Enredo (matemáticas)

En matemáticas , un enredo generalmente se refiere a uno de dos conceptos relacionados:

• En la definición de John Conway , un n- enredo es una incrustación propia de la unión disjunta de n arcos en una 3-bola ; la incrustación debe enviar los puntos finales de los arcos a 2 n puntos marcados en el límite de la bola.
• En la teoría de enlaces , un enredo es una incrustación de n arcos y m círculos en${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\times [0,1]}$– La diferencia con la definición anterior es que incluye círculos además de arcos, y divide el límite en dos piezas (isomorfas), lo cual es algebraicamente más conveniente; permite agregar enredos apilándolos, por ejemplo.

Un tercer uso, bastante diferente, del término tangle —este de la teoría de grafos— fue introducido por Neil Robertson y Paul Seymour , ^{[ 1 ]} quienes lo utilizan para describir la separación en grafos. Este uso se ha extendido a los matroides .

El resto de este artículo analiza la concepción de Conway sobre los enredos; para la concepción desde la perspectiva de la teoría de los enlaces, consulte ese artículo .

Dos n -enredos se consideran equivalentes si existe una isotopía ambiental entre ellos que mantenga fijo el límite de la 3-bola. La teoría de enredos puede considerarse análoga a la teoría de nudos, excepto que, en lugar de bucles cerrados, se utilizan cuerdas cuyos extremos están fijados. Véase también la teoría de trenzas .

Sin pérdida de generalidad, consideremos que los puntos marcados en el límite de la bola triple se encuentran sobre un círculo máximo. El enredo se puede organizar en una posición general con respecto a la proyección sobre el disco plano delimitado por el círculo máximo. La proyección nos da entonces un diagrama de enredo , donde observamos los cruces superiores e inferiores como en los diagramas de nudos .

Los enredos suelen aparecer como diagramas de enredos en diagramas de nudos o enlaces y pueden utilizarse como bloques de construcción para diagramas de enlaces , por ejemplo, enlaces de pretzel .

Un enredo racional es un 2-enredo homeomorfo al 2-enredo trivial mediante una aplicación de pares que consiste en la bola de 3 y dos arcos. Los cuatro extremos de los arcos en el círculo límite de un diagrama de enredo se denominan generalmente NE, NO, SO y SE, donde los símbolos corresponden a los puntos cardinales.

Un diagrama de enredo arbitrario de un enredo racional puede parecer muy complicado, pero siempre existe un diagrama de una forma simple particular: se comienza con un diagrama de enredo que consta de dos arcos horizontales (verticales); se añade un "giro", es decir, un único cruce intercambiando los extremos NE y SE (o SW y SE); se continúa añadiendo más giros utilizando los extremos NE y SE o los extremos SW y SE. Se puede suponer que cada giro no cambia el diagrama dentro de un disco que contiene cruces creados previamente.

Podemos describir dicho diagrama considerando los números dados por giros consecutivos alrededor del mismo conjunto de puntos extremos, por ejemplo (2, 1, -3) significa comenzar con dos arcos horizontales, luego 2 giros usando puntos extremos NE/SE, luego 1 giro usando puntos extremos SW/SE, y luego 3 giros usando puntos extremos NE/SE pero girando en la dirección opuesta a la anterior. La lista comienza con 0 si se comienza con dos arcos verticales. El diagrama con dos arcos horizontales es entonces (0), pero asignamos (0, 0) al diagrama con arcos verticales. Se necesita una convención para describir un giro "positivo" o "negativo". A menudo, "enredo racional" se refiere a una lista de números que representan un diagrama simple como el descrito.

La fracción de un enredo racional${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$entonces se define como el número dado por la fracción continua${\displaystyle [a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]}$. La fracción dada por (0,0) se define como${\displaystyle \infty }$. Conway demostró que la fracción está bien definida y determina completamente el enredo racional hasta la equivalencia de enredos. ^{[ 2 ]} Una demostración accesible de este hecho se da en:. ^{[ 3 ]} Conway también definió una fracción de un enredo arbitrario usando el polinomio de Alexander .

Una de las motivaciones de Conway para estudiar los nudos fue proporcionar una notación más sistemática que la enumeración tradicional que se encuentra en las tablas.

Se ha demostrado que los enredos son útiles para estudiar la topología del ADN . La acción de una enzima determinada puede analizarse con la ayuda de la teoría de los enredos. ^{[ 4 ]}

• Rompecabezas de enredos

• Adams, CC (2004). El libro de los nudos: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Providence, RI: American Mathematical Society. pp.  xiv+307. ISBN 0-8218-3678-1.

• MacKay, David . "Código Metapost para dibujar tangles y otras imágenes" . Inference Group . Recuperado el 13 de abril de 2018 .
• Goldman, Jay R.; Kauffman, Louis H. (1997). "Rational Tangles" (PDF) . Advances in Applied Mathematics . 18 (3): 300– 332. doi : 10.1006/aama.1996.0511 .