Colectivo casi complejo

En matemáticas , una variedad casi compleja es una variedad diferenciable dotada de una estructura lineal compleja diferenciable en cada espacio tangente . Toda variedad compleja es una variedad casi compleja, pero existen variedades casi complejas que no lo son. Las estructuras casi complejas tienen importantes aplicaciones en la geometría simpléctica .

El concepto se debe a Charles Ehresmann y Heinz Hopf en la década de 1940. ^{[ 1 ]}

Sea M una variedad diferenciable. Una estructura casi compleja J en M es una estructura compleja lineal (es decir, una aplicación lineal que al cuadrado es −1) en cada espacio tangente de la variedad, que varía suavemente en la variedad. En otras palabras, tenemos un campo tensorial diferenciable J de grado (1, 1) tal que${\displaystyle J^{2}=-1}$cuando se considera como un isomorfismo de fibrados vectoriales${\displaystyle J\colon TM\to TM}$en el fibrado tangente . Una variedad equipada con una estructura casi compleja se llama variedad casi compleja .

Si M admite una estructura casi compleja, debe ser de dimensión par. Esto se puede ver de la siguiente manera. Supongamos que M es n- dimensional y sea J  : TM → TM una estructura casi compleja. Si J ² = −1, entonces (det J ) ² = (−1) ⁿ . Pero si M es una variedad real, entonces det J es un número real; por lo tanto, n debe ser par si M tiene una estructura casi compleja. Se puede demostrar que también debe ser orientable .

Un sencillo ejercicio de álgebra lineal demuestra que cualquier espacio vectorial de dimensión par admite una estructura compleja lineal. Por lo tanto, una variedad de dimensión par siempre admite puntualmente un tensor de rango (1, 1) (que es simplemente una transformación lineal en cada espacio tangente) tal que J _p ² = −1 en cada punto p . Solo cuando este tensor local puede unirse para definirse globalmente, la estructura compleja lineal puntual produce una estructura casi compleja, que entonces está determinada de forma única. La posibilidad de esta unión, y por lo tanto la existencia de una estructura casi compleja en una variedad M, es equivalente a una reducción del grupo de estructura del fibrado tangente de GL(2 n , R ) a GL( n , C ) . La cuestión de la existencia es entonces una cuestión topológica puramente algebraica y está bastante bien comprendida.

Para cada entero n, el espacio plano R ^{2 n} admite una estructura casi compleja. Un ejemplo de dicha estructura casi compleja es (1 ≤ j , k ≤ 2 n ):${\displaystyle J_{jk}=-i\delta _{j,k-1}}$para j impar ,${\displaystyle J_{jk}=i\delta _{j,k+1}}$para j par .

Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son ^S₂ y S₆ ⁽ Borel y ^Serre (1953) ) . En particular, a S₄ no se le puede asignar una estructura casi compleja (Ehresmann y Hopf). En el caso de S₂ , la estructura casi compleja proviene de una estructura compleja honesta en la esfera de Riemann ^. La 6-esfera, S₆ ^, cuando se considera como el conjunto de octoniones imaginarios de norma unitaria , hereda una estructura casi compleja de la multiplicación de octoniones; la cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^{[ 2 ]}

Así como una estructura compleja en un espacio vectorial V permite una descomposición de V ^C en V ⁺ y V ⁻ (los autoespacios de J correspondientes a + i y − i , respectivamente), una estructura casi compleja en M permite una descomposición del fibrado tangente complejizado TM ^C (que es el fibrado vectorial de espacios tangentes complejizados en cada punto) en TM ⁺ y TM ⁻ . Una sección de TM ⁺ se denomina campo vectorial de tipo (1, 0), mientras que una sección de TM ⁻ es un campo vectorial de tipo (0, 1). Por lo tanto, J corresponde a la multiplicación por i en los campos vectoriales (1,  0) del fibrado tangente complejizado, y a la multiplicación por − i en los campos vectoriales (0,  1).

Así como construimos formas diferenciales a partir de potencias exteriores del fibrado cotangente , podemos construir potencias exteriores del fibrado cotangente complejizado (que es canónicamente isomorfo al fibrado de espacios duales del fibrado tangente complejizado). La estructura casi compleja induce la descomposición de cada espacio de r -formas.

