Teorema inverso de Pitágoras

En geometría , el teorema de Pitágoras inverso (también conocido como teorema de Pitágoras recíproco ^{[ 1 ]} o teorema de Pitágoras al revés ^{[ 2 ]} ) es el siguiente: ^{[ 3 ]}

Sean A y B los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo △ ABC . Sea D el pie de una perpendicular trazada desde C , el vértice del ángulo recto , a la hipotenusa. Entonces

${\displaystyle {\frac {1}{CD^{2}}}={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}.}$

Este teorema no debe confundirse con la proposición 48 del libro 1 de los Elementos de Euclides , que es la inversa del teorema de Pitágoras y que establece que si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces los otros dos lados contienen un ángulo recto.

El área del triángulo △ ABC se puede expresar en términos de AC y BC , o de AB y CD :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt](AC\cdot BC)^{2}&=(AB\cdot CD)^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {AB^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\end{aligned}}}$

dado CD > 0 , AC > 0 y BC > 0 .

Utilizando el teorema de Pitágoras ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}+AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\quad \therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

como se indicó anteriormente.

Nota en particular:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

La curva cruciforme o curva en cruz es una curva plana cuártica dada por la ecuación

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0}$

donde los dos parámetros que determinan la forma de la curva, a y b, son cada uno CD .

Sustituyendo x por AC e y por BC se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}AC^{2}BC^{2}-CD^{2}AC^{2}-CD^{2}BC^{2}&=0\\[4pt]AC^{2}BC^{2}&=CD^{2}BC^{2}+CD^{2}AC^{2}\\[4pt]{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {BC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}+{\frac {AC^{2}}{AC^{2}\cdot BC^{2}}}\\[4pt]\therefore \;\;{\frac {1}{CD^{2}}}&={\frac {1}{AC^{2}}}+{\frac {1}{BC^{2}}}\end{aligned}}}$

Las ternas pitagóricas inversas se pueden generar utilizando parámetros enteros t y u de la siguiente manera. ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}AC&=(t^{2}+u^{2})(t^{2}-u^{2})\\BC&=2tu(t^{2}+u^{2})\\CD&=2tu(t^{2}-u^{2})\end{aligned}}}$

Si se colocan dos lámparas idénticas en A y B , el teorema y la ley del inverso del cuadrado implican que la intensidad de la luz en C es la misma que cuando se coloca una sola lámpara en D.

• Teorema de la media geométrica – Teorema sobre triángulos rectángulos 
• Teorema de Pitágoras : Relación entre los lados de un triángulo rectángulo.