Transversal (geometría)

En geometría , una transversal es una línea que pasa por dos líneas en el mismo plano en dos puntos distintos . Las transversales son fundamentales para determinar si dos o más líneas en el plano euclidiano son paralelas . La intersección de una transversal con dos líneas crea diversos tipos de pares de ángulos : ángulos opuestos por el vértice, ángulos consecutivos internos , ángulos consecutivos externos , ángulos correspondientes , ángulos alternos internos , ángulos alternos externos y pares lineales . Como consecuencia del postulado de Euclides de las paralelas , si las dos líneas son paralelas, los ángulos consecutivos y los pares lineales son suplementarios , mientras que los ángulos correspondientes, los ángulos alternos internos y los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Generalmente, las transversales son paralelas.

Una transversal produce 8 ángulos, como se muestra en el gráfico de la parte superior izquierda:

• 4 con cada una de las dos líneas, a saber α, β, γ y δ y luego α ₁ , β ₁ , γ ₁ y δ ₁ ; y
• 4 de las cuales son interiores (entre las dos líneas), a saber, α, β, γ ₁ y δ ₁ y 4 de las cuales son exteriores , a saber, α ₁ , β ₁ , γ y δ.

Una transversal que corta dos líneas paralelas en ángulo recto se llama transversal perpendicular . En este caso, los 8 ángulos son ángulos rectos ^{[ 1 ].}

Cuando las líneas son paralelas , un caso que se considera con frecuencia, una transversal produce varios ángulos suplementarios congruentes . Algunos de estos pares de ángulos tienen nombres específicos y se analizan a continuación: ángulos correspondientes, ángulos alternos internos y ángulos consecutivos. ^{[ 2 ] [ 3 ] : Art. 87}

Ángulos alternos

Los ángulos alternos internos son los cuatro pares de ángulos que:

• tienen puntos de vértice distintos ,
• yace en lados opuestos de la transversal y
• Ambos ángulos son interiores o ambos ángulos son exteriores.

Si los dos ángulos de un par son congruentes (tienen la misma medida), entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes.

La proposición 1.27 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (y por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos alternos internos de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no se intersecan).

Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).

Ángulos correspondientes

Los ángulos correspondientes son los cuatro pares de ángulos que:

• tienen puntos de vértice distintos,
• yacen en el mismo lado de la transversal y
• Un ángulo es interior y el otro es exterior.

Dos líneas son paralelas si y solo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos correspondientes de cualquier transversal son congruentes (iguales en medida).

La proposición 1.28 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (y por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no se intersecan).

Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).

Si los ángulos de un sateur de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes. En las diversas imágenes con líneas paralelas en esta página, los pares de ángulos correspondientes son: α=α ₁ , β=β ₁ , γ=γ ₁ y δ=δ ₁ .

Ángulos interiores consecutivos

Los ángulos interiores consecutivos son los dos pares de ángulos que: ^{[ 4 ] [ 2 ]}

• tienen puntos de vértice distintos,
• yacen en el mismo lado de la transversal y
• son ambos interiores.

Dos líneas son paralelas si y solo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos interiores consecutivos de cualquier transversal son suplementarios (suman 180°).

La proposición 1.28 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (y por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos son suplementarios, entonces las dos líneas son paralelas (no se intersecan).

Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si dos líneas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos de una transversal son suplementarios (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).

Si un par de ángulos interiores consecutivos son suplementarios, el otro par también lo es.

Si tres líneas en posición general forman un triángulo y luego son cortadas por una transversal, las longitudes de los seis segmentos resultantes satisfacen el teorema de Menelao .

La formulación euclidiana del postulado de las paralelas puede expresarse en términos de una transversal. Específicamente, si los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son menores que dos ángulos rectos, entonces las líneas deben intersecarse. De hecho, Euclides utiliza la misma frase en griego que suele traducirse como «transversal». ^{[ 5 ] : 308, nfote 1}

La proposición 27 de Euclides establece que si una transversal interseca dos líneas de manera que sus ángulos alternos internos sean congruentes, entonces las líneas son paralelas. Euclides demuestra esto por contradicción : si las líneas no son paralelas, entonces deben intersecarse y se forma un triángulo. Entonces, uno de los ángulos alternos es un ángulo exterior igual al otro ángulo, que es un ángulo interior opuesto en el triángulo. Esto contradice la proposición 16, que establece que un ángulo exterior de un triángulo siempre es mayor que los ángulos interiores opuestos. ^{[ 5 ] : 307 [ 3 ] : Art. 88}

La proposición 28 de Euclides extiende este resultado de dos maneras. Primero, si una transversal interseca dos líneas de modo que los ángulos correspondientes son congruentes, entonces las líneas son paralelas. Segundo, si una transversal interseca dos líneas de modo que los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las líneas son paralelas. Esto se deduce de la proposición anterior aplicando el hecho de que los ángulos opuestos de líneas secantes son iguales (Prop. 15) y que los ángulos adyacentes en una línea son suplementarios (Prop. 13). Como señaló Proclo , Euclides solo da tres de los seis criterios posibles para líneas paralelas. ^{[ 5 ] : 309–310 [ 3 ] : Art. 89-90}

La proposición 29 de Euclides es la recíproca de las dos anteriores. Primero, si una transversal interseca dos líneas paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. Si no, entonces uno es mayor que el otro, lo que implica que su suplemento es menor que el suplemento del otro ángulo. Esto implica que hay ángulos internos del mismo lado de la transversal que son menores que dos ángulos rectos, lo que contradice el quinto postulado. La proposición continúa afirmando que en una transversal de dos líneas paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes y los ángulos internos del mismo lado son iguales a dos ángulos rectos. Estas afirmaciones se derivan de la misma manera que la proposición 28 se deriva de la proposición 27. ^{[ 5 ] : 311–312 [ 3 ] : Art. 93-95}

La demostración de Euclides utiliza fundamentalmente el quinto postulado; sin embargo, los tratamientos modernos de la geometría emplean el axioma de Playfair . Para demostrar la proposición 29 asumiendo el axioma de Playfair, sea una transversal que cruza dos líneas paralelas y supongamos que los ángulos alternos internos no son iguales. Tracemos una tercera línea que pase por el punto donde la transversal cruza la primera, pero con un ángulo igual al ángulo que forma la transversal con la segunda línea. Esto produce dos líneas distintas que pasan por un punto, ambas paralelas a otra línea, lo que contradice el axioma. ^{[ 5 ] : 313 [ 6 ]}

En espacios de dimensiones superiores, una línea que interseca a cada una de las líneas de un conjunto en puntos distintos es una transversal de dicho conjunto. A diferencia del caso bidimensional (plano), no se garantiza la existencia de transversales para conjuntos de más de dos líneas.

En el espacio euclidiano tridimensional, un régulo es un conjunto de rectas oblicuas R , tales que por cada punto de cada recta de R pasa una transversal de R , y por cada punto de una transversal de R pasa una recta de R. El conjunto de transversales de un régulo R también es un régulo, llamado régulo opuesto , R₀ ^. En este espacio, tres rectas oblicuas entre sí siempre pueden extenderse a un régulo.