)}es infinito está aislado y la esfera de Riemann es compacta, hay un número finito dez{\displaystyle z}conF(z){\displaystyle f(z)}igual a infinito. Consideremos la expansión de Laurent en todos esosz{\displaystyle z}y restamos la parte singular: nos queda una función en la esfera de Riemann con valores endo{\displaystyle \mathbb {C} }, que por el teorema de Liouville es constante. Por lo tantoF{\displaystyle f}es una función racional. Este hecho demuestra que no hay una diferencia esencial entre la línea proyectiva compleja como variedad algebraica o como esfera de Riemann .

Resultados importantes

Existe una larga historia de comparaciones entre la geometría algebraica y la geometría analítica, que se remonta al siglo XIX. Algunos de los avances más importantes se enumeran aquí en orden cronológico.

Teorema de existencia de Riemann

La teoría de superficies de Riemann muestra que una superficie de Riemann compacta tiene suficientes funciones meromorfas sobre ella, convirtiéndola en una curva algebraica (proyectiva suave) . Bajo el nombre de teorema de existencia de Riemann [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] se conocía un resultado más profundo sobre recubrimientos ramificados de una superficie de Riemann compacta: tales recubrimientos finitos como espacios topológicos se clasifican por representaciones de permutación del grupo fundamental del complemento de los puntos de ramificación . Dado que la propiedad de superficie de Riemann es local, tales recubrimientos se ven fácilmente como recubrimientos en el sentido analítico complejo. Entonces es posible concluir que provienen de mapas de recubrimiento de curvas algebraicas , es decir, tales recubrimientos provienen de extensiones finitas del cuerpo de funciones .

El principio de Lefschetz

En el siglo XX, el principio de Lefschetz , que lleva el nombre de Solomon Lefschetz , se citó en geometría algebraica para justificar el uso de técnicas topológicas en geometría algebraica sobre cualquier cuerpo algebraicamente cerrado K de característica 0, tratando a K como si fuera el cuerpo de los números complejos. Una forma elemental de este principio afirma que las afirmaciones verdaderas de la teoría de cuerpos de primer orden sobre C son verdaderas para cualquier cuerpo algebraicamente cerrado K de característica cero. Un principio preciso y su demostración se deben a Alfred Tarski y se basan en la lógica matemática . [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

Este principio permite extender algunos resultados obtenidos mediante métodos analíticos o topológicos para variedades algebraicas sobre C a otros cuerpos base algebraicamente cerrados de característica 0. (p. ej., el teorema de anulación de tipo Kodaira . [ 11 ] )

Teorema de Chow

El teorema de Chow ( Chow (1949) ), demostrado por Wei-Liang Chow , es un ejemplo del tipo de comparación más útil disponible. Afirma que un subespacio analítico del espacio proyectivo complejo que es cerrado (en el sentido topológico ordinario) es una subvariedad algebraica. [ 12 ] Esto puede reformularse como «cualquier subespacio analítico del espacio proyectivo complejo que es cerrado en la topología fuerte es cerrado en la topología de Zariski ». Esto permite un uso bastante libre de los métodos analíticos complejos dentro de las partes clásicas de la geometría algebraica.

GAGÁ

Las bases de las numerosas relaciones entre ambas teorías se establecieron a principios de la década de 1950, como parte del trabajo de fundamentar la geometría algebraica, incluyendo, por ejemplo, técnicas de la teoría de Hodge . El artículo principal que consolidó la teoría fue Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique de Jean-Pierre Serre , [ 13 ] ahora conocido como GAGA . Este artículo demuestra resultados generales que relacionan clases de variedades algebraicas, morfismos regulares y haces con clases de espacios analíticos, aplicaciones holomorfas y haces. Reduce todo esto a la comparación de categorías de haces.

Actualmente, la expresión «resultado al estilo GAGA» se utiliza para cualquier teorema de comparación que permita el paso entre una categoría de objetos de la geometría algebraica, y sus morfismos, a una subcategoría bien definida de objetos de la geometría analítica y aplicaciones holomorfas.

