Almost complex manifold

In mathematics, an almost complex manifold is a smooth manifold equipped with a smooth linear complex structure on each tangent space. Every complex manifold is an almost complex manifold, but there are almost complex manifolds that are not complex manifolds. Almost complex structures have important applications in symplectic geometry.

The concept is due to Charles Ehresmann and Heinz Hopf in the 1940s.^[1]

Let M be a smooth manifold. An almost complex structureJ on M is a linear complex structure (that is, a linear map which squares to −1) on each tangent space of the manifold, which varies smoothly on the manifold. In other words, we have a smoothtensor fieldJ of degree(1, 1) such that ${\displaystyle J^{2}=-1}$ when regarded as a vector bundleisomorphism${\displaystyle J\colon TM\to TM}$ on the tangent bundle. A manifold equipped with an almost complex structure is called an almost complex manifold.

If M admits an almost complex structure, it must be even-dimensional. This can be seen as follows. Suppose M is n-dimensional, and let J : TM → TM be an almost complex structure. If J² = −1 then (det J)² = (−1)ⁿ. But if M is a real manifold, then det J is a real number – thus n must be even if M has an almost complex structure. One can show that it must be orientable as well.

Un sencillo ejercicio de álgebra lineal demuestra que cualquier espacio vectorial de dimensión par admite una estructura compleja lineal. Por lo tanto, una variedad de dimensión par siempre admite puntualmente un tensor de rango (1, 1) (que es simplemente una transformación lineal en cada espacio tangente) tal que J _p ² = −1 en cada punto p . Solo cuando este tensor local puede unirse para definirse globalmente, la estructura compleja lineal puntual produce una estructura casi compleja, que entonces está determinada de forma única. La posibilidad de esta unión, y por lo tanto la existencia de una estructura casi compleja en una variedad M, es equivalente a una reducción del grupo de estructura del fibrado tangente de GL(2 n , R ) a GL( n , C ) . La cuestión de la existencia es entonces una cuestión topológica puramente algebraica y está bastante bien comprendida.

Para cada entero n, el espacio plano R ^{2 n} admite una estructura casi compleja. Un ejemplo de dicha estructura casi compleja es (1 ≤ j , k ≤ 2 n ):${\displaystyle J_{jk}=-i\delta _{j,k-1}}$para j impar ,${\displaystyle J_{jk}=i\delta _{j,k+1}}$para j par .

Las únicas esferas que admiten estructuras casi complejas son ^S₂ y S₆ ⁽ Borel y ^Serre (1953) ) . En particular, a S₄ no se le puede asignar una estructura casi compleja (Ehresmann y Hopf). En el caso de S₂ , la estructura casi compleja proviene de una estructura compleja honesta en la esfera de Riemann ^. La 6-esfera, S₆ ^, cuando se considera como el conjunto de octoniones imaginarios de norma unitaria , hereda una estructura casi compleja de la multiplicación de octoniones; la cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf . ^{[ 2 ]}

Just as a complex structure on a vector space V allows a decomposition of V^C into V⁺ and V⁻ (the eigenspaces of J corresponding to +i and −i, respectively), so an almost complex structure on M allows a decomposition of the complexified tangent bundle TM^C (which is the vector bundle of complexified tangent spaces at each point) into TM⁺ and TM⁻. A section of TM⁺ is called a vector field of type (1, 0), while a section of TM⁻ is a vector field of type (0, 1). Thus J corresponds to multiplication by i on the (1, 0)-vector fields of the complexified tangent bundle, and multiplication by −i on the (0, 1)-vector fields.

Just as we build differential forms out of exterior powers of the cotangent bundle, we can build exterior powers of the complexified cotangent bundle (which is canonically isomorphic to the bundle of dual spaces of the complexified tangent bundle). The almost complex structure induces the decomposition of each space of r-forms

${\displaystyle \Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,}$

In other words, each Ω^r(M)^C admits a decomposition into a sum of Ω^(p, q)(M), with r = p + q.

