Propiedad de fusión

En el campo matemático de la teoría de modelos , la propiedad de amalgamación es una propiedad de las colecciones de estructuras que garantiza, bajo ciertas condiciones, que dos estructuras de la colección puedan considerarse subestructuras de una más grande.

Esta propiedad juega un papel crucial en el teorema de Fraïssé , que caracteriza las clases de estructuras finitas que surgen como eras de estructuras homogéneas contables.

El diagrama de la propiedad de amalgama aparece en muchas áreas de la lógica matemática . Algunos ejemplos incluyen la lógica modal como una relación de accesibilidad incestuosa, ^{[ aclaración necesaria ]} y en el cálculo lambda como una forma de reducción que tiene la propiedad de Church-Rosser .

Una amalgama se puede definir formalmente como una 5-tupla ( A,f,B,g,C ) tal que A,B,C son estructuras que tienen la misma firma , y ​​f: A  →  B, g :  A  →  C son incrustaciones . Recordemos que f: A  →  B es una incrustación si f es un morfismo inyectivo que induce un isomorfismo de A a la subestructura f(A) de B. ^[1]

Una clase K de estructuras tiene la propiedad de amalgamación si para cada amalgama con A,B,C  ∈  K y A  ≠ Ø, existen tanto una estructura D  ∈  K como incrustaciones f':  B  →  D, g':  C  →  D tales que

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g.\,}$

Una teoría de primer orden tiene la propiedad de amalgamación si la clase de modelos de tiene la propiedad de amalgamación. La propiedad de amalgamación tiene ciertas conexiones con el cuantificador eliminación . ${\estilo de visualización T}$${\estilo de visualización T}$

En general, la propiedad de amalgamación puede considerarse para una categoría con una elección específica de la clase de morfismos (en lugar de incrustaciones). Esta noción está relacionada con la noción categórica de un pullback , en particular, en conexión con la propiedad de amalgamación fuerte (ver más abajo). ^[2]

• La clase de conjuntos, donde las incrustaciones son funciones inyectivas, y si se supone que son inclusiones, entonces una amalgama es simplemente la unión de los dos conjuntos.
• La clase de grupos libres donde las incrustaciones son homomorfismos inyectivos y (asumiendo que son inclusiones) una amalgama es el grupo cociente , donde * es el producto libre .$Estilo de visualización B*C/A$
• La clase de ordenamientos lineales finitos . Esto se debe a que cualquier estructura homogénea proviene de una clase de amalgama de estructura finita. ^[3]

Una noción similar pero diferente a la propiedad de amalgamación es la propiedad de incrustación conjunta . Para ver la diferencia, primero considere la clase K (o simplemente el conjunto) que contiene tres modelos con órdenes lineales, L ₁ de tamaño uno, L ₂ de tamaño dos y L ₃ de tamaño tres. Esta clase K tiene la propiedad de incrustación conjunta porque los tres modelos pueden incrustarse en L ₃ . Sin embargo, K no tiene la propiedad de amalgamación. El contraejemplo para esto comienza con L ₁ que contiene un solo elemento e y se extiende de dos maneras diferentes a L ₃ , una en la que e es el más pequeño y la otra en la que e es el más grande. Ahora bien, cualquier modelo común con una incrustación de estas dos extensiones debe ser al menos de tamaño cinco para que haya dos elementos a cada lado de e .

Consideremos ahora la clase de cuerpos algebraicamente cerrados . Esta clase tiene la propiedad de amalgama, ya que dos extensiones de cuerpo cualesquiera de un cuerpo primo pueden incorporarse a un cuerpo común. Sin embargo, dos cuerpos arbitrarios no pueden incorporarse a un cuerpo común cuando las características de los cuerpos difieren.

Una clase K de estructuras tiene la propiedad de amalgama fuerte (SAP), también llamada propiedad de amalgama disjunta (DAP), si para cada amalgama con A,B,C ∈ K existen tanto una estructura D ∈ K como incrustaciones f': B  →  D, g': C  →  D tales que

${\displaystyle f'\circ f=g'\circ g\,}$

y

${\displaystyle f'[B]\cap g'[C]=(f'\circ f)[A]=(g'\circ g)[A]\,}$

donde para cualquier conjunto X y función h en X,

${\displaystyle h\lbrack X\rbrack =\lbrace h(x)\mid x\in X\rbrace .\,}$

• Span (teoría de categorías)
• Pushout (teoría de categorías)
• Propiedad de incrustación conjunta
• Teorema de Fraïssé

• Hodges, Wilfrid (1997). Una teoría de modelos más breve . Cambridge University Press . ISBN 0-521-58713-1.
• Entradas sobre la propiedad de amalgamación y la propiedad de amalgamación fuerte en la base de datos en línea de clases de estructuras algebraicas (Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación, Universidad Chapman).
• EW Kiss, L. Márki, P. Pröhle, W. Tholen, Propiedades algebraicas categóricas. Un compendio sobre amalgamación, extensión de congruencia, epimorfismos, pequeñez residual e inyectividad , Studia Sci. Math. Hungar 18 (1), 79-141, 1983 número completo de la revista.
• Macpherson, Donald (2011), "Un estudio de estructuras homogéneas", Discrete Mathematics , 311 (2): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024.