Fuerza entre imanes

Lejos de un imán, su campo magnético casi siempre se describe (con buena aproximación) mediante un campo dipolar caracterizado por su momento dipolar magnético total , m . Esto es válido independientemente de la forma del imán, siempre que el momento magnético sea distinto de cero. Una característica de un campo dipolar es que su intensidad disminuye inversamente con el cubo de la distancia al centro del imán.

El momento magnético de un imán es, por lo tanto, una medida de su fuerza y ​​orientación. Una espira de corriente eléctrica , un imán de barra , un electrón , una molécula y un planeta poseen momentos magnéticos. Más precisamente, el término momento magnético se refiere normalmente al momento dipolar magnético de un sistema , que constituye el primer término del desarrollo multipolar ^{[ nota 1 ]} de un campo magnético general.

Tanto el par como la fuerza ejercidos sobre un imán por un campo magnético externo son proporcionales al momento magnético de dicho imán. El momento magnético es un vector : tiene magnitud y dirección. La dirección del momento magnético apunta desde el polo sur hacia el polo norte del imán (en su interior). Por ejemplo, la dirección del momento magnético de un imán de barra, como el de una brújula, es la dirección hacia la que apunta su polo norte.

En el modelo de bucle amperiano físicamente correcto, los momentos dipolares magnéticos se deben a bucles de corriente infinitesimalmente pequeños. Para un bucle de corriente I suficientemente pequeño y un área A suficientemente pequeña , el momento dipolar magnético es: $${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {A} ,}$$ donde la dirección de m es normal al área en una dirección determinada usando la corriente y la regla de la mano derecha . Por lo tanto, la unidad del SI del momento dipolar magnético es el amperio ^-  metro² . Más precisamente, para tener en cuenta los solenoides con muchas espiras , la unidad del momento dipolar magnético es el amperio-vuelta- metro² ^. 

En el modelo de polo magnético, el momento dipolar magnético se debe a dos cargas magnéticas iguales y opuestas que están separadas por una distancia d . En este modelo, m es similar al momento dipolar eléctrico p debido a cargas eléctricas: $${\displaystyle m=q_{\mathrm {m} }d,}$$ donde q _m es la "carga magnética". La dirección del momento dipolar magnético apunta desde el polo sur negativo hacia el polo norte positivo de este pequeño imán.

Los imanes se atraen siguiendo el gradiente del campo magnético. El ejemplo más sencillo es la atracción entre los polos opuestos de dos imanes. Cada imán genera un campo magnético más intenso cerca de sus polos. Si los polos opuestos de dos imanes se enfrentan, cada imán es atraído por el campo magnético más intenso cerca del polo del otro. Sin embargo, si los polos son iguales, se repelen debido al campo magnético más intenso.

El modelo de polos magnéticos predice una forma matemática correcta para esta fuerza y ​​es más fácil de comprender cualitativamente. Si un imán se coloca en un campo magnético uniforme, ambos polos experimentarán la misma fuerza magnética, pero en direcciones opuestas, ya que tienen cargas magnéticas opuestas. Sin embargo, cuando un imán se coloca en un campo no uniforme, como el generado por otro imán, el polo que experimenta el campo magnético más intenso experimentará una fuerza mayor, resultando en una fuerza neta sobre el imán. Si el imán está alineado con el campo magnético, como en el caso de dos imanes orientados en la misma dirección cerca de los polos, será atraído hacia el campo magnético más intenso. Si está alineado en direcciones opuestas, como en el caso de dos imanes con polos iguales enfrentados, el imán será repelido de la región de mayor campo magnético.

En el modelo de bucle amperiano, también existe una fuerza sobre un dipolo magnético debido a un campo magnético no uniforme, pero esto se debe a las fuerzas de Lorentz sobre el bucle de corriente que conforma el dipolo magnético. La fuerza obtenida en el caso de un modelo de bucle de corriente es $${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right),}$$ donde el gradiente ∇ es el cambio de la cantidad m · B por unidad de distancia, y la dirección es la de máximo aumento de m · B. Para entender esta ecuación, observe que el producto escalar m · B = mB cos( θ ) , donde m y B representan la magnitud de los vectores m y B , y θ es el ángulo entre ellos. Si m está en la misma dirección que B, entonces el producto escalar es positivo y el gradiente apunta "cuesta arriba", atrayendo al imán hacia regiones de mayor campo B (más estrictamente, mayor m  · B ). B representa la intensidad y la dirección del campo magnético. Esta ecuación es estrictamente válida solo para imanes de tamaño cero, pero suele ser una buena aproximación para imanes no demasiado grandes. La fuerza magnética sobre imanes más grandes se determina dividiéndolos en regiones más pequeñas con su propio m y luego sumando las fuerzas en cada una de estas regiones. 