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

En otras palabras, cada Ω ^r ( M ) ^C admite una descomposición en una suma de Ω ^{( p , q )}  ( M ), con r  = p + q .   

Como con cualquier suma directa , existe una proyección canónica π _{p , q} de Ω ^r ( M ) ^C a Ω ^{( p , q )} . También tenemos la derivada exterior d que mapea Ω ^r ( M ) ^C a Ω ^{r +1} ( M ) ^C . Por lo tanto, podemos usar la estructura casi compleja para refinar la acción de la derivada exterior a formas de tipo definido.

${\displaystyle \partial =\pi _ {p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

de modo que${\displaystyle \partial }$es un mapa que aumenta la parte holomorfa del tipo en uno (toma formas de tipo ( p , q ) a formas de tipo ( p +1, q )), y ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$es un mapa que aumenta en uno la parte antiholomorfa del tipo. Estos operadores se denominan operadores de Dolbeault .

Dado que la suma de todas las proyecciones debe ser la aplicación identidad , observamos que la derivada exterior se puede escribir

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

Toda variedad compleja es en sí misma una variedad casi compleja. En coordenadas holomorfas locales${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$uno puede definir los mapas

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(igual que una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de π/2) o

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Es fácil comprobar que este mapa define una estructura casi compleja. Por lo tanto, cualquier estructura compleja en una variedad produce una estructura casi compleja, que se dice que es "inducida" por la estructura compleja, y se dice que la estructura compleja es "compatible" con la estructura casi compleja.

La pregunta inversa, si la estructura casi compleja implica la existencia de una estructura compleja, es mucho menos trivial y, en general, no es cierta. En una variedad casi compleja arbitraria, siempre se pueden encontrar coordenadas para las cuales la estructura casi compleja adopta la forma canónica anterior en cualquier punto p dado . Sin embargo, en general, no es posible encontrar coordenadas tales que J adopte la forma canónica en todo un entorno de p . Dichas coordenadas, si existen, se denominan «coordenadas holomorfas locales para J». Si M admite coordenadas holomorfas locales para J alrededor de cada punto, entonces estas se combinan para formar un atlas holomorfo para M , dándole una estructura compleja que, además, induce J. Se dice entonces que J es « integrable ». Si J es inducida por una estructura compleja, entonces es inducida por una única estructura compleja.

Dado cualquier mapeo lineal A en cada espacio tangente de M ; es decir, A es un cuerpo tensorial de rango (1,  1), entonces el tensor de Nijenhuis es un cuerpo tensorial de rango (1,2) dado por

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

o, para el caso habitual de una estructura casi compleja A=J tal que${\displaystyle J^{2}=-Id}$,

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

Las expresiones individuales de la derecha dependen de la elección de los campos vectoriales suaves X e Y , pero el lado izquierdo depende en realidad solo de los valores puntuales de X e Y , razón por la cual N _A es un tensor. Esto también queda claro a partir de la fórmula del componente.

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

En términos del corchete de Frölicher-Nijenhuis , que generaliza el corchete de Lie de campos vectoriales, el tensor de Nijenhuis N _A es simplemente la mitad de [ A , A ]. 

El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura casi compleja J es integrable si y solo si N _J  =  0. La estructura compleja compatible es única, como se mencionó anteriormente. Dado que la existencia de una estructura casi compleja integrable equivale a la existencia de una estructura compleja, esto a veces se considera la definición de una estructura compleja.

Existen otros criterios que son equivalentes a la desaparición del tensor de Nijenhuis y que, por lo tanto, proporcionan métodos para comprobar la integrabilidad de una estructura casi compleja (y, de hecho, cada uno de ellos se puede encontrar en la bibliografía):

• El corchete de Lie de dos campos vectoriales cualesquiera (1,  0) es nuevamente de tipo (1,  0).
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Cualquiera de estas condiciones implica la existencia de una estructura compleja compatible única.

