Altitud (triángulo)

La altura desde A (segmento de línea discontinua) interseca la base extendida en D (un punto fuera del triángulo).

En geometría , la altura de un triángulo es un segmento de recta que pasa por un vértice dado (llamado ápice ) y es perpendicular a la línea que contiene el lado o arista opuesto al vértice. Esta arista (finita) y su extensión (infinita) se denominan, respectivamente, base y base extendida de la altura. El punto de intersección de la base extendida y la altura se llama pie de la altura. La longitud de la altura, a menudo llamada simplemente "altura" o "altura" (símbolo $h)$ , es la distancia entre el pie y el vértice. El proceso de trazar la altura desde un vértice hasta el pie se conoce como proyección de la altura en ese vértice. Es un caso especial de proyección ortogonal .

Las alturas se pueden usar para calcular el área de un triángulo : la mitad del producto de la longitud de una altura y la longitud de su base (símbolo $b$ ) es igual al área del triángulo: $A$ = $h$ $b$ /2. Por lo tanto, la altura más larga es perpendicular al lado más corto del triángulo. Las alturas también están relacionadas con los lados del triángulo a través de las funciones trigonométricas .

En un triángulo isósceles (un triángulo con dos lados congruentes ), la altura que tiene como base el lado incongruente tendrá como pie el punto medio de dicho lado. Además, la altura que tiene como base el lado incongruente será la bisectriz del ángulo del vértice.

En un triángulo rectángulo , la altura trazada a la hipotenusa $c$ divide a la hipotenusa en dos segmentos de longitudes $p$ y $q$ . Si denotamos la longitud de la altura por $h c$ , entonces tenemos la relación

h_{c}={\sqrt {pq}}

( Teorema de la media geométrica ; véanse los casos especiales y el teorema inverso de Pitágoras )

En un triángulo rectángulo, la altura desde cada ángulo agudo coincide con un cateto y se interseca con el lado opuesto en (tiene su pie en) el vértice recto, que es el ortocentro.

En los triángulos acutángulos, los pies de las alturas caen sobre los lados del triángulo (no sobre su longitud). En un triángulo obtusángulo (con un ángulo obtuso ), el pie de la altura al vértice con ángulo obtuso cae en el interior del lado opuesto, mientras que los pies de las alturas a los vértices con ángulo agudo caen sobre el lado opuesto , fuera del triángulo. Esto se ilustra en el diagrama adjunto: en este triángulo obtusángulo, una altura trazada perpendicularmente desde el vértice superior, que tiene un ángulo agudo, interseca el lado horizontal extendido fuera del triángulo.

Teoremas

La altura geométrica ocupa un lugar destacado en muchos teoremas importantes y sus demostraciones. Por ejemplo, además de los teoremas que se enumeran a continuación, la altura desempeña un papel fundamental en las demostraciones de la Ley de los senos y la Ley de los cosenos .

Ortocentro

El ortocentro de un triángulo , generalmente denotado por $H$ , es el punto donde se intersecan las tres alturas (posiblemente extendidas). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si y solo si el triángulo es acutángulo . Para un triángulo rectángulo , el ortocentro coincide con el vértice en el ángulo recto. ^{[ 2 ]} Para un triángulo equilátero , todos los centros de los triángulos (incluido el ortocentro) coinciden en su baricentro .

Altitud en términos de los lados

Para cualquier triángulo con lados $a, b, c$ y semiperímetro $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),$ La altura desde el lado $a$ (la base) viene dada por

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}{a}}.

Esto se deduce de combinar la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de los lados con la fórmula del área. ${\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{altura}},$ donde la base se toma como el lado $a$ y la altura es la altitud desde el vértice $A$ (lado opuesto $a a$ ).

Al intercambiar la $a$ del denominador por $b$ o $c$ , esta ecuación también se puede utilizar para hallar las alturas $h b$ y $h c$ , respectivamente.

Cualquier par de alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados sobre los que caen.