As with any direct sum, there is a canonical projection π_p,q from Ω^r(M)^C to Ω^(p,q). We also have the exterior derivatived which maps Ω^r(M)^C to Ω^r+1(M)^C. Thus we may use the almost complex structure to refine the action of the exterior derivative to the forms of definite type

${\displaystyle \partial =\pi _ {p+1,q}\circ d}$

${\displaystyle {\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d}$

so that ${\displaystyle \partial }$ is a map which increases the holomorphic part of the type by one (takes forms of type (p, q) to forms of type (p+1, q)), and ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$es un mapa que aumenta en uno la parte antiholomorfa del tipo. Estos operadores se denominan operadores de Dolbeault .

Dado que la suma de todas las proyecciones debe ser la aplicación identidad , observamos que la derivada exterior se puede escribir

${\displaystyle d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .}$

Toda variedad compleja es en sí misma una variedad casi compleja. En coordenadas holomorfas locales${\displaystyle z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }}$uno puede definir los mapas

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$

(igual que una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de π/2) o

${\displaystyle J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.}$

Es fácil comprobar que este mapa define una estructura casi compleja. Por lo tanto, cualquier estructura compleja en una variedad produce una estructura casi compleja, que se dice que es "inducida" por la estructura compleja, y se dice que la estructura compleja es "compatible" con la estructura casi compleja.

La pregunta inversa, si la estructura casi compleja implica la existencia de una estructura compleja, es mucho menos trivial y, en general, no es cierta. En una variedad casi compleja arbitraria, siempre se pueden encontrar coordenadas para las cuales la estructura casi compleja adopta la forma canónica anterior en cualquier punto p dado . Sin embargo, en general, no es posible encontrar coordenadas tales que J adopte la forma canónica en todo un entorno de p . Dichas coordenadas, si existen, se denominan «coordenadas holomorfas locales para J». Si M admite coordenadas holomorfas locales para J alrededor de cada punto, entonces estas se combinan para formar un atlas holomorfo para M , dándole una estructura compleja que, además, induce J. Se dice entonces que J es « integrable ». Si J es inducida por una estructura compleja, entonces es inducida por una única estructura compleja.

Dado cualquier mapeo lineal A en cada espacio tangente de M ; es decir, A es un cuerpo tensorial de rango (1,  1), entonces el tensor de Nijenhuis es un cuerpo tensorial de rango (1,2) dado por

${\displaystyle N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,}$

o, para el caso habitual de una estructura casi compleja A=J tal que${\displaystyle J^{2}=-Id}$,

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,}$

Las expresiones individuales de la derecha dependen de la elección de los campos vectoriales suaves X e Y , pero el lado izquierdo depende en realidad solo de los valores puntuales de X e Y , razón por la cual N _A es un tensor. Esto también queda claro a partir de la fórmula del componente.

${\displaystyle -(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).}$

En términos del corchete de Frölicher-Nijenhuis , que generaliza el corchete de Lie de campos vectoriales, el tensor de Nijenhuis N _A es simplemente la mitad de [ A , A ]. 

El teorema de Newlander-Nirenberg establece que una estructura casi compleja J es integrable si y solo si N _J  =  0. La estructura compleja compatible es única, como se mencionó anteriormente. Dado que la existencia de una estructura casi compleja integrable equivale a la existencia de una estructura compleja, esto a veces se considera la definición de una estructura compleja.

Existen otros criterios que son equivalentes a la desaparición del tensor de Nijenhuis y que, por lo tanto, proporcionan métodos para comprobar la integrabilidad de una estructura casi compleja (y, de hecho, cada uno de ellos se puede encontrar en la bibliografía):

• El corchete de Lie de dos campos vectoriales cualesquiera (1,  0) es nuevamente de tipo (1,  0).
• ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$
• ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0.}$

Cualquiera de estas condiciones implica la existencia de una estructura compleja compatible única.

La existencia de una estructura casi compleja es una cuestión topológica y relativamente fácil de responder, como se mencionó anteriormente. La existencia de una estructura casi compleja integrable, por otro lado, es una cuestión analítica mucho más difícil. Por ejemplo, aún se desconoce si S ⁶ admite una estructura casi compleja integrable, a pesar de una larga historia de afirmaciones que finalmente no se verificaron. Los problemas de suavidad son importantes. Para J analítica real , el teorema de Newlander-Nirenberg se deduce del teorema de Frobenius ; para J C ^∞ (y menos suave) , se requiere análisis (con técnicas más difíciles a medida que se debilita la hipótesis de regularidad).