Calcular la fuerza de atracción o repulsión entre dos imanes es, en general, una operación muy compleja, ya que depende de la forma, la magnetización, la orientación y la separación entre ellos. El modelo de polos magnéticos requiere cierto conocimiento de cómo se distribuye la carga magnética entre los polos. Aun así, solo resulta útil para configuraciones sencillas. Afortunadamente, esta limitación abarca muchos casos prácticos.

Fuerza entre dos imanes de barra

La fuerza entre dos imanes de barra cilíndricos idénticos colocados extremo con extremo a gran distancia${\displaystyle x\gg R}$es aproximadamente: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle F\simeq \left[{\frac {B_{0}^{2}A^{2}\left(L^{2}+R^{2}\right)}{\pi \mu _{0}L^{2}}}\right]\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$ dónde

• B ₀ es la densidad de flujo muy cerca de cada polo, en T,
• A es el área de cada poste, en m ² ,
• L es la longitud de cada imán, en m,
• R es el radio de cada imán, en m, y
• x es la separación entre los dos imanes, en metros.

$${\displaystyle B_{0}={\frac {\mu _{0}}{2}}M}$$relaciona la densidad de flujo en el polo con la magnetización del imán.

Cabe señalar que estas formulaciones asumen distribuciones de carga magnética puntuales en lugar de una distribución uniforme sobre las facetas extremas, lo cual solo constituye una buena aproximación a distancias relativamente grandes. Para distancias intermedias, es necesario utilizar métodos numéricos .

Fuerza entre dos imanes cilíndricos

Para dos imanes cilíndricos con radios iguales${\displaystyle R}$y longitudes${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$y dado un gran espacio lateral entre ellos, en el límite${\displaystyle x\gg R}$, la fuerza puede aproximarse mediante ^{[ 6 ]}

${\displaystyle F(x,r)\simeq {\frac {\pi K_{d}}{2}}R^{4}\sum _{i,j=0}^{1}{\left({\frac {(-1)^{i+j}}{(x+iL_{1}+jL_{2})^{2}}}\left(1-{\frac {3}{2}}{\frac {r^{2}}{(x+iL_{1}+jL_{2})^{2}}}\right)\right)}}$

dónde

• ${\displaystyle R}$es el radio de cada uno de los dos imanes, bajo la suposición de que los radios son iguales.
• ${\displaystyle L_{1}}$es la longitud del primer imán
• ${\displaystyle L_{2}}$es la longitud del segundo imán
• ${\displaystyle K_{d}}$es el producto energético máximo en unidades de J/m³ ⁽ julios por metro cúbico)
• ${\displaystyle x}$es la distancia normal entre las dos caras paralelas de los imanes
• ${\displaystyle r}$es la distancia entre los ejes del dipolo magnético de los dos imanes.

Con su dipolo magnético alineado, la fuerza se puede calcular analíticamente utilizando integrales elípticas . ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle F(x)\simeq {\frac {\pi K_{d}}{2}}R^{4}\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

Esto se puede reescribir como,

$${\displaystyle F(x)\simeq {\frac {\pi \mu _{0}}{4}}M^{2}R^{4}\left[{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{(x+2L)^{2}}}-{\frac {2}{(x+L)^{2}}}\right]}$$

Dónde${\displaystyle M}$es la magnetización de los imanes y${\displaystyle x}$es la distancia entre ellos. Para valores pequeños de${\displaystyle x}$Los resultados son erróneos, ya que la fuerza se vuelve grande para distancias cercanas a cero.