Teoremas del radio interno

Consideremos un triángulo arbitrario con lados $a, b, c$ y con alturas correspondientes $h a, h b, h c$ . Las alturas y el radio de la circunferencia inscrita $r$ están relacionados por ^{[ 3 ]}^{: Lema 1}

\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.

Teorema del radio circunscrito

Denotando la altura desde un lado de un triángulo como $h a$ , los otros dos lados como $b$ y $c$ , y el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo como R $,$ la altura viene dada por ^{[ 4 ]}

h_{a}={\frac {bc}{2R}}.

Punto interior

Si $p 1, p 2, p 3$ son las distancias perpendiculares desde cualquier punto $P$ a los lados, y $h 1, h 2, h 3$ son las alturas a los lados respectivos, entonces ^{[ 5 ]}

{\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.

Teorema del área

Denotando las alturas de cualquier triángulo desde los lados $a, b, c$ respectivamente como $h a, h b, h c$ , y la semisuma de los recíprocos de las alturas como $\textstyle H={\tfrac {1}{2}}(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})$ entonces el recíproco del área es ^{[ 6 ]}

\mathrm {Área} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

Punto general en una altitud

Si $E$ es cualquier punto en una altura $AD$ de cualquier triángulo $△ ABC$ , entonces ^{[ 7 ]}^{: 77–78}

{\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.

Desigualdad triangular

Dado que el área del triángulo es ${\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}$ , la desigualdad triangular $a<b+c$ implica ^{[ 8 ]}

{\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}

.

Casos especiales

Triángulo equilátero

Desde cualquier punto $P$ dentro de un triángulo equilátero , la suma de las perpendiculares a sus tres lados es igual a la altura del triángulo. Este es el teorema de Viviani .

Triángulo rectángulo

{\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}} — La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras en los 3 triángulos de lados ( p + q , r , s ) , ( r , p , h ) y ( s , h , q ) , ${\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}$

En un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ , cada uno de los catetos es también una altura : $h_{a}=b$ y $h_{b}=a$ ⁠ . La tercera altitud se puede encontrar mediante la relación^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

{\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Esto también se conoce como el teorema inverso de Pitágoras .

Nota en particular:

{\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\frac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}

Véase también

Mediana (geometría)

Notas

↑ Smart 1998 , pág. 156
^ Berele y Goldman 2001 , pág. 118
↑ Andrica, Dorin; Marinescu, Dan Ştefan (2017). "Nuevas desigualdades de interpolación para R ≥ 2r de Euler" (PDF) . Forum Geometricorum . 17 : 149–156 . Archivado del original (PDF) el 24 de abril de 2018.
↑ Johnson 2007 , pág. 71, Sección 101a
↑ Johnson 2007 , pág. 74, Sección 103c
↑ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Herón para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.
↑ Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.
↑ Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Herón para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89 (noviembre de 2005), 494.
↑ Voles, Roger, "Soluciones enteras de $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271.
↑ Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.

Referencias

Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria , Dover
Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometría: Teoremas y construcciones , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
Bogomolny, Alexander . "Existencia del ortocentro" . Cut the Knot . Recuperado el 17 de diciembre de 2022 .
Johnson, Roger A. (2007) [1960], Geometría euclidiana avanzada , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
Smart, James R. (1998), Geometrías modernas (5.ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Altitud" . MundoMatemático .

[1] Smart 1998 , pág. 156

[Orthocenter_BG118-2] Berele y Goldman 2001 , pág. 118

[3] Andrica, Dorin; Marinescu, Dan Ştefan (2017). "Nuevas desigualdades de interpolación para R ≥ 2r de Euler" (PDF) . Forum Geometricorum . 17 : 149–156 . Archivado del original (PDF) el 24 de abril de 2018.

[4] Johnson 2007 , pág. 71, Sección 101a

[5] Johnson 2007 , pág. 74, Sección 103c

[6] Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Herón para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005, 494.

[Posamentier-7] Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.

[8] Mitchell, Douglas W., "Una fórmula tipo Herón para el área recíproca de un triángulo", Mathematical Gazette 89 (noviembre de 2005), 494.

[9] Voles, Roger, "Soluciones enteras de $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$ ," Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269–271.

[10] Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–317.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]