Supongamos que M está equipado con una forma simpléctica ω , una métrica riemanniana g y una estructura casi compleja J. Dado que ω y g no son degeneradas , cada una induce un isomorfismo de fibrado TM → T*M , donde la primera aplicación, denotada φ _ω , viene dada por el producto interior φ _ω ( u )  = i _u ω = ω ( u , •) y la otra, denotada φ _g , viene dada por la operación análoga para g . Entendiendo esto, las tres estructuras ( g , ω , J ) forman una terna compatible cuando cada estructura puede especificarse mediante las otras dos de la siguiente manera:    

• g ( u , v ) = ω ( u , Jv )
• ω( u , v ) = g ( Ju , v )
• J ( tu ) = ( φ _gramo ) ⁻¹ ( φ _ω ( tu )).

En cada una de estas ecuaciones, las dos estructuras del lado derecho se denominan compatibles cuando la construcción correspondiente produce una estructura del tipo especificado. Por ejemplo, ω y J son compatibles si y solo si ω (•, J •) es una métrica riemanniana. El fibrado en M cuyas secciones son las estructuras casi complejas compatibles con ω tiene fibras contraíbles : las estructuras complejas en las fibras tangentes compatibles con la restricción a las formas simplécticas.

Utilizando propiedades elementales de la forma simpléctica ω , se puede demostrar que una estructura casi compleja compatible J es una estructura casi de Kähler para la métrica riemanniana ω ( u , Jv ). Además, si J es integrable, entonces ( M , ω , J ) es una variedad de Kähler .

Estas ternas están relacionadas con la propiedad 2 de 3 del grupo unitario .

Nigel Hitchin introdujo la noción de estructura casi compleja generalizada en la variedad M , la cual fue desarrollada en las tesis doctorales de sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti . Una estructura casi compleja ordinaria consiste en la elección de un subespacio semidimensional de cada fibra del fibrado tangente complejizado TM . Una estructura casi compleja generalizada consiste en la elección de un subespacio isotrópico semidimensional de cada fibra de la suma directa de los fibrados tangente y cotangente complejizados . En ambos casos, se exige que la suma directa del subfibrado y su conjugado complejo produzcan el fibrado original.

Una estructura casi compleja se integra a una estructura compleja si el subespacio semidimensional es cerrado bajo el corchete de Lie . Una estructura casi compleja generalizada se integra a una estructura compleja generalizada si el subespacio es cerrado bajo el corchete de Courant . Si además este espacio semidimensional es el aniquilador de un espinor puro que no se anula en ningún punto , entonces M es una variedad de Calabi-Yau generalizada .

• Variedad casi cuaterniónica : concepto en geometría. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Clase de Chern – Clases características de haces vectoriales 
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Variedad de Kähler : variedad con estructura riemanniana, compleja y simpléctica. 
• Variedad de Poisson : estructura matemática en geometría diferencial. 
• colector Rizza
• Variedad simpléctica : tipo de variedad en geometría diferencial. 

• Newlander, August; Nirenberg, Louis (1957). " Coordenadas analíticas complejas en variedades casi complejas". Annals of Mathematics . Segunda serie. 65 (3): 391– 404. doi : 10.2307/1970051 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970051. MR 0088770 .   
• Cannas da Silva, Ana (2001). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 3-540-42195-5.Información sobre triples compatibles, variedades de Kähler y hermíticas, etc.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.Breve sección que introduce el material básico estándar.
• Rubei, Elena (2014). Geometría algebraica: un diccionario conciso . Berlín/Boston: Walter De Gruyter. ISBN 978-3-11-031622-3.
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1953). "Grupos de mentiras y potencias reducidas de Steenrod". Revista Estadounidense de Matemáticas . 75 (3): 409– 448. doi : 10.2307/2372495 . JSTOR 2372495 . SEÑOR 0058213 .