La existencia de una estructura casi compleja es una cuestión topológica y relativamente fácil de responder, como se mencionó anteriormente. La existencia de una estructura casi compleja integrable, por otro lado, es una cuestión analítica mucho más difícil. Por ejemplo, aún se desconoce si S ⁶ admite una estructura casi compleja integrable, a pesar de una larga historia de afirmaciones que finalmente no se verificaron. Los problemas de suavidad son importantes. Para J analítica real , el teorema de Newlander-Nirenberg se deduce del teorema de Frobenius ; para J C ^∞ (y menos suave) , se requiere análisis (con técnicas más difíciles a medida que se debilita la hipótesis de regularidad).

Supongamos que M está equipado con una forma simpléctica ω , una métrica riemanniana g y una estructura casi compleja J. Dado que ω y g no son degeneradas , cada una induce un isomorfismo de fibrado TM → T*M , donde la primera aplicación, denotada φ _ω , viene dada por el producto interior φ _ω ( u )  = i _u ω = ω ( u , •) y la otra, denotada φ _g , viene dada por la operación análoga para g . Entendiendo esto, las tres estructuras ( g , ω , J ) forman una terna compatible cuando cada estructura puede especificarse mediante las otras dos de la siguiente manera:    

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )
• J ( tu ) = ( φ _gramo ) ⁻¹ ( φ _ω ( tu )).

En cada una de estas ecuaciones, las dos estructuras del lado derecho se denominan compatibles cuando la construcción correspondiente produce una estructura del tipo especificado. Por ejemplo, ω y J son compatibles si y solo si ω (•, J •) es una métrica riemanniana. El fibrado en M cuyas secciones son las estructuras casi complejas compatibles con ω tiene fibras contraíbles : las estructuras complejas en las fibras tangentes compatibles con la restricción a las formas simplécticas.

Utilizando propiedades elementales de la forma simpléctica ω , se puede demostrar que una estructura casi compleja compatible J es una estructura casi de Kähler para la métrica riemanniana ω ( u , Jv ). Además, si J es integrable, entonces ( M , ω , J ) es una variedad de Kähler .

Estas ternas están relacionadas con la propiedad 2 de 3 del grupo unitario .

Nigel Hitchin introdujo la noción de estructura casi compleja generalizada en la variedad M , la cual fue desarrollada en las tesis doctorales de sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti . Una estructura casi compleja ordinaria consiste en la elección de un subespacio semidimensional de cada fibra del fibrado tangente complejizado TM . Una estructura casi compleja generalizada consiste en la elección de un subespacio isotrópico semidimensional de cada fibra de la suma directa de los fibrados tangente y cotangente complejizados . En ambos casos, se exige que la suma directa del subfibrado y su conjugado complejo produzcan el fibrado original.

Una estructura casi compleja se integra a una estructura compleja si el subespacio semidimensional es cerrado bajo el corchete de Lie . Una estructura casi compleja generalizada se integra a una estructura compleja generalizada si el subespacio es cerrado bajo el corchete de Courant . Si además este espacio semidimensional es el aniquilador de un espinor puro que no se anula en ningún punto , entonces M es una variedad de Calabi-Yau generalizada .

• Variedad casi cuaterniónica : concepto en geometría. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Clase de Chern – Clases características de los haces vectoriales 
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Variedad de Kähler : variedad con estructura riemanniana, compleja y simpléctica. 
• Variedad de Poisson : estructura matemática en geometría diferencial. 
• colector Rizza
• Variedad simpléctica : tipo de variedad en geometría diferencial. 

• Newlander, August; Nirenberg, Louis (1957). " Coordenadas analíticas complejas en variedades casi complejas". Annals of Mathematics . Segunda serie. 65 (3): 391– 404. doi : 10.2307/1970051 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970051. MR 0088770 .   
• Cannas da Silva, Ana (2001). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 3-540-42195-5.Información sobre triples compatibles, variedades de Kähler y hermíticas, etc.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.Breve sección que introduce el material básico estándar.
• Rubei, Elena (2014). Geometría algebraica: un diccionario conciso . Berlín/Boston: Walter De Gruyter. ISBN 978-3-11-031622-3.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1953). "Grupos de mentiras y poderes reducidos de Steenrod". Revista Estadounidense de Matemáticas . 75 (3): 409– 448. doi : 10.2307/2372495 . JSTOR 2372495 . SEÑOR 0058213 .