Declaración formal de GAGA

  1. Dejar(incógnita,Oincógnita){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}ser un esquema de tipo finito sobredo{\displaystyle \mathbb {C} }. Entonces hay un espacio topológicoincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}que consiste en los puntos cerrados deincógnita{\displaystyle X}con un mapa de inclusión continuaλincógnita:incógnitaanorte→incógnita{\displaystyle \lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\to X}. La topología enincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}Se denomina "topología compleja" (y es muy diferente de la topología de subespacios).
  2. Suponerϕ:incógnita→Y{\displaystyle \phi :X\to Y}es un morfismo de esquemas de tipo localmente finito sobredo{\displaystyle \mathbb {C} }Entonces existe un mapa continuoϕanorte:incógnitaanorte→Yanorte{\displaystyle \phi ^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }}de tal manera queλY∘ϕanorte=ϕ∘λincógnita{\displaystyle \lambda _ {Y}\circ \phi ^{\mathrm {an} }=\phi \circ \lambda _ {X}}.
  3. Hay un hazOincógnitaanorte{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}enincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}de tal manera que(incógnitaanorte,Oincógnitaanorte){\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}es un espacio anillado yλincógnita:incógnitaanorte→incógnita{\displaystyle \lambda _{X}:X^{\mathrm {an} }\to X}se convierte en un mapa de espacios anillados. El espacio(incógnitaanorte,Oincógnitaanorte){\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}se denomina la "analitificación" de(incógnita,Oincógnita){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}y es un espacio analítico. Para cadaϕ:incógnita→Y{\displaystyle \phi :X\to Y}el mapaϕanorte{\displaystyle \phi ^{\mathrm {an} }}Lo definido anteriormente es un mapeo de espacios analíticos. Además, el mapeoϕ↦ϕanorte{\displaystyle \phi \mapsto \phi ^{\mathrm {an} }}mapea inmersiones abiertas en inmersiones abiertas. Siincógnita=Especulación⁡(do[incógnita1,…,incógnitanorte]){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}])}entoncesincógnitaanorte=donorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }=\mathbb {C} ^{n}}yOincógnitaanorte(U){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }(U)}para cada polidiscoU{\displaystyle U}es un cociente adecuado del espacio de funciones holomorfas enU{\displaystyle U}.
  4. Por cada gavillaF{\displaystyle {\mathcal {F}}}enincógnita{\displaystyle X}(llamado haz algebraico) hay un hazFanorte{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}enincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}(llamado haz analítico) y un mapa de haces deOincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}-módulosλincógnita∗:F→(λincógnita)∗Fanorte{\displaystyle \lambda _ {X}^{*}:{\mathcal {F}}\rightarrow (\lambda _ {X})_{*}{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}. El hazFanorte{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}se define comoλincógnita−1F⊗λincógnita−1OincógnitaOincógnitaanorte{\displaystyle \lambda _ {X}^{-1}{\mathcal {F}}\otimes _ {\lambda _ {X}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}La correspondenciaF↦Fanorte{\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}define un functor exacto de la categoría de haces sobre(incógnita,Oincógnita){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}a la categoría de gavillas de(incógnitaanorte,Oincógnitaanorte){\displaystyle (X^{\mathrm {an} },{\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} })}Las dos afirmaciones siguientes son el núcleo del teorema GAGA de Serre [ 14 ] [ 15 ] (tal como lo extendieron Alexander Grothendieck , Amnon Neeman y otros) .
  5. SiF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}es un morfismo arbitrario de esquemas de tipo finito sobredo{\displaystyle \mathbb {C} }yF{\displaystyle {\mathcal {F}}}es coherente entonces el mapa natural(F∗F)anorte→F∗anorteFanorte{\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\rightarrow f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}es inyectivo. SiF{\displaystyle f}Si es apropiado, entonces este mapa es un isomorfismo. También se tienen isomorfismos de todos los haces de imágenes directas de orden superior.(RiF∗F)anorte≅RiF∗anorteFanorte{\displaystyle (R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})^{\mathrm {an} }\cong R^{i}f_{*}^{\mathrm {an} }{\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }}en este caso. [ 16 ]
  6. Ahora supongamos queincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}es Hausdorff y compacto. SiF,GRAMO{\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}son dos haces algebraicos coherentes en(incógnita,Oincógnita){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}y siF:Fanorte→GRAMOanorte{\displaystyle f\colon {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\rightarrow {\mathcal {G}}^{\mathrm {an} }}es un mapa de gavillas deOincógnitaanorte{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}-módulos entonces existe un mapa único de haces deOincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}-módulosφ:F→GRAMO{\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}} conF=φanorte{\displaystyle f=\varphi ^{\mathrm {an} }}. SiR{\displaystyle {\mathcal {R}}}es un haz analítico coherente deOincógnitaanorte{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\mathrm {an} }}-módulos sobreincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}entonces existe un haz algebraico coherenteF{\displaystyle {\mathcal {F}}}deOincógnita{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}-módulos y un isomorfismoFanorte≅R{\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathrm {an} }\cong {\mathcal {R}}}.

En un grado de generalidad ligeramente menor, el teorema GAGA afirma que la categoría de haces algebraicos coherentes en una variedad proyectiva complejaincógnita{\displaystyle X}y la categoría de haces analíticos coherentes en el espacio analítico correspondienteincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}son equivalentes. El espacio analíticoincógnitaanorte{\displaystyle X^{\mathrm {an} }}se obtiene aproximadamente al retroceder aincógnita{\displaystyle X}la estructura compleja dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}a través de los diagramas de coordenadas. De hecho, formular el teorema de esta manera se acerca más al espíritu del artículo de Serre, dado que el lenguaje teórico de esquemas completo que la declaración formal anterior utiliza ampliamente aún no se había inventado en el momento de la publicación de GAGA.

Véase también

  • Módulo plano : La noción de planitud fue introducida por Serre (1956) . Los anillos locales algebraicos y analíticos tienen la misma completación y, por lo tanto, se convierten en un "par plano" (couple plat). [ 17 ]

Notas

  1. ↑ Pabellón 2023 .
  2. ↑ Serre 1955 .
  3. ↑ Remmert 1994 .
  4. ↑ Grauert y Remmert 1958 .
  5. ↑ Harbater 2003 .
  6. ↑ Grothendieck & Raynaud 2002 , EXPOSE XII, Théorème 5.1 (« Théorème d'existence de Riemann »).
  7. ↑ Hartshorne 1977 , Apéndice B, Teorema 3.1 (Parte (b)) y 3.2.
  8. ↑ Seidenberg 1958 , Comentarios sobre el principio de Lefschetz.
  9. ↑ Frey y Rück 1986 , El principio de Lefschetz fuerte en geometría algebraica.
  10. ↑ Kuhlmann 2001 .
  11. ^ Kawamata, Matsuda y Matsuki 1987 .
  12. ↑ Hartshorne 1970 .
  13. ↑ Serre 1956 .
  14. ↑ Grothendieck y Raynaud 2002 , EXPOSE XII..
  15. ↑ Neeman 2007 .
  16. ↑ Grothendieck & Raynaud 2002 , EXPOSE XII, 4. Théorèmes de comparaison cohomologique et théorèmes d'existence.
  17. ↑ Hartshorne 2010 .

Referencias

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