Si el imán es largo (${\displaystyle L\gg R}$), una medición de la densidad de flujo magnético muy cerca del imán${\displaystyle B_{0}}$está aproximadamente relacionado con${\displaystyle M}$por la fórmula $${\displaystyle B_{0}={\frac {\mu _{0}}{2}}M.}$$

El momento dipolar magnético efectivo se puede escribir como $${\displaystyle m=MV}$$ dónde${\displaystyle V}$es el volumen del imán. Para un cilindro esto es${\displaystyle V=\pi R^{2}L}$, y${\displaystyle M}$es el campo de magnetización del dipolo.

Cuando${\displaystyle L\ll x}$se obtiene la aproximación de dipolo puntual, $${\displaystyle F(x)={\frac {3\pi \mu _{0}}{2}}M^{2}R^{4}L^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}M^{2}V^{2}{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {3\mu _{0}}{2\pi }}m_{1}m_{2}{\frac {1}{x^{4}}}}$$

Lo cual coincide con la expresión de la fuerza entre dos dipolos magnéticos.

Si dos o más imanes son lo suficientemente pequeños o están lo suficientemente distantes como para que su forma y tamaño no sean importantes, entonces ambos imanes pueden modelarse como dipolos magnéticos con momentos magnéticos m ₁ y m _2. En el caso de imanes esféricos uniformemente magnetizados, este modelo es preciso incluso a tamaño y distancia finitos, ya que el campo externo de dichos imanes es exactamente un campo dipolar. ^{[ 8 ]}

El campo magnético de un dipolo magnético en notación vectorial es: $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {m} ,\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left(3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} \right)+{\frac {2\mu _{0}}{3}}\mathbf {m} \delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$ dónde

• B es el campo
• r es el vector desde la posición del dipolo hasta la posición donde se está midiendo el campo.
• r es el valor absoluto de r : la distancia desde el dipolo.
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$es el vector unitario paralelo a r ;
• m es el momento dipolar (vectorial)
• μ ₀ es la permeabilidad del espacio libre.
• δ ^{3 es la} función delta tridimensional . ^{[ nota 2 ]}

Este es exactamente el campo de un dipolo puntual, exactamente el término dipolar en la expansión multipolar de un campo arbitrario, y aproximadamente el campo de cualquier configuración similar a un dipolo a grandes distancias.

Si el sistema de coordenadas se desplaza para centrarlo en m ₁ y se rota de manera que el eje x apunte en la dirección de m _1, entonces la ecuación anterior se simplifica a ^{[ 9 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{x}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{r^{3}}}\right)\\B_{y}(\mathbf {r} )&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}m_{1}\left({\frac {3\cos \theta \sin \theta }{r^{3}}}\right),\end{aligned}}}$$ donde las variables r y θ se miden en un sistema de referencia con origen en m ₁ y orientado de tal manera que m ₁ se encuentra en el origen apuntando en la dirección x. Este sistema se denomina coordenadas locales y se muestra en la figura de la derecha.

La fuerza que ejerce un dipolo magnético sobre otro se determina utilizando el campo magnético del primer dipolo mencionado anteriormente y calculando la fuerza debida al campo magnético sobre el segundo dipolo mediante la ecuación de fuerza también mencionada anteriormente. Utilizando notación vectorial, la fuerza que ejerce un dipolo magnético _{m₁ sobre} el dipolo magnético m₂ es: $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\frac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right]}$$ donde r es el vector distancia desde el momento dipolar m ₁ al momento dipolar m ₂ , con r = ‖ r ‖ . La fuerza que actúa sobre m ₁ tiene dirección opuesta. Como ejemplo, la fuerza magnética para dos imanes que apuntan en la dirección z, están alineados en el eje z y separados por la distancia z es:

${\displaystyle \mathbf {F} (z,m_{1},m_{2})=-{\frac {3\mu _{0}m_{1}m_{2}}{2\pi z^{4}}}}$, dirección z.

Las fórmulas finales se muestran a continuación. Están expresadas en el sistema de coordenadas global, $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\left[2\cos(\phi -\alpha )\cos(\phi -\beta )-\sin(\phi -\alpha )\sin(\phi -\beta )\right]\\F_{\phi }(\mathbf {r} ,\alpha ,\beta )&=-{\frac {3\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {m_{2}m_{1}}{r^{4}}}\sin(2\phi -\alpha -\beta )\end{aligned}